4.1 认识三角形 导学案 2025-2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册

4.1 第1课时 三角形的边 素养目标 1.认识三角形及三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形. 2.会对三角形按边分类,知道等腰三角形、等边三角形的定义. 3.知道三角形两边之和大于第三边,会判断三条线段能否构成一个三角形. 重点 三角形的三边关系. 【自主预习】 1.如图,在△ABC中,AB与BC的夹角是　　　　,∠A的对边是　　　　,∠A与∠C的公共边是　　　　.  2.三条边都相等的三角形叫作什么三角形? 3.长度为3,5,7的三条线段能否构成三角形? 1.图中以AB为边的三角形的个数是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 2.下列各组线段中,能构成三角形的是 (　　) A.2,5,7 B.4,4,8 C.4,5,6 D.4,5,10 【合作探究】 知识点一：三角形的概念及基本要素 阅读课本本课时“议一议”中前两段文字的内容,回答下列问题. 1.明晰概念:由不在　　　　的三条线段　　　　所组成的图形叫作三角形.  2.思考: (1)如图,点A,B,C叫作这个三角形的　　　　;线段AB,BC,CA叫作这个三角形的　　　　;∠A,∠B,∠C叫作这个三角形的　　　　,简称三角形的角.  (2)一个三角形有　　　　个顶点,　　　　条边,　　　　个角.  (3)三角形用符号“△”表示,如图所示的三角形可以表示为“　　　　”,读作“　　　　”.  (4)三角形的三边有时也用它所对的角的相应小写字母表示,如:边BC对着∠A,记作　　　　;边CA记作　　　　;边AB记作　　　　.  3.讨论:图中有几个三角形?分别用符号表示出来. 1.如图,回答下列问题. (1)图中有几个三角形?试写出这些三角形. (2)∠1是哪个三角形的角? (3)以CE为一条边的三角形有几个?哪几个? 知识点二：三角形按边的分类 阅读课本本课时“议一议”中后两段文字中的内容,回答下列问题. 1.明晰概念:(1)在三角形中,三条边　　　　的三角形叫作不等边三角形,有　　　　的三角形叫作等腰三角形,三条边　　　　的三角形叫作等边三角形.  (2)在等腰三角形中,相等的两条边叫作　　　　,第三条边叫作　　　　,两腰的夹角叫作　　　　,腰与底边的夹角叫作　　　　.  2.讨论:等边三角形是等腰三角形吗?三角形如何按边长分类? 2.△ABC的三边长为3,3,5,按边长分类,△ABC是　　　　.  知识点三：三角形的三边关系 阅读课本本课时“思考”至“例1”的内容,回答下列问题. 1.旧知回顾:两点之间的所有连线中,　　　　最短.  2.讨论:三角形中任意两边的和大于　　　　,三角形中任意两边的差小于　　　　.  3.思考:构成三角形的三条边,两条较短边之和　　　　最长边.  3.下列各组线段中,不能组成三角形的是 (　　) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.5,12,13 三角形三边关系的应用 例　某建材市场上一种钢管的长度规格及相应价格如下表所示.学校要制作一个三角形支架的宣传牌,已经购买了两根长度分别为2 m和5 m的钢管,现还需要购买一根. 规格/m 1 2 3 4 5 6 价格/(元/根) 10 15 20 25 30 35 (1)有哪几种规格的钢管可供选择? (2)若要求做成的三角形支架的周长为偶数,则做成三角形支架的钢管一共需要花多少钱? 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.∠B　BC　AC 2.等边三角形. 3.能. 自学检测 1.B　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.同一条直线上　首尾依次相接 2.(1)顶点　边　内角 (2)三　三　三 (3)△ABC　三角形ABC (4)a　b　c 3.图中有5个三角形,分别是△ABC,△EBC,△DBC,△ABE,△DEC. 对点训练 1.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△BCO,△BDO,△CEO;(2)∠1是△BCD或△BDO的内角;(3)以CE为一条边的三角形有两个,分别是△BCE和△CEO. 知识点二 1.(1)互不相等　两条边相等　都相等 (2)腰　底　顶角　底角 2.是,等边三角形是特殊的等腰三角形. 对点训练 2.等腰三角形 知识点三 1.线段 2.第三边　第三边 3.大于 对点训练 3.A 题型精讲 题型 例 解:(1)设第三根钢管的长度为x m, 则5-2<x<5+2,即3<x<7, 所以长度为4 m、5 m、6 m的钢管可供选择. (2)因为三角形支架的周长为偶数, 所以三边长分别为2 m、5 m、5 m, 则一共需要花的金额为15×1+30×2=75(元). 答:做成三角形支架的钢管一共需要花75元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 第3课时 三角形中角的关系 素养目标 1.会按角把三角形分类. 2.理解三角形内角和为180°,能用三角形内角和定理解决有关问题. 3.知道三角形外角的概念,知道三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 重点 三角形的内角和定理的探究. 【自主预习】 1.三角形的三个内角和等于多少度? 2.在△ABC中,∠A=100°,则△ABC是什么三角形? 1.在△ABC中,∠A=50°,∠C=60°,则∠B的度数是 (　　) A.30° B.50° C.60° D.70° 2.已知△ABC的三个内角的大小关系为∠A+∠B=∠C,则这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【合作探究】 知识点一：三角形的内角和 阅读课本本课时“例3”之前的内容,回答下列问题. 1.课堂操作:给你一张三角形纸片,你能运用折叠或剪拼的办法得出三角形的三个内角和是180°吗? 2.思考:(1)平角=　　　　.  (2)仿照课本中的方法,构造平角,还可以过点B作边　　　　或过点　　　　作边BC的平行线.  3.揭示概念:△ABC的内角和等于　　　　,即∠A+∠B+∠C=　　　　.  4.说一说:课本“例3”中,运用　　　　这一等量关系,设出一元一次方程,从而利用方程求解三角形的各内角的度数.  1.一个缺角的三角形ABC残片如图所示,量得∠A=65°,∠B=70°,则这个三角形残缺前的∠C的度数为 (　　) A.55° B.50° C.45° D.40° 知识点二：三角形按角分类 阅读课本本课时“说一说”及相关内容,回答下列问题. 1.思考:因为三角形的内角和等于180°,在三角形的三个内角中,最多能有　　　　个直角,最多能有　　　　个钝角,　　　　个锐角.  2.明晰概念:(1)三角形中,三个角都是锐角的三角形叫作　　　　三角形,有一个角是直角的三角形叫作　　　　三角形,有一个角是钝角的三角形叫作　　　　三角形.  (2)直角三角形中夹直角的两边叫作　　　　边,直角相对的边叫作　　　　,直角三角形ABC可以简写成“　　　　”.  2.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4,则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 知识点三：三角形的外角定理 阅读课本本课时“思考”至“例4”的内容,回答下列问题. 1.明晰概念:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫作三角形的　　　　.  2.观察:课本“图4.1-15”,若延长AC到点E,则三角形∠ACB的外角也可以是　　　　,该角与∠ACD互为　　　　,因此,三角形的每一个内角相邻的外角可作　　　　个,它们相等.  3.思考:(1)三角形的外角和与之相邻的内角的数量关系是　　　　.理由:　　　　.  (2)课本“图4.1-15”中,∠ACB加上外角　　　　等于180°,且∠ACB加上另外两个内角等于180°,即　　　　=　　　　.  　　(1)三角形的一个外角等于与它　　　　的两个内角的和;(2)三角形的一个外角　　　　任何一个和它不相邻的内角;(3)三角形外角和为　　　　.  ·学法指导· 　　三角形外角的所有相关性质都是由三角形的内角和为180°推理得到的. 3.如图,∠AOB=35°,∠ABD=110°,则∠OAB的度数为 (　　) A.65° B.70° C.75° D.80° 三角形内角、外角的应用 例　如图,∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°,求∠BDC的度数. 变式训练　如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.180°. 2.钝角三角形. 自学检测 1.D　2.B 【合作探究】 知识生成 知识点一 2.(1)180° (2)AC的平行线　A 3.180°　180° 4.三角形的内角和为180° 对点训练 1.C 知识点二 1.1　1　3 2.(1)锐角　直角　钝角 (2)直角　斜边　Rt△ABC 对点训练 2.B 知识点三 1.外角 2.∠BCE　对顶角　两 3.(1)互补　平角等于180° (2)∠ACD　∠ACD　∠A+∠B 归纳总结　(1)不相邻　(2)大于　(3)360° 对点训练 3.C 题型精讲 题型 例 解:如图,连接AD,并延长. 因为∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠C, 所以∠BDC=∠3+∠4=(∠1+∠B)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C. 因为∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°, 所以∠BDC=110°. 变式训练　 解:因为∠AGF=∠C+∠E,∠AFG=∠B+∠D,∠A+∠AGF+∠AFG=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 第2课时 三角形中的特殊线段 素养目标 1.掌握三角形的高、中线与角平分线的概念和画法. 2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点的性质. 3.明确重心的概念与意义. 重点 会作三角形的高、中线和角平分线,并能根据性质进行计算. 【自主预习】 1.如图,在△ABC中,D是BC的中点,AE平分∠BAC,AF⊥BC于点F,请指出△ABC的中线、角平分线和高. 2.三角形有几条中线? 1.如图,若CD是△ABC的中线,AB=12,则BD的长为 (　　) A.6 B.5 C.8 D.4 2.如图,若∠ACB=60°,CD是∠ACB的平分线,则∠ACD=　　　　.  【合作探究】 知识点一：三角形的高 阅读课本本课时“做一做”及其前面一段文字,回答下列问题. 1.明晰概念:从三角形的一个顶点到它对边　　　　的垂线段叫作三角形的高.  2.课堂操作:分别画一画下面三个三角形所有边上的高,你能得出什么结论吗? 　　三角形的三条高相交于一点. 1.如图,△ABC的高是 (　　) A.线段BC B.线段EC C.线段BD D.线段CD 知识点二：三角形的角平分线 阅读课本本课时“做一做”后面的一段文字,回答下列问题. 1.明晰概念:如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫作△ABC的　　　　,表示为∠1=∠2=∠BAC或　　　　.  2.讨论:三角形的角平分线与角的平分线有什么区别? 3.思考:三角形的角平分线有几条?它们相交于一点吗? 2.如图,BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,如果∠DBC=∠ECB,试说明∠ABC=∠ACB. 知识点三：三角形的中线 阅读课本本课本“说一说”至“例2”的内容,回答下列问题. 1.(1)明晰概念:三角形中,连接一个顶点与它　　　　的线段叫作三角形的中线.  (2)讨论:三角形的中线有几条?它们相交于一点吗? 2.(1)思考:三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形面积相等吗?为什么? (2)揭示概念:三角形的三条中线相交于　　　　,我们把这三条中线的交点叫作三角形的　　　　.  ·学法指导· 　　三角形的中线、高、角平分线都是线段,都有三条,且都分别交于一点. 3.如图,在△ABC中,AD为中线,AB=5,AC=9,则△ACD与△ABD的周长之差为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 三角形的高、角平分线、中线的综合应用 例　在等腰三角形ABC中,一腰AC上的中线把三角形的周长分为12 cm和15 cm两部分,求此三角形各边的长. 变式训练　如图,△ABC中,AB=2 cm,BC=4 cm,△ABC的高AD与高CE的比是多少? 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.△ABC的中线、角平分线和高分别是AD,AE和AF. 2.3条. 自学检测 1.A　2.30° 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.所在直线 2.画图略,第一个(锐角)三角形三条高的交点在三角形内部;第二个(直角)三角形三条高的交点在三角形的直角顶点;第三个(钝角)三角形三条高的交点在三角形外部. 对点训练 1.C 知识点二 1.角平分线　2∠1=2∠2=∠BAC 2.区别:三角形的角平分线是一条线段,可以度量;角的平分线是一条射线,不可度量. 3.三条.它们相交于一点. 对点训练 2.解:因为BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线, 所以∠ABC=2∠DBC,∠ACB=2∠ECB, 又∠DBC=∠ECB, 所以∠ABC=∠ACB. 知识点三 1.(1)对边中点 (2)三条.它们相交于一点. 2.(1)面积相等.这两个三角形的高都为原三角形的高,且底边相等. (2)一点　重心 对点训练 3.A 题型精讲 题型 例 解:(1)当底边小于腰长时,如图1,依题意有AB+AD=15(cm),BC+CD=12(cm). 图1 因为AB=AC,D是AC的中点,所以AD=AC=AB,从而AB+AD=AB=15(cm), 所以AC=AB=10 cm,CD=AD=5 cm,BC=12-CD=7(cm). 图2 (2)当底边大于腰长时,如图2,则有AB+AD=12(cm),BC+CD=15(cm), 同上法可求得AB=AC=8 cm,BC=11 cm. 上述两种情况解得的线段都构成三角形,故此题有两解. 变式训练　 解:S△ABC=BC·AD=AB·CE, 所以BC·AD=AB·CE,即4AD=2CE, 所以AD与CE的比是. 学科网（北京）股份有限公司 $