专题05 椭圆、双曲线、抛物线、直线与椭圆的位置关系8考点（期中真题汇编，贵州专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

null 专题05 椭圆、双曲线、抛物线、直线与椭圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 考点02 求解椭圆的标准方程 考点03 椭圆定义及焦点三角形问题 考点04 椭圆的离心率 考点05 直线与椭圆的位置关系 考点06 椭圆的中点弦问题 考点07 椭圆中的定值、定点问题 考点08 椭圆中的弦长与面积问题 地 城 考点01 由方程表示椭圆求参数的取值范围 1．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可. 【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 故选：D 地 城 考点02 求解椭圆的标准方程 1．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)古希腊数学家阿基米德多年前利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，则椭圆的面积为（    ） A．30 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出，再提供的椭圆面积公式求出椭圆的面积. 【详解】因为，，所以椭圆的面积为． 故选：C 2．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（　　） A．椭圆的长轴长等于4 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的标准方程可以是 D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答． 【详解】解：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角得：，解得a＝4，A不正确； 显然b＝2，则，离心率，B正确； 当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确． 故选：BCD． 3．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)椭圆的长轴长为12，且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】首先根据已知椭圆方程求出焦点坐标，并确定焦点位置和的值，再根据长轴长求得的值，最后根据，，的关系求解椭圆方程即可 【详解】根据已知椭圆方程，易知焦点坐标为，得：焦点位置在轴且； 由于椭圆的长轴长为，因此得：，即， 由于，因此得：椭圆的标准方程为：. 故答案为： 4．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)长轴长为8，短轴长为4； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）分焦点在轴和轴两类情况求解即可. 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得  化简的，由得，+ 整理得. （2）根据题意，若焦点在y轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，， 则有，，故要求椭圆的标准方程为； 若焦点在x轴上，长轴长为8，短轴长为4，即，， 则有，，故要求椭圆的标准方程为； 5．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果; （2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． （2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 6．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点. （1）若，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据得到，，可得； （2）设，根据得到，，代入，解得，可得，从而可得椭圆方程. 【详解】（1）若，则和为等腰直角三角形．所以有，即．所以，． （2）由题知，，设， 由，得，所以 ，． 代入，得． 即，解得．所以， 所以椭圆方程为． 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题. 7．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为. （1）求点的轨迹方程； （2）求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由题意得出，由椭圆的定义可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点），设点的轨迹方程为，求出、的值，可得出点的轨迹方程； （2）利用，并利用基本不等式可求出的最大值. 【详解】（1）由题知，，， 由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以点、为焦点的椭圆（去掉左右端点）， 设动点的轨迹方程为，则，， ，得，因此，动点的轨迹方程为； （2）由（1）可知，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，因此，的最大值为. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，同时也考查了利用椭圆的定义和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中等题. 地 城 考点03 椭圆定义及焦点三角形问题 1．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（　　） A．5 B．2 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【详解】椭圆的长轴长，由点到椭圆一个焦点的距离为3及椭圆定义， 得到另一个焦点的距离为. 故选：C 2．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)阿基米德在其著作《关于圆锥体和球体》中给出了一个计算椭圆面积的方法：椭圆长半轴的长度、短半轴的长度和圆周率三者的乘积为该椭圆的面积.已知椭圆的面积为，，为椭圆C的两个焦点，为椭圆C上任意一点.若，则椭圆的焦距为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先通过，确定的值，再通过椭圆的面积公式求出，最后求出，即可得到椭圆的焦距. 【详解】根据题意可得，则， 因为，所以，则， 所以椭圆C的焦距为： 故选：C. 3．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线与椭圆交于M，N两点，则（    ） A．椭圆的离心率 B．的周长为12 C．的面积为 D．为等边三角形 【答案】ABD 【分析】根据椭圆方程，求得a，b，c，再逐项求解判断. 【详解】因为椭圆： ， 所以， 则，故A正确； 的周长为，故B正确； 的面积为，故C错误； ，所以为等边三角形，故D正确； 故选ABD 4．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)（多选）设定点、，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．不存在 【答案】BC 【解析】由基本不等式可得，可得或，即可判断轨迹. 【详解】、，， ，，当且仅当，即时等号成立， 当时，即，此时点的轨迹是线段， 当时，即，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 【点睛】本题考查椭圆轨迹的判断，属于基础题. 地 城 考点04 椭圆的离心率 1．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由条件可知，，即. 故选：B 2．(24-25高二上·贵州毕节金沙县第五中学·期中)已知（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为且，，右焦点为，直线与直线相交于点．若垂直于轴，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题借已知条件建立、、的方程，再由方程构造求解即可. 【详解】解：由题意得：，，，，， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，得：， 而垂直于轴，所以是方程的解，则， 整理得：， 故选：A 【点睛】本题考查借、、的等量关系求椭圆离心率的问题，是中档题. 3．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设椭圆的方程为，运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆标准方程； 【详解】 解：设椭圆的方程为， 由题意可得，，， 可得，，，则椭圆的标准方程为. 故答案为：. 4．(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校·期中)已知椭圆的标准方程是，过椭圆左焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于A、B两点，连接OA，OB，构成的三角形AOB是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意，得到，方程两边同时除，然后解方程即可求. 【详解】由题意，设椭圆左焦点为， 将代入，解得， 如图： 所以，， 因为三角形AOB是等腰直角三角形， 所以， 所以，整理得，所以， 又因为离心率，所以， 解得或（舍）. 故答案为： 5．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)已知椭圆和圆，过椭圆C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是 【答案】 【分析】由已知及圆的性质，得四边形是正方形，得，由得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由，得，又是圆的切线， 由圆的性质，得四边形是正方形，则， 因此，椭圆离心率， 所以椭圆C的离心率e的取值范围是. 故答案为： 6．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①; ②; ③; ④．其中正确的式子序号是 ． 【答案】②③ 【分析】根据图象可知、，从而；根据，可知；进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】解：由图可知，， ，①不正确， ，， ，②正确． ， ， 即， ， ，，③正确； 此时，④不正确． 故答案为：②③． 考点：椭圆图像及性质 7．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】由题知． 地 城 考点05 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)（多选）已知椭圆：的左、右两个焦点分别为，，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是 A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】ABC 【解析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可. 对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可. 【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形. 故 A正确. 对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确. 对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确. 对D, 设则 . 又由C可知直线的斜率为,故.所以. 故.故D错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题. 2．(24-25高二上·贵州贵阳乌当区某校·期中)已知椭圆E：的短轴长为2，且离心率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)过点且不与y轴重合的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，求面积的最大值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)；或 【分析】（1）待定系数法求椭圆方程； （2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理表示弦长，结合三角形面积公式和基本不等式计算求得直线斜率最后得到直线方程. 【详解】（1）设的半焦距为， 由已知，得，解得， 故的方程为. （2）    由题可设. 将代入，消去，得. 当，即时，有. 所以 又点到直线的距离， 所以的面积. 设，则， 当且仅当，即时等号成立，且满足. 所以的面积最大值为， 此时直线的方程为或. 3．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)在平面直角坐标系中，椭圆的左、右两个焦点分别是，，在椭圆上运动. (1)若的最大值为120°，求，的关系式； (2)若点是在椭圆上位于第一象限的点，过点作直线的垂线，过作直线的垂线，若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标（用，表示）. 【答案】(1) (2)当时，点P的坐标为或， 当，点P的坐标为. 【分析】（1）根据椭圆的定义可知，，，利用余弦定理与基本不等式即可求得； （2）设，当时，直线的斜率不存在，易知与重合，不满足题意；当时，求出直线与直线的方程联立，分类讨论求解P的坐标即可. 【详解】（1）根据椭圆的定义可知，，， 因为， 所以 ， 所以，即. （2） 设， 当时，直线的斜率不存在，易知与重合，不满足题意； 当时，则直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为，① 直线的斜率，则直线的斜率. 直线的方程，② 联立①②解得：    ，则， 由在椭圆上，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或互为相反数， 则或，∴或， 由，点在第一象限，得为， 由，消去，得为， 当时，，，故， 当时，此时不存在. 综上，当时，点P的坐标为或， 当，点P的坐标为. 地 城 考点06 椭圆的中点弦问题 1．(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校·期中)已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围. 【详解】设 ，又点在椭圆上， 则， 两式相减可得: ， 所以， 又， 则 ， 又点在椭圆内，则， 则 , 所以 . 故选：D. 2．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知椭圆：过点，长轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线与椭圆交于，两点，当为线段中点时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可. 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，得， 又椭圆过点， 所以，得.    所以椭圆的标准方程为:. （2）直线的斜率不存在时，过点，直线的方程为： 此时线段中点为，不合题意.   所以直线的斜率必存在，设其为，，， 因为为的中点，则，所以， 将、坐标代入椭圆的标准方程为得，， 两式相减得：，整理得：， 所以，， 所以. 所以直线的方程为，即. 因为点在椭圆内部，所以直线必与椭圆相交于两点，此直线即为所求. 地 城 考点07 椭圆中的定值定点问题 1．(24-25高二上·贵州贵阳华师一集团校·期中)已知直线的方程的方程：，圆的圆心在坐标原点，当坐标原点到直线的距离最远时，圆与直线相切，点是圆上任意一点，过点作轴的垂线交轴于点，点在线段上，且满足，点的轨迹记为曲线，曲线与轴的正、负半轴分别交于两点，在轨迹上，且满足. (1)证明直线经过定点并求出定点的坐标； (2)求轨迹的方程； (3)求直线所经过的定点. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）联立，求出方程组的解，由此可证明直线经过定点并可知定点坐标； （2）根据条件先求解出的方程，根据相切关系求解出圆的方程，利用相关点法可求轨迹的方程； （3）设出的方程，与的方程联立可得的坐标，根据的坐标表示出的方程，由此可知定点坐标. 【详解】（1）令，解得， 即对任意，总是方程的一组解， 所以直线经过定点. （2）当时，此时原点到直线的距离最远， (理由如下：当时，此时到的距离即为， 当与不垂直时，过作交于，显然在中，， 所以时，此时到的距离最大.) 因为，所以，所以，即， 因为与相切，所以，所以； 设，且， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以. （3）令方程中，解得，所以， 由题意可设，， 当的斜率不存在时(不与轴重合)，此时一正一负，不符合题意，所以的斜率存在， 当时，，即重合，重合，不符合要求，所以， 联立，可得，所以， 所以，所以，所以， 联立，可得，所以， 所以，所以，所以， 所以， 所以，化简可得， 所以经过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 地 城 考点08 椭圆中的弦长与面积问题 1．(24-25高二上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，若为椭圆上的一点（不在轴上），则面积的最大值是（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】椭圆, 椭圆左、右焦点分别为，， 故, 为椭圆上的一点，设，则且， . 故选：B. 2．(22-23高二上·贵州毕节金沙中学·期中)已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，为原点.求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）结合弦长公式求得三角形面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）由焦距为2，得，所以①. 由椭圆过点，得②，将①代入②，整理得， 解得，（舍去）. 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，代入椭圆方程， 消去，得. 所以，解得. 设，，则，. 所以 ， 原点到直线的距离. 所以. 由基本不等式知，. 当且仅当，即时取等号. 所以的面积的最大值为. 【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积有关的问题，关键点有三点：一个是弦长，一个是面积，一个是最值或取值范围.弦长的求法主要结合根与系数关系，面积还要结合点到直线的距离公式，求面积的最值或取值范围，可考虑基本不等式、二次函数的性质等知识来进行求解. 3．(23-24高二上·贵州镇宁民族中学·期中)已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）若直线与轴重合，则，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 由韦达定理可得，， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 地 城 考点09 抛物线的轨迹方程 1．(23-24高二上·贵州遵义仁怀仁怀六中·期中)在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得． 【详解】由题意， 由得， 化简得． 故答案为：． 地 城 考点10 双曲线的弦长问题 1．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得； （2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围； 【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线， 所以，设双曲线的焦距为2c，， 故，即． 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将代入，可得，故． 将的面积为， 所以，即， 所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得，， 所以解得，且 所以 ． 联立方程组得，同理， 所以． 所以，其中， 所以． 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $