精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题（平行班）

吉林一中23级2025-2026学年度上学期第一次质量检测 数学学科（平行班） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数，即可求出. 【详解】解：由， 则，所以， 则. 故选：C. 2. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 为等比数列的前项和，若，且，则等于（ ） A. 2 B. 4050 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列基本量计算出，进而结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 即，解得， 所以. 故选：A. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即取等号， 故最小值为25， 故选：B 5. 在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】由题意可知，正六边形的边长为，且， 因为，则，所以，， 又因为，所以，、、三点共线， 根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则，， 因此，. 故选：C. 6. 已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，结合向量的线性运算和数量积运算化简，求的范围可得 的取值范围. 【详解】当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心， 因为正方形的边长为2，所以圆的半径为， 如下图所示： 则，， 所以，. 因为点为正方形四条边上的动点，所以， 又，所以， 故选：A. 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值. 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， ，则， ， ， 由得：，解得：，又，. 故选：B. 8. 已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果. 【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称， 由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称， 所以与都关于点对称， 所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程（p，）的根，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，复数模的运算公式，结合复数模的几何意义、实系数一元二次方程根的性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以在复平面内对应点位于第一象限，故A正确； B：设，显然有， 但是，故B错误； C：因为，所以设， 所以， 显然当时，的最小值为1，故C正确； D：因为是关于的方程的根， 所以也是关于的方程的根， 于有，故D错误. 故选：AC 10. 设，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前n项和公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，则 由，得，解得， 所以， 当时，当时，取最小值；当时，当时，取最大值；故A错误； 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若的最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有个最值点，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出函数的解析式，然后逐项判断即可求解. 【详解】对A：若，为偶函数，则，，所以，A选项正确； 对B：若的最小正周期为，则，所以，故B正确； 对C:由，得，若在区间上有且仅有个最值点， 则，得，故C正确； 对D：因为，若， 则或， 得或， 又，所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示求解即可. 【详解】由题意可得，则， 解得， 故答案为： 13. 已知函数是偶函数，若则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入数据根据偶函数性质计算得到答案. 【详解】设，则， 故答案为 【点睛】本题考查了函数值的计算，意在考查学生的计算能力. 14. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先利用已知条件化简整理得，再根据化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长. 【详解】因为，所以，即是钝角， 是锐角，，即得，故 ，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，，故， 又由，故，即周长. 故答案为：. 【点睛】本题解题关键在于灵活运用两角和与差的正弦公式，由弦化切得到，结合展开，利用基本不等式求解.三角形中常用的诱导公式有：，，等等. 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化简函数式，然后利用正弦函数的单调性求解； （2）由对称性得，代入后再结合诱导公式求值． 【小问1详解】 ∵； ∴令，解得：， ∴的单调递增区间为． 【小问2详解】 ∵在区间（0，π）上恰有2个零点，∴，在（0，π）有两个根 由（1）知，当时，函数图像的对称轴为， 所以，则 所以， 又，故． 16. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】（1） （2）65 （3），分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数； （3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断. 【小问1详解】 1－5组的频率分别为， . 【小问2详解】 ， 这50名应骋者最低分数为第三四分位数所对应的分数， 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 第三四分位数落在内，设为m， 则，解得 这50名店骋者的量低分数力65分. 【小问3详解】 依题意， ， ，， ， 分的应聘者的成绩进入到了的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 17. 在中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求内角； （2）点是边上的中点，已知，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角；（2）根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用数量积公式和基本不等式即可求得面积的最大值. 【小问1详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 因为，所以，于是有， 所以，即， 因为，所以， 所以， 即. 【小问2详解】 因为点是边上的中点，所以， 对上式两边平分得：， 因为，所以，即， 而，有，所以，当且仅当时，等号成立. 因此. 即面积的最大值为. 18. 已知函数． （1）当时，求在上的单调区间； （2）若，使得，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，；单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，对其求导，通过导数正负来判断原函数增减； （2）通过对a的讨论，得到函数在上的单调性，结合，得出可使得时的取值范围. 【小问1详解】 当时，，，令， 得，故或.因为 当时，解得或； 当时，解得. 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为. 【小问2详解】 由题知，，， 当时，，即在上的单调递减，故恒成立，不符合题意； 当时，令，即，不妨设，且，则当时，，即，故在上的单调递增， 因为，所以，在上大于零，符合题意. 综上所述，. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 19. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，的前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）；；（2）；（3）． 【解析】 【分析】(1) 设等差数列的公差为，由已知条件，结合等差数列的通项公式和求和公式可得，从而可求出首项和公差，即可求出通项公式；设等比数列公比为，由已知条件结合等比数列的通项公式即可求出公比，从而可求出的通项公式. (2)由错位相减法即可求出前项和. (3)由(1)可知，整理可得，由裂项相消法可得，由恒成立可得恒成立，结合的单调性即可求出实数的最大值. 【详解】解：(1)设等差数列的公差为， ，，. 设等比数列公比为（其中），因为， 由，可得，解得或（舍去）； 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则①． ② 由①减去②得， 则，所以的前n项和. （3）由(1)可知，， 则 恒成立，恒成立， 单调递增，时，， 最大值为. 【点睛】方法点睛: 常见数列求和的方法有：公式法；裂项相消法；错位相减法；分组求和法等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中23级2025-2026学年度上学期第一次质量检测 数学学科（平行班） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为等比数列的前项和，若，且，则等于（ ） A. 2 B. 4050 C. D. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 5. 在校拔河比赛上某班荣获一枚奖牌，如图所示为边长为的正方形，为正六边形，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题（本大题共3小题、每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，满足，则 C. 若，，则的最小值为1 D. 若是关于x的方程（p，）的根，则 10. 设，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有（ ） A. 当时，取最大值 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知为偶函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若的最小正周期为，则 C. 若在区间上有且仅有个最值点，则取值范围为 D. 若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则______． 13. 已知函数偶函数，若则___________. 14. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，则当角取最大值时，的周长为_________. 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若函数在区间（0，π）上恰有2个零点，求的值． 16. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中各组频数，参考数据：）. 17. 在中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求内角； （2）点是边上的中点，已知，求面积的最大值. 18. 已知函数． （1）当时，求在上的单调区间； （2）若，使得，求的取值范围． 19. 已知等差数列满足其中为的前项和，递增的等比数列满足：，且，，成等差数列． （1）求数列、的通项公式； （2）设的前项和为，求 （3）设，前n项和为，若恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $