专题 16.9 整式的乘法（全章常考知识点分类专题）- 2025-2026学年人教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

专题 16.9 整式的乘法（全章常考知识点分类专题） 目录 【知识点1】幂的运算 1 【考点1】同底数幂的乘法 1 【考点2】同底数幂的除法 3 【考点3】幂的乘方 4 【考点4】积的乘方 5 【考点5】幂的混合运算 7 【知识点2】整式的乘法 9 【考点6】单项式乘以单项式 9 【考点7】单项式乘以多项式 10 【考点8】多项式乘以多项式 12 【考点9】已知乘积不含某项求参数的值 13 【知识点3】整式的除法 15 【考点10】单项式除以单项式 15 【考点11】多项式乘以多项式 17 【知识点4】乘法公式 18 【考点12】平方差公式 18 【考点13】完全平方公式 20 【考点14】公式与几何图形结合 22 【考点15】整式的四则混合运算 24 【考点16】整式四则运算化简求值 26 【考点17】整式的乘法中的规律问题 30 【知识点1】幂的运算 【考点1】同底数幂的乘法 运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即： 逆用法则： 【例题1】（2025七年级上·全国·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．熟练掌握同底数幂的乘法运算是解题的关键． 先根据已知条件求出的值，再将所求式子进行变形，利用整体代入的方法计算． 解：， ， ， 的值为． 【变式1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，正确变形、熟练掌握同底数幂的乘法的逆运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘法的逆运算，则把x、y、z进行变形，然后比较即可． 解：∵， ∴，无法确定z与y的关系； ∴的大小关系不可能是， 故选：B． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）规定：，若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法， 由新定义得，进而由同底数幂的乘法可得，据此即可求解． 解：，， ， ∴， ， ， 故答案为：． 【考点2】同底数幂的除法 运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即： 逆用法则： 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，同底数幂相除的应用， 先根据同底数幂相除法则可得，再将待求式整理为，然后代入求值即可. 解： ， ， ∴原式 ． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法． 根据同底数幂的除法法则求出的值，进而计算的值即可． 解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）已知，则x的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】此题考查同底数幂乘除法的逆用，将等式左边各数的底数化为2，利用同底数幂乘除法法则逆用得到，列得，求出x的值即可． 解：∵ ， ∴， 解得， 故选：D． 【考点3】幂的乘方 运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即： 逆用法则： 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，n为正整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同底数幂的乘法和积的乘方公式的逆应用将所求代数式变形，然后将已知条件代入求值即可． 解：原式． ，， ∴原式， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘等基本法则的应用。需逐一验证各选项的正确性． 解：选项A：， 合并同类项时，系数相加，字母部分不变。，但结果错误地写为，故A错误； 选项B：， 只有同类项（同底数且同指数）才能合并，而与指数不同，无法合并为，故B错误； 选项C：， 根据幂的乘方法则，，故，C正确； 选项D：， 系数相乘为，字母部分，结果应为，但D写为，故D错误． 故选C． 【变式2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【答案】184 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方对式子化简，再逆用幂的乘方进行运算即可． 解：∵， ∴． 故答案为： 【考点4】积的乘方 运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即： （是正整数） 逆用法则： 【例题4】（23-24七年级下·湖南常德·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法运算、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算及积的乘方、幂的乘方运算法则求解即可． 解： ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可求解． 解：A． ，原式计算正确，故符合题意； B． ，原式计算错误，故不符合题意； C． ，原式计算错误，故不符合题意； D．，原式计算错误，故不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）计算： ； 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算及积的乘方，根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则与积的乘方法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【考点5】幂的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 . 【例题5】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂运算法则，乘方运算法则，进行计算即可； （2）根据积的乘方，同底数幂乘法，同底数幂除法运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的混合运算，熟练掌握幂的乘法的混合运算是解题的关键．先根据幂的乘法的混合运算，将化为，得到，，再根据a，b，c都是自然数，求出a，b，c的可能值即可． 解：， ， ， ， ①，②， ，b，c都是自然数， 由②可知，或或， 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 当时，代入①得， ； 综上所述，可取的值有3个． 故选：B． 【变式2】（2025九年级下·上海·专题练习） ． 【答案】 解：本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 解： 故答案为：． 【知识点2】整式的乘法 【考点6】单项式乘以单项式 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母及其指数保留不变. 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，即可求解； （2）先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2） ． 【变式1】（23-24八年级下·广东惠州·开学考试）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是对整式乘除的考查，熟练掌握同底数幂除法，幂的乘方及积的乘方运算是解决本题的关键． 根据单项式乘单项式，同底数幂除法，幂的乘方及积的乘方运算法则依次计算各项，并判断即可． 解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；     B. ，原选项计算错误，不符合题意； C. ，原选项计算错误，不符合题意； D. ，则，计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 【考点7】单项式乘以多项式 用单项式去乘以多项式每一项，再把它们的积相加. 即乘法分配律： 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论； （）根据单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即可得出结论． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 解：， ， ， 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先求出厨房的宽，然后表示出厨房和卫生间的面积之和，然后计算出费用即可． 解：厨房的长为米，宽为米，即米，卫生间的长为米，宽为米， 厨房与卫生间的面积之和为：（平方米）， 每平方米的防水材料a元， 至少需要购买材料费用为：元． 故答案为：． 【考点8】多项式乘以多项式 用多项式每一项去乘以另一个多项式每一项，再把它们的积相加. 特殊形式： 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，正确运用相关运算法则计算是解题关键． （1）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 本题可通过计算的值，根据其正负性来判断与的大小关系．需要先分别展开和的表达式，然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小． 解：∵，， ∴ ， 因为，即， 所以 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则展开，然后把整体代入计算即可． 解：∵， ∴ ， 故答案为：1． 【考点9】已知乘积不含某项求参数的值 用（单）多项式乘以多项式展开后，把不含某项的系数和相加，含其为零即可. 【例题9】（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，以及整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值， （1）原式利用完全平方公式变形后，将与的值代入计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值． 解：（1）解：原式 ． 由积中不含和项，得， 解得． 则原式． （2）， ， ∴原式 ． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题的关键是根据题意将式子展开再让不含该项的系数为0． 根据多项式乘多项式的法则，计算展开后，合并同类项，让与项的系数分别为 0 即可求解． 解： ， ∵乘积中不含与项， ， 解得：， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含项的系数等于0建立方程，解方程即可得． 解： ， ∵多项式的计算结果不含项， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点3】整式的除法 【考点10】单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【例题10】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． 解：（1）解：； （2）解： ． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握单项式除以单项式法则． 根据单项式除以单项式法则求解即可． 解：A．，此项正确，不合题意； B．，此项正确，不合题意； C．，此项错误，符合题意； D．，此项正确，不合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 【考点11】多项式乘以多项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【例题11】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据多项式除以单项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 解：， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式、幂的乘方与积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式除以单项式可得原式等于，再利用幂的乘方与积的乘方的逆用计算即可得． 解：∵， ∴ ， 故答案为：54． 【知识点4】乘法公式 【考点12】平方差公式 平方差公式：. 变化形式：位置变化，系数变化： 【例题12】（23-24七年级上·全国·期中）运用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平方差公式． （1）直接利用平方差公式计算即可． （2）直接利用平方差公式计算即可． （3）先提负号，再利用平方差公式计算即可． 解：（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）小颖在计算时，把3写成后，发现可以运用平方差公式进行计算，则式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式求解是解答的关键． 仿照例子方法，可在式子最前面添加，然后利用平方差公式求解即可． 解： ， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式、开平方等知识，熟记平方差公式、开平方运算是解决问题的关键．先将恒等变形得到，进而得到，开平方即可得到答案． 解：， ， 即， 则， 故答案为：． 【考点13】完全平方公式 完全平方公式：. 公式变形：， 【例题13】（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 解：原式 ． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确的解答过程． 【答案】不正确，将原式添括号时出错．过程见分析． 【分析】本题考查完全平方，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 对添括号，可得，如此，计算即可；将看作整体，运用完全平方公式计算，再进一步用完全平方公式计算，即可得解． 解：不正确，将原式添括号时出错．正确的解答过程如下： 原式． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．14 B．20 C．22 D．33 【答案】C 【分析】该题考查了完全平方公式，通过平方运算将变形求出的值，进而求解即可． 解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）是一个完全平方式，则k的值可以是 ． 【答案】13或 【分析】根据完全平方公式即可求出答案．本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 解：由题意得：， 即， 解得， 故答案为：或． 【考点14】公式与几何图形结合 （1）验证平方差公式和完全平方公式；（2）利用整式的乘除运算和乘法公式求面积或和与差； 【例题14】（20-21七年级下·陕西西安·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【答案】（1）B；（2）①；②127 【分析】此题考查了平方差公式的应用． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）①根据平方差公式即可得到得到答案；②利用平方差公式得到，即可得到答案． 解：（1）解：因为图1中阴影部分的面积等于，图2是长为，宽为得长方形， ∵图2是由图1中的阴影部分拼成的， ∴， 故选：B； （2）解：①由（1）得， ∵ ∴， ∵， ∴. ② ∵， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·湖北黄石·开学考试）古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（    ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，对于A选项，用两种方法表示出中间阴影部分的面积即可判断；对于B选项，用两种方法表示出大正方形的面积即可判断；对于C选项，用两种方法表示出阴影部分的面积即可判断；对于D选项，用用两种方法表示出大正方形的面积即可判断． 解：A、中间阴影部分是边长为的正方形，则其面积为，中间阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； B、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于两个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项符合题意； C、阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，则其面积为，阴影部分面积等于两个梯形面积之和，则其面积为，则，故此选项不符合题意； D、大正方形的边长为，则其面积为，而大正方形的面积等于一个小正方形面积加上两个小长方形面积，则其面积为，则，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式三者之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，根据大正方形的面积等于4个长为a宽为的长方形面积加上小正方形的面积，根据题意列式即可得出答案． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． 解：根据题意可得， 图2中正方形的边长为，中间阴影部分小正方形的边长为，图1的面积为， 则． 故答案为：． 【考点15】整式的四则混合运算 整式的加、减、乘、除混合运算，按运算法则即可. 【例题15】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据完全平方公式，平方差公式，整式的除法解答即可； （）根据完全平方公式，平方差公式，整式的加减解答即可； （）连续利用平方差公式解答即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，那么代数式值是（    ）． A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题考查的是已知式子的值求代数式的值，整式的混合运算，掌握其运算规则是解题的关键.由已知方程可得，将代数式展开并整理，利用整体代入计算即可. 解：∵， ∴， ∴ ； 因此，代数式的值为15， 故选：D 【变式2】（25-26七年级上·北京·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，根据完全平方公式，多项式除以单项式化简，再代入求值即可． 解：， 原式 ． 故答案为：． 【考点16】整式四则运算化简求值 整式的加、减、乘、除混合运算，再化简求值即可. 【例题16】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中； （3），其中x满足； （4），其中； （5），其中x，y是方程组的解； （6），其中a，b满足． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6）， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式、去括号法则与合并同类项法则是解题的关键． （1）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，然后代入求值； （2）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，再计算，最后代入求值； （3）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据，得，代入即可； （4）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据，得，代入即可； （5）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，解方程组求出、的值代入即可； （6）运用乘法公式、去括号、合并同类项得到最简结果，根据已知条件求出、的值代入即可． 解：（1）解：原式 ， 当时， 原式； （2）原式 ． ， ∴原式． （3）原式 ． ， ， ∴原式． （4）原式 ． ， ， ∴原式． （5）原式 ． 解方程组， 把①②得：，即， 将代入①得：， ， ∴当时，原式． （6）由题意，得， 把①②得：，即， 将代入①得：， ， 原式 ． 当时，原式． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式，平方差公式及多项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 解： ； 当时， 原式． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知代数式之间存在这样的等量关系：．根据这个等量关系，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了利用完全平方式求值，解题的关键是熟练掌握完全平方式的变形． （1）利用完全平方式进行变形，代数求值即可； （2）设，则，利用完全平方式求出的值即可． 解：（1）解：， ， ； （2）解：设，则， ， ， ， ， 即的值为． 【考点17】整式的乘法中的规律问题 利用观察法，观察多项式相乘中规律特点，进行解题即可 【例题17】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． （1）多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； （2）写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； （3）利用材料中的规律计算：． 【答案】（1）五；六；32；（2）；64；（3） 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）把，代入，即可解答本题． 解：（1）解：由题意可得：， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘以多项式规律性问题，解题关键是掌握多项式乘以多项式计算方法． 先根据规律得出，再代入，求得的结果． 解：根据，，，，， 当时， ， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 【答案】 63 3 【分析】此题考查整式的乘法规律的探究，能正确理解题中各代数式的结果得出的规律并运用规律进行计算是解题的关键． （1）根据规律题中的已知条件得到规律，进行分析，即可作答； （2）先计算该代数式的值得到结果为，再探究得到个位数字的规律即可得到答案． 解：（1）观察题干式子，得， 故答案为：63； （2） ， ∵的个位数是，的个位数是， 的个位数是，的个位数是，的个位数是……， ∵ ∴的个位数是3． 故答案为：3 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 16.9 整式的乘法（全章常考知识点分类专题） 目录 【知识点1】幂的运算 1 【考点1】同底数幂的乘法 1 【考点2】同底数幂的除法 2 【考点3】幂的乘方 2 【考点4】积的乘方 2 【考点5】幂的混合运算 3 【知识点2】整式的乘法 3 【考点6】单项式乘以单项式 3 【考点7】单项式乘以多项式 3 【考点8】多项式乘以多项式 4 【考点9】已知乘积不含某项求参数的值 4 【知识点3】整式的除法 5 【考点10】单项式除以单项式 5 【考点11】多项式乘以多项式 5 【知识点4】乘法公式 6 【考点12】平方差公式 6 【考点13】完全平方公式 6 【考点14】公式与几何图形结合 7 【考点15】整式的四则混合运算 8 【考点16】整式四则运算化简求值 8 【考点17】整式的乘法中的规律问题 9 【知识点1】幂的运算 【考点1】同底数幂的乘法 运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即： 逆用法则： 【例题1】（2025七年级上·全国·专题练习）若，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）已知为整数，且，则的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）规定：，若，则x的值为 ． 【考点2】同底数幂的除法 运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即： 逆用法则： 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知实数a，b，c满足，，，求的值． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则式子的值是 ． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）已知，则x的值为（　　） A． B．1 C． D．2 【考点3】幂的乘方 运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即： 逆用法则： 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，，n为正整数，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北·期末）已知n是正整数，且，则 ． 【考点4】积的乘方 运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即： （是正整数） 逆用法则： 【例题4】（23-24七年级下·湖南常德·期中）计算： 【变式1】（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川内江·开学考试）计算： ； 【考点5】幂的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减 . 【例题5】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： （1）； （2） 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，为自然数，且满足，则可取的值有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（2025九年级下·上海·专题练习） ． 【知识点2】整式的乘法 【考点6】单项式乘以单项式 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母及其指数保留不变. 【例题6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24八年级下·广东惠州·开学考试）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）若，则 ． 【考点7】单项式乘以多项式 用单项式去乘以多项式每一项，再把它们的积相加. 即乘法分配律： 【例题7】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图为李伯伯家的户型尺寸示意图（单位：米），为了防止日后渗漏，李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料，若每平方米的防水材料a元，则至少需要购买 元的防水材料． 【考点8】多项式乘以多项式 用多项式每一项去乘以另一个多项式每一项，再把它们的积相加. 特殊形式： 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期中）若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【考点9】已知乘积不含某项求参数的值 用（单）多项式乘以多项式展开后，把不含某项的系数和相加，含其为零即可. 【例题9】（25-26八年级上·全国·单元测试）若的积中不含和项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【变式1】（24-25六年级下·山东淄博·开学考试）若的乘积中不含与项，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）若多项式的计算结果不含项，则的值为 ． 【知识点3】整式的除法 【考点10】单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【例题10】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【考点11】多项式乘以多项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 【例题11】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使得运算更简单．已知，则代数式的值为 【知识点4】乘法公式 【考点12】平方差公式 平方差公式：. 变化形式：位置变化，系数变化： 【例题12】（23-24七年级上·全国·期中）运用平方差公式计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）小颖在计算时，把3写成后，发现可以运用平方差公式进行计算，则式子化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如果，求的值为 ． 【考点13】完全平方公式 完全平方公式：. 公式变形：， 【例题13】（2025八年级上·全国·专题练习）计算：． 解：原式 ． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错在哪里，并写出正确的解答过程． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．14 B．20 C．22 D．33 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）是一个完全平方式，则k的值可以是 ． 【考点14】公式与几何图形结合 （1）验证平方差公式和完全平方公式；（2）利用整式的乘除运算和乘法公式求面积或和与差； 【例题14】（20-21七年级下·陕西西安·期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是__________（请选择正确的一个） A．  B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知．求的值； ②若，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·湖北黄石·开学考试）古代的数学家常常用图形来理解一些数学公式，从图（    ）中可以很清晰地看出公式成立． A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）如图1是一个宽为a、长为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．则根据这两个图形间的关系，得到代数式三者之间的数量关系为 ． 【考点15】整式的四则混合运算 整式的加、减、乘、除混合运算，按运算法则即可. 【例题15】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，那么代数式值是（    ）． A．18 B．17 C．16 D．15 【变式2】（25-26七年级上·北京·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 【考点16】整式四则运算化简求值 整式的加、减、乘、除混合运算，再化简求值即可. 【例题16】（2025八年级上·全国·专题练习）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中； （3），其中x满足； （4），其中； （5），其中x，y是方程组的解； （6），其中a，b满足． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知代数式之间存在这样的等量关系：．根据这个等量关系，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【考点17】整式的乘法中的规律问题 利用观察法，观察多项式相乘中规律特点，进行解题即可 【例题17】（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． （1）多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； （2）写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； （3）利用材料中的规律计算：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）根据，，，的规律，则可以得出的结果可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据，，，．所包含的规律，回答下列问题． （1）的值为 ． （2）的个位数字是 ． 2 / 30 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