第13章 重难专题4 巧用勾股定理解决问题-【初中必刷题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件（华师大版2024）

数 学 八年级上册 HS 第13章 勾股定理 重难专 题4 巧用勾股定理解决问题 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 难关 类型1 解决最短距离问题 1.［2025山西长治期末，中］如图，长方体的长为，宽为 ，高为 ，点距离点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点 去吃一滴 蜜糖，则它需要爬行的最短距离是( ) D A. B. C. D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【解析】展开左面和上面如图（1），连结 ，则 ；展开上面和前面如图（2），连结 ，则 ；展开前面和右面如图（3），连结 ，则 ， 一只蚂蚁要沿 着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图（1） 图（2） 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2.［中］如图，某小区的两个喷泉，位于小路 的同 侧，两个喷泉间的距离的长为 .现要为喷泉铺设供 水管道，，供水点在小路上，供水点到 的距离的长为，的长为 . （1）求供水点到喷泉， 需要铺设的管道总长； 【解】在中， ， 在 中， ， 供水点到喷泉， 需要铺设的 管道总长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）求出喷泉到小路 的最短距离. 【解】，，，， 是直角三角形，， 喷泉到小路的最短距离是 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 类型2 折叠问题 （第3题图） 3.［中］如图，长方形纸片中，已知 ，折叠纸片使 边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且 ， 则 的长为( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】由折叠知，， ， ，，， ， .设，则.在 中，根据勾 股定理得，解得， .故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出 的长，再 在中利用勾股定理即可求出 的长． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 4.［2024贵州六盘水期中，中］如图，在中， ， 于点 ，为线段上一点，连结，将边沿折叠，使点的对称点落在 的 延长线上．若，，则 的面积为___． （第4题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 【解析】 ，， ， ， ，即 ，， .由折叠的性质可得 ，， ，即 ，， ， ，故答案为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5.［2025广东深圳期中，较难］如图，长方形中， ， .点为边上的一动点，将沿折叠，得到 （点的对应点为点），连结，，当为等腰三角形时， 的长为 _____________. 8或或或10 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图（1） 【解析】设与交于点.由折叠知是线段 的垂直平分 线，，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论:①当 时，如图（1），.设 ，则 .， ，解得 （负值已舍去），即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图（2） ②当，且在长方形内部时，如图（2），过点 作 交于点，交于点 ， ， ， .在 中，由勾股定理得 ，.设，则, .在 中，由勾股定理得，解得，即 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图（3） ③当，且在长方形外部时，如图（3），过 作 于点，交于点，则 , , ， .设，则 ， .在中， ，即 ，解得， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ④当时，如图（4），易知点在线段 的垂直平分线 上.∵点在线段的垂直平分线上，点 重合，此时， .综上， 的长为8或52或203或10，故答案为8或52或203或10. 图（4） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 思路分析 根据题意分类讨论：①当时;②当，且 在长方形内部时；③ 当，且在长方形外部时；④当 时，分别画出图形，设未知数， 利用勾股定理建立方程求解即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 类型3 利用勾股定理解决实际问题 6.［较难］如图，有一辆环卫车沿公路由点向点行驶，已知点 为 一所学校，且点与公路上两点，的距离分别为和 ， ，环卫车周围以内（不包括 ）为受噪声影响区域. （1）学校 会受噪声影响吗？为什么？ 【解】学校会受噪声影响.理由如下：如图，过点作 于 ，，，, 是 直角三角形， , ， ，即， 环卫车 周围以内（不包括）为受噪声影响区域， 学校 会受噪声影响． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）若环卫车噪声影响该学校持续的时间为 ，求环卫车的行驶速度为多少. 【解】如图，当， 时， ， 环卫 车噪声影响该学校持续的时间为， 环卫车的行驶速度为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 关键点拨 （2）理解题意，作图得到 为受噪声影响路段是本题解题关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $$