13.1.1.1 勾股定理(课件)2025-2026学年华东师大版（2024）八年级数学上册

华东师大版·八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 13.1.1 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 1 新课导入 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)吗？在这次大会上，可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标. 会徽的原型即是1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图. 探究新知 思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？ P Q R A C B SP+SQ=SR 直角三角形ABC三边有什么关系？ AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方. 那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？ 观察右图，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到： P Q R A B C 正方形P的面积=______cm2； 正方形Q的面积=______cm2； 正方形R的面积=______cm2. 9 16 25 P Q R A B C 我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________ _______________. SP+SQ=SR 由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是： AC2+BC2=AB2 作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 5cm 12cm 13cm 对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？ a b c 大正方形的面积=c2. 4个全等的直角三角形和1个小正方形的面积之和 = . 即a2+b2=c2. 由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 a2+b2=c2， a b c 这种关系我们称为勾股定理. 即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴a2+b2=c2(勾股定理). 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就. 勾 股 a b c 股 勾 弦 点击图片播放视频 例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC的长. 解：根据勾股定理，可得AB2 + BC2=AC2. 所以AC= = =10. 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长. 练 习 1.在Rt△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C=90°. (1)若a=6，c=10，求b； (2)若a=24，c=25，求b. 解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，由勾股定理，得 . (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=24，c=25，根据勾股定理，得 . 2.如果一个直角三角形的两条边长分别是3cm和4cm，那么这个三角形的周长是多少厘米？（精确到0.1cm） 解：分两种情况.①若这两边是直角边，则斜边长是 =5，周长是3+4+5=12(cm)；②若这两边中较长的边是斜边，则斜边长为4厘米，所以另一直角边的长为 (cm)，周长是 (cm)，所以此三角形的周长是12cm或9.6cm. 如图，已知长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，求DE的长. 解：∵∠A=∠C′=∠C=90°, ∠AEB=∠C′ED，AB=C′D, ∴△AEB≌△C′ED. ∴AE=C′E， ∴C′E=AD−ED=8−ED. 又在△EC′D中，ED2=C′E2+C′D2. ∴ED2=(8−ED)2+42，解得ED=5. 拓展延伸 课堂小结 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a b c a2+b2=c2 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长. 数学思想：数形结合思想；特殊到一般的思想；转化思想. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. Lavf57.62.100 $上高描述的图中间的这个图形就是咱们熟知的直角三角形。它的两条直角边在古代分别叫沟和股，而斜边叫弦。图中通过正方形的面积表示了勾股弦三边的一种关系。这个关系在三国时期吴国的赵爽对周髀算经做的注释中，被概括成勾股各自乘，并之为涎石开方除之系。咁也就是说，把直角三角形两边的平方再加起来便是斜边的平方，开个方就是斜边边长。这就是古今中外人人称道的勾股定理，也是本章的主角。尽管大禹治水是神话传说，周髀算经里商高和周公的对话也只是传下来的故事，但这样的记载足以说明咱们的祖先两千多年前就已经娴熟的运用勾股定理或它的相关性质，并且把它当做数学核心的奥妙之一。但纵观世界勾股定理的历史，还能追溯的更早。美国哥伦比亚大学的图书馆里保存着1块3800年前的泥板，上面的楔形文字就是古巴比伦人用60进制表示的满足A方加B方等于C方的数组。2600年前的古印度经文里描述了如何通过构造直角三角形的斜边做出一个大正方形，其面积是这两个小正方形的和。而在古希腊，直角三角形的这个性质更是被尊为毕达哥拉斯和他的学派的瑰宝级研究成果，并被后人冠名为毕达哥拉斯定理。欧几里德后来写几何原本的时候，推理证明了一整套几何定理，而证明毕达哥拉斯定理则是整个第一卷推理的压轴戏。古希腊数学奠定了西方数学的基础，而西方数学对世界数学发展的巨大影响，促使毕达哥拉斯定理成为了勾股定理的国际通用名。它不仅是历史最悠久的数学定理，也是世界上最家喻户晓的数学定理，同时，它还被公认为数学最美的定理之一。勾股定理是世界上正法最多的定理，它的证明多达四百多个，其中绝大多数是最近几百年里涌现出来的。发现这些证明的人不仅仅是数学家，而是一堆意想不到的人，有文艺复兴的全才达芬奇，后来成为美国总统的加菲尔德，而更多的是名不见经传的数学爱好者，其中还有好几个中学生呢。