3.4 一元一次方程的应用 导学案 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

3.4 第1课时　一元一次方程的应用(1) 素养目标 1.根据实际问题中的数量关系,能利用一元一次方程解航行、工程、和差倍分、积分、数字问题. 2.通过问题中的数量关系,建立方程模型解决实际问题. 理解并掌握用一元一次方程解决航行、工程、和差倍分、积分、数字问题. 【自主预习】 某项工程甲单独做4天完成,乙单独做6天完成,若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工程,若设甲一共做了x天,则下列方程正确的为 ( ) A.+=1　　　　　B.+=1 C.+=1　　　　　D.++=1 1.今年小凯12岁,他爸39岁.x年后小凯的年龄是他爸年龄的一半,则x的值是 ( ) A.10　　　　　B.12　　　　　C.14　　　　　D.15 2.某旅行社组织200人到A景区和B景区旅游,到B景区的人数是到A景区人数的2倍少1人,到两地旅游的人数各是多少? 【合作探究】 知识点一：航行问题 　　阅读课本本课时“思考”,回答下列问题. 1.顺水速度=静水速度+ ;逆水速度=静水速度- .  2.一艘船从甲码头顺流而下到乙码头,用了2小时;逆流返回到甲码头时,用了2.5小时.已知水流速度是3千米/时,求船在静水中的速度. 知识点二：列一元一次方程解决实际问题的步骤 　　阅读课本本课时“例1”至“做一做”,回答下列问题. 1.运用一元一次方程解决实际问题的步骤: 、列方程、 、检验、作答.  2.(优秀传统文化)我国古代劳动人民在耕种的时候有这样一个问题:“耠(huō)子耧(lóu)六十三,百根腿地里钻,两者各几何?”其大意为耠子和耧共有63个,共有100条腿,问有多少个耠子,多少个耧?(已知耠子和耧都是古代的农具,一个耠子有一条腿,一个耧有两条腿) 　　列一元一次方程解决实际问题时要注意: 1.明确题目类别,并明确该类问题中有几类不同性质的量,它们之间的基本关系式是什么. 2.要认真审查已知数量与未知数量的性质,同类性质的量有几种,已知量及未知量之间的对应关系.必要时,可以通过列表格,画线段图等办法对已知数量及未知数量的关系进行整理. 3.正确地用含有x的代数式表示相等关系中的有关未知量是列方程的基础. 某项工程,若由甲工程队单独施工需要3周,每周耗资8万元,若由乙工程队单独施工需要6周,每周耗资3万元.若甲、乙两工程队全程合作施工,需要几周完成?共需耗资多少万元? 题型1：和差倍分问题 例1　一本课外读物共有80页,小明计划用3天时间阅读完.已知小明第一天阅读了x页,第二天阅读的页数比第一天的2倍少30页,第三天阅读的页数比第一天的多20页.问小明这三天分别阅读了多少页? 题型2：积分问题 例2　阳光体育季,赛场展风采.七年级组织迎新拔河比赛,每班代表队都需比赛10场,如图,这是此次拔河比赛积分榜的部分信息,请解决下列问题: (1)由积分榜可知,胜一场得 分,负一场得 分.  (2)已知积分榜中4班的积分是24分,求4班胜了几场比赛. 题型3：数字问题 例3　一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小2,若这个两位数恰好为个位上数字的6倍,则这个两位数是多少? : 　　不能直接设两位数为x,要将两位数分解成个位、十位上的两个数字,然后设其中一个为x,另一个用含x的代数式表示,运用间接设元法灵活地解决此问题. 参考答案 【自主预习】 预学思考 B 自学检测 1.D 2.解:假设到A景区旅游的人数为x人,则到B景区旅游的人数为(2x-1)人. 由题意得x+(2x-1)=200, 解得x=67, 则到B景区旅游的人数为2x-1=133(人). 答:到A景区和B景区旅游的人数分别是67人,133人. 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.水速　水速 2.解:设船在静水中的速度为x千米/时. 由题意得2(3+x)=2.5(x-3), 解得x=27. 答:船在静水中的速度为27千米/时. 知识点二 1.设未知数　解方程 2.解:设耠子有x个,则耧有(63-x)个.由题意可列方程x+2(63-x)=100,解得x=26,所以63-x=37. 答:耠子26个,耧37个. 对点训练 解:设甲、乙两工程队合作施工,需要x周完成. 由题意,得x=1, 解得x=2, 所以(8+3)×2=22(万元). 答:甲、乙两工程队全程合作施工,需要2周完成,共耗资22万元. 题型精讲 例1 解:因为小明第一天阅读了x页, 所以小明第二天阅读了(2x-30)页,第三天阅读了页. 由题意得x+(2x-30)+=80, 解得x=27, 所以2x-30=2×27-30=24,x+20=×27+20=29. 答:小明第一天阅读了27页,第二天阅读了24页,第三天阅读了29页. 例2 解:(1)3;1. (2)设4班胜了x场比赛,则负了(10-x)场比赛. 由题意得3x+1×(10-x)=24, 解得x=7. 答:4班胜了7场比赛. 例3 解:设个位上的数字为x,则十位上的数字为x-2. 由题意得10(x-2)+x=6x, 解得x=4. 答:这个两位数是24. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.4 第2课时　一元一次方程的应用(2) 素养目标 1.根据实际问题中的数量关系,能利用一元一次方程解行程、方案、利润、调配、分段计费问题. 2.通过分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题,进一步体会方程模型的作用. 理解并掌握用一元一次方程解行程、方案、利润、调配、分段计费问题. 【自主预习】 行程问题中的三个量之间的关系是什么? 答:路程=速度× ;速度=;时间=.  1.元旦期间某商场进行促销活动,把一件进价160元的衬衫,按照八折销售希望仍可获利20%,设这件衬衫的标价为x元,由题意列方程,正确的是 ( ) A.0.8x-160=160×20% B.160×0.8-x=20%×160 C.0.8x=x+20%x D.0.8x=x+20%×160 2.学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙处植树的有17人.现调20人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人,应调往甲、乙两处各多少人? 【合作探究】 知识点一：行程问题 　　阅读课本本课时“思考”,回答下列问题. 1.行程问题中的等量关系的基本类型: (1)相遇问题:快行距+慢行距= .  (2)追及问题:快行距-慢行距= .  (3)环路问题:当甲、乙同时同地背向而行时,甲路程+乙路程=环路一周的距离. 甲、乙同时同地同向而行:快者的路程-慢者的路程=环路一周的距离. 2.甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地,甲骑车,乙步行,甲的速度是乙的速度的3倍,甲到达B地停留40分钟,然后从B地返回A地,在途中遇见乙,这时距他们出发的时间恰好3小时,问两人的速度各是多少? 【学习小助手】本题属于相遇问题,其中的数量关系可以用如图所示的线段图表示: A,B两地相距25千米,则有等量关系:甲走的路程+乙走的路程=25千米×2. 　　行程问题中经常会建立线段图的模型直观地找出题目的等量关系,这是解决实际问题的一个重要方法. 知识点二：调配问题 　　阅读课本本课时“例3”,回答下列问题. 某施工队在甲处有31人,乙处有21人,由于任务的需要,现另调23人去支援,使在甲处施工的人数是在乙处施工人数的2倍,问应调往甲、乙两处各多少人? 知识点三：方案问题 　　阅读课本本课时“例4”,回答下列问题. 本学期,我校开展“师生齐健身”活动,七年级(1)班需购买乒乓球拍4副及乒乓球若干盒(不少于4盒),班长小明了解到本市有甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价20元,乒乓球每盒定价5元.如今两家商店都搞促销活动,甲店:每买一副球拍赠一盒乒乓球.乙店:按定价的九折优惠.则小明去哪家商店购买更合算? 题型1：利润问题 例1　一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售,如果每件服装按标价的七五折出售,可盈利60元.若每件服装按标价的五折出售,则亏损60元. (1)每件服装的标价为多少元? (2)若这种服装一共库存80件.按标价的八折出售一部分后,将余下服装按标价的五折全部出售,结算时发现共获利2 400元,问按八折出售的服装有多少件? : 题型2：分段收费问题 例2　为了鼓励节约用电,供电局规定:如果每户每月用电不超过150千瓦时,那么每千瓦时a元;如果用户该月用电超过150千瓦时,那么超过部分每千瓦时(a+0.3)元. (1)若小明家6月份用电130千瓦时,共交电费65元,求a的值. (2)在(1)的前提下,小明家7月份交电费137.4元,请问小明家7月份用电多少千瓦时? 参考答案 【自主预习】 预学思考 时间 自学检测 1.A 2.解:设应调往甲处x人,则调往乙处(20-x)人. 由题意得23+x=2[17+(20-x)]+3, 解得x=18, 所以20-x=2. 答:应调往甲处18人,乙处2人. 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.(1)原距 (2)原距 2.解:设乙的速度为x千米/时,则甲的速度为3x千米/时,甲遇见乙时,乙走的路程可以表示为3x千米,甲走的路程可以表示为×3x=7x km. 由题意得7x+3x=25×2, 解得x=5, 所以3x=15. 答:甲的速度是15千米/时,乙的速度是5千米/时. 知识点二 解:设应调往甲处x人,调往乙处(23-x)人. 由题意得31+x=2(21+23-x), 解得x=19, 23-x=23-19=4. 答:应调往甲处19人,调往乙处4人. 知识点三 解:设购买乒乓球x盒. 在甲店购买,所需费用=20×4+5×(x-4)=5x+60; 在乙店购买,所需费用=20×4×90%+5x×90%=4.5x+72. 5x+60=4.5x+72,解得x=24. 所以当x=24时,在甲、乙两店购买所需费用相同;当x>24时,去乙店购买合算;当x<24时,去甲店购买合算. 题型精讲 例1 解:(1)设每件服装的标价为x元. 由题意得0.75x-60=0.5x+60, 解得x=480. 答:每件服装的标价为480元. (2)设按八折出售的服装有y件. 由题意得0.8×480y+0.5×480(80-y)-80×(0.5×480+60)=2 400, 解得y=50. 答:按标价的八折出售的服装有50件. 例2 解:(1)由题意,得130a=65,解得a=0.5. 答:a的值为0.5. (2)设小明家7月份用电x千瓦时, 因为用电150千瓦时时,电费为150×0.5=75(元)<137.4(元), 所以小明家7月份用电量大于150千瓦时, 所以150×0.5+(x-150)×(0.5+0.3)=137.4, 解得x=228. 答:小明家7月份用电228千瓦时. 学科网（北京）股份有限公司 $