1.1菱形的性质与判定 培优同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 培优同步练习 一．选择题 1．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 2．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足，那么菱形的面积等于（　　） A．12 B．6 C．2.4 D． 3．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 4．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（　　） A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点 5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝6，BD＝8，则FG的长为（　　） A．7 B．10 C．2.5 D．5 6．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A，E间的距离．若A，E间的距离调节到90cm，菱形的边长AB＝30cm，则∠DCB的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A． B． C．12 D．24 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（　　） A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8） 9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB于点M，PN⊥AD于点N．有以下结论：①△ABC为等边三角形；②OBOA；③∠MPN＝60°； ④PM+PNBD．其中正确的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．如图，在菱形ABCD中，已知∠ABO＝26°，则∠DCO＝ 　 　 °． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为　 　 ． 13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为　 　 ． 14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，P是边BC上的动点（与B，C两点不重合），过点P作PM∥OC，PN∥OB，分别交OB，OC于点M，N两点，连接MN，则线段MN的最小值为 　 　 ． 15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为 　 　 ． 16．已知边长为1cm的菱形AFEO，∠AFE＝120°，过点O作两条夹角为60°的射线，分别交边AF，边FE于点M，N，连接MN．则下列命题： ①S四边形OMFNcm2，②MN的长度为定值，③△OMN的形状为等边三角形，④的最小值为3，正确的选项有 　 　 （填序号）． 三．解答题 17．如图，在菱形ABCD中，CE＝CF，求证：AE＝AF． 18．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD中点．连接BF、EF、CF，∠BFC＝90°． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中与∠ABF互余的所有角． 19．如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD交于点O，DH⊥AB于点H． （1）若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，求DH的长； （2）连HO，求证：∠BOH＝∠DAH． 20．如图，已知菱形ABCD的对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DE⊥BC于点E，试求DE的长． 21．如图，已知△ABC中，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）若∠B＝45°，∠AEC＝120°，AF＝2，求AB的长． 22．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动（E、F不与B、C、D重合），求△CEF面积的最大值． 23．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°．点E、F分别是边AB、AD上的点，且满足∠BCE＝∠DCF，连结EF． （1）求证：∠CFE＝∠CEF； （2）若AF＝2，求△AEF的面积． 24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线MN与AD、CB的延长线分别交于点M、N．连接CM，AN，且AC⊥MN． （1）求证：四边形ANCM是菱形； （2）若四边形ANCM周长为12，，求四边形ANCM的面积． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C C B A D D 二．填空题 11．64． 12．65°． 13．25． 14．． 15．． 16.①③④． 三．解答题 17．证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝CD＝CB，∠B＝∠D． 又∵CE＝CF， ∴CD﹣CE＝CB﹣CF， 即DE＝BF． 在△ADE和△ABF中 ∴△ADE≌△ABF（SAS）． ∴AE＝AF． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别是BC、AD中点， ∴，， ∴AF＝BE， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵∠BFE＝90°， ∴EB＝EF＝EC， ∴平行四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形； ∴AB∥EF， ∴∠ABF＝∠BFE， ∵∠BFC＝90°， ∴∠BFE+∠CFE＝90°，∠FBC+∠BCF＝90°， ∴∠ABF+∠CFE＝90°，即∠ABF与∠CFE互余， ∵EB＝EF＝EC， ∴∠CFE＝∠ECF，∠FBC＝∠BFE， ∴∠ABF+∠ECF＝90°，∠ABF＝∠FBC， 即∠ABF与∠ECF互余， ∵AD∥BC， ∴∠CFD＝∠BCF， ∴∠ABF+∠CFD＝90°，即∠ABF与∠CFD互余， ∵AB∥EF∥CD， ∴∠CFE＝∠FCD， ∴∠ABF+∠FCD＝90°， 即∠ABF与∠FCD互余， 综上可知，图中与∠ABF互余的所有角为∠CFE、∠ECF、∠CFD、∠FCD． 19．（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵AC＝8cm，BD＝6cm， ∴OA4cm，OBBD＝3cm， ∴AB5（cm）， ∴S菱形ABCDAC•BD＝AB•DH， ∴DH（cm）； （2）证明：∵∠DHB＝90°，OB＝OD， ∴OH＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH， ∴∠BOH＝180°﹣2∠OBH， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAH＝2∠OAB， ∵∠OAB＝90°﹣∠OBH， ∴∠DAH＝180°﹣2∠OBH， ∴∠BOH＝∠DAH． 20．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，BD＝6cm， ∴，，OB⊥OC， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（1）证明：∵点D是AC的中点，DE⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴FA＝FC，EA＝EC， 在等腰△AEC中，∠AED＝∠CED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠CED， ∴∠AED＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝FC＝EC， ∴四边形AECF是菱形； （2）解：如图，过A作AG⊥BE于点G，则∠AGE＝∠AGB＝90°， ∵∠AEC＝120°，AF＝2， ∴∠AEB＝180°﹣120°＝60°，AE＝AF＝2， ∴∠EAG＝30°， ∴， ∴， ∵∠B＝45°， ∴△AGB是等腰直角三角形， ∴． 22．解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，AN⊥EF于点N， ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴∠BAC∠BAD120°＝60°，AB＝BC＝4， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAH∠BAC60°＝30°， ∴BHAB4＝2， 由勾股定理得：AH2， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝EF，∠EAF＝60°，EN＝FNEFAE， 由勾股定理得：ANAE， ∵∠BAE+∠EAC＝60°，∠CAF+∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴S△ABE＝S△ACF， ∴S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC是定值， ∴S四边形AECF＝S△ABCBC•AH4×24， 由“垂线段最短”可知：当等边△AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短， 此时，AE＝AH＝2， ∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，等边△AEF的面积最小， 又∵S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF， 等边△AEF的面积最小时，△CEF的面积最大， 此时，S△CEF＝S四边形AECF﹣S△AEF＝422， ∴△CEF面积的最大值为． 23．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠D＝∠B，CD＝CB， 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（ASA）， ∴CF＝CE， ∴∠CFE＝∠CEF； （2）解：由（1）知△CDF≌△CBE， ∴DF＝BE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∴AF＝AE， 又∵∠A＝60°， ∴△AEF为等边三角形， ∵， ∴． 24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，AD∥BC ∴∠MAO＝∠NCO， 又∵∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴OM＝ON， ∴四边形ANCM是平行四边形， 又∵AC⊥MN， ∴平行四边形ANCM是菱形； （2）解：∵四边形ANCM周长为12， ∴AM3， ∵，，， ∴， ∴（AO+OM）2＝12， ∵AC⊥MN， ∴MO2+OA2＝AM2＝9， ∴， 四边形ANCM的面积为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/23 20:13:45；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $