3.2 等式的基本性质 导学案 2025-2026学年湘教版数学七年级上册

3.2 第3课时　利用等式的基本性质把方程化为x=a的形式(2) 素养目标 1.会把含有括号和分母的一元一次方程化为x=a的形式. 2.准确并熟练地运用去括号法则把含有括号和分母的一元一次方程化为x=a的形式. 把含有括号和分母的一元一次方程化为x=a的形式. 【自主预习】 1.什么叫作去括号? 2.去括号: (1)x+(y+z)= ;  (2)a-(b-c)= ;  (3)-3(2a-b-3c)= ;  (4)-2(x+1)+3(1-x)= .  3.方程=1+的分母的最小公倍数为 .  1.把方程=2-去分母,结果正确的是 ( ) A.2x-1=2-(x+1) B.2(2x-1)=2-(x+1) C.2(2x-1)=16-x+1 D.2(2x-1)=16-(x+1) 2.若2(a+3)的值与-4互为相反数,则a的值为 ( ) A.-5　　　　　B.-　　　　　C.-1　　　　　D. 【合作探究】 知识点一：把含有括号的一元一次方程化为x=a的形式 　　阅读课本本课时“思考”至“例4”之前内容,回答下列问题. 1.把含有括号的一元一次方程化成x=a的形式时,如果题中有小括号、中括号、大括号,那么去括号的顺序应该是什么? 2.把含有括号的一元一次方程化成x=a的形式的步骤是什么? 3.把方程11-2(x-1)=3+4(2x-3)化成x=a的形式. 解方程3-(x+6)=-5(x-1)时,去括号正确的是 ( ) A.3-x+6=-5x+5　　　　　 B.3-x-6=-5x+5 C.3-x+6=-5x-5　　　　　 D.3-x-6=-5x+1 　　(1)当方程中含有括号的式子时,去括号的方法与整式运算中去括号的方法类似,都是以分配律为变形的依据;(2)去括号时一定要注意符号问题. 知识点二：把含分母的一元一次方程化为x=a的形式 　　阅读课本本课时“例4”至“例5”的内容,回答下列问题. 1.去分母利用的是等式的哪一条性质? 2.去分母时,是在等式两边同时乘什么数? 　　在原方程的两边都乘各个分母的 ,从而将分母去掉,方程的这种变形叫作去分母.  3.把方程=化成x=a的形式. 把含有分数的一元一次方程化为x=a的形式时应注意以下两点:(1)分子如果是一个多项式,去掉分母后,要添上括号;(2)注意整数项不要漏乘各分母的最小公倍数. 方程-=1的解是 .  题型1：解决定义新运算问题 例1　若a,b为有理数,现规定一种新运算“△”:a△b=5a-4b.求满足等式(x+2)△(2x-1)=1的x的值. 题型2：把分母含有小数的一元一次方程化为x=a的形式 例2　把方程-=x-化成x=a的形式. 【学习小助手】分数的分子、分母同时乘10,的分子、分母同时乘100,分子、分母就都化为整数了. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:运用乘法对加法的分配律,将方程中的括号去掉,方程的这种变形叫作去括号. 2.(1)x+y+z (2)a-b+c (3)-6a+3b+9c (4)-2x-2+3-3x 3.6 自学检测 1.D　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.解:一般按先去小括号、再去中括号、最后去大括号的顺序进行. 2.解:去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3.解:去括号,得11-2x+2=3+8x-12, 移项,得-2x-8x=3-12-11-2, 合并同类项,得-10x=-22, 系数化为1,得x=2.2. 对点训练 B 知识点二 1.解:等式的基本性质2. 2.解:在方程两边同时乘各分母的最小公倍数. 揭示概念 最小公倍数 3.解:去分母,得2(2x+1)=5x+1, 去括号,得4x+2=5x+1, 移项,得4x-5x=1-2, 合并同类项,得-x=-1, 两边同除以-1,得x=1. 对点训练 x=4 题型精讲 例1 解:由题意知5(x+2)-4(2x-1)=1, 去括号,得5x+10-8x+4=1, 移项,得5x-8x=1-10-4, 合并同类项,得-3x=-13, 两边同除以-3,得x=. 例2 解:由分数的基本性质,得-=x-, 去分母,得3x-(x-1)=6x-2, 去括号,得3x-x+1=6x-2, 移项,得3x-x-6x=-2-1, 合并同类项,得-4x=-3, 两边同除以-4,得x=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 第1课时　等式的基本性质 素养目标 1.理解等式的两个基本性质. 2.会利用等式的基本性质对等式进行变形. 利用等式的基本性质对等式进行恒等变形. 【自主预习】 1.已知3m=5n(m,n均大于0),根据等式的基本性质,下面等式不成立的是 ( ) A.30m=50n　　　　　 B.9m=25n C.10m=15n+m　　　　　 D.20n=12m 2.下列变形中,正确的是 ( ) A.若a+3=b-1,则a+3=3b-3 B.若2x-6=4y-2,则x-3=2y-2 C.若a-3=2b-5,则a=2b-8 D.若a-3=b+4,则a=b+7 1.将等式4a=2b-1进行如下变换,正确的是 ( ) A.4a-2b=1　　　　　B.2b=4a-1 C.b=2a+　　　　　D.a=b-1 2.下列各式运用等式的基本性质变形,正确的是 ( ) A.若a=b,则a+c=b-c B.若ac=bc,则a=b C.若=,则a=b D.若(m2-1)a=(m2-1)b,则a=b 【合作探究】 知识点：等式的基本性质 　　阅读课本本课时“思考”至“例2”的内容,回答下列问题. 1.方程3x=2x+1与方程x=1的解相同吗?为什么? 　　对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质1:等式两边都 或 同一个数(或整式),等式两边仍然相等.  2.方程x=3与方程x=6的解相同吗?为什么? 　　对于含有未知数的等式也成立的等式的基本性质2:等式两边都乘(或除以)__________的数,等式两边仍然相等.  3.如果在等式a=b 的左边加上3,右边减去 3,原等式还成立吗? 4.你是怎么理解性质中的“两边”和“同一个”的?能否去掉这两个词语? 5.若a=b,则=是否一定成立? 　　(1)理解概念要注意“都”和“同一个”,“都”表示左、右两边同时加、减、乘或除以,不能遗漏掉任一边;“同一个”表示同时加、减、乘或除以的数必须相同. (2)利用等式的基本性质进行变形时,除以同一个数或同一个整式时,这个数或整式不能为0. (3)除了以上两个性质外,等式还有以下性质:若a=b,则b=a;若a=b,b=c,则a=c. (4)等式的两条基本性质是解一元一次方程的依据. 若x+5=1,则x的值为 ;若a-2a=1,则2a的值为 .  题型1：等式变形的判断 例1　下列运用等式的基本性质对等式进行的变形中,正确的是 ( ) A.若 4y+2=3y-1,则y=1 B.若 7a=5,则a= C.若=0,则x=2 D.若-1=1,则x-6=1 　　首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的,确定变形的依据,再对等式的右边进行相应的变形,得出结论. 变式训练 已知等式 3a=2b+5,则下列等式不一定成立的是 ( ) A.3a-5=2b 　　　　　B.3a+1=2b+6 C.3ac=2bc+5　　　　　D.a=b+ 题型2：利用等式的基本性质用整体法求值 例2　已知 4x2-4x-2=6,求x2-x的值. 【学习小助手】思考以下两个问题: (1)若要将原等式的左边变为4x2-4x,应在原等式的两边作什么变形? (2)如何将代数式4x2-4x变为x2-x? 　　用“整体法”解题的关键:(1)寻找未知和已知之间的联系;(2)利用等式的基本性质将已知变形,对整体求值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.B　2.D 自学检测 1.C　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点 1.解:设数a是方程3x=2x+1的解,则3a=2a+1,根据小学所学的等式的基本性质,两边都减去同一个数2a,得a=1.因此,1是方程3x=2x+1的唯一解.又1是方程x=1的唯一解,因此,方程3x=2x+1与方程x=1的解相同. 归纳总结 加上　减去 2.解:设数b是方程x=3的解,则b=3.根据小学所学的等式的基本性质,两边都乘同一个数2,得b=6.因此,6是方程x=3的唯一解.又6是方程x=6的唯一解,因此,方程x=3与方程x=6的解相同. 归纳总结 同一个不为0 3.解:不成立. 4.解:“两边”指等号的左边和右边,“同一个”指等式的左边和右边加上(减去、乘或除以)的数都相同;这两个词语都不能去掉. 5.解:不一定成立.若m=0,则=就不成立. 对点训练 -4　-2 题型精讲 例1　 B 变式训练 C 例2 解:因为4x2-4x-2=6,所以4x2-4x-2+2=6+2,即4x2-4x=8, 所以(4x2-4x)=×8,即x2-x=2. 【学习小助手】 答:(1)在原等式的两边同时加上2. (2)将代数式4x2-4x除以4或乘可得到x2-x. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 第2课时　利用等式的基本性质把方程化为x=a的形式(1) 素养目标 1.能利用等式的基本性质把方程化为x=a的形式. 2.理解移项的概念,会正确移项. 利用等式的基本性质把方程化为x=a的形式. 【自主预习】 1.等式有哪些基本性质? 2.根据等式的基本性质完成下列变形: ①x+3=7→x=7-3;②5x=4x-2→5x-4x=-2. (1)观察上述两个等式变形,发现①中等号左边的“3”移到等号的右边变成了 .  (2)②中等号右边的“4x”移到等号左边变成了 .  (3)这种变形叫作什么呢? 1.下列方程变形正确的是 ( ) A.由5+x=12,得到x=12+5 B.由x=x-1,得到2x=x-1 C.由2x=7,得到x= D.由3x=2x+6,得到3x-2x=6 2.利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式: (1)x+5=10;(2)-5x=30. 【合作探究】 知识点：移项 　　阅读课本本课时“做一做”至“例3”之前的内容,回答下列问题. 方程4x-2=2-x,移项后正确的是 ( ) A.4x+x=2+2　　　　　B.4x-x=2-2 C.4x+x=2-2　　　　　D.4x-x=2+2 　　把方程中的某一项改变 后,从等式的一边移到另一边,方程的这种变形叫作移项.  　　移项时应注意以下几点: (1)移项的时候一定要变号; (2)未移动的项不能改变符号; (3)不要漏写任一项. 　　移项时,要明确哪些量要移动,不移动的项放在方程两边不变. 【易错提示】移项必须满足以下两个条件:①跨过等号;②改变符号.若某一项只在方程改变位置,不跨过等号,则不改变符号. 1.下列移项正确的是 ( ) A.由x-5=15,得x=15-5 B.由 3x=-2x-1,得 3x+2x=1 C.由7-3x=4x,得-4x-3x=7 D.由8-4x=2+3x,得8-2=4x+3x 2.(过程性学习)如图所示的框图表示解方程3x+20=4x-25的流程.其中,“移项”的依据是 .  题型1：利用等式的基本性质将方程化为x=a的形式 例1　利用等式的基本性质将下列方程化为x=a的形式. (1)5x-8=12;(2)4x-2=2x;(3)x+1=6;(4)3-x=7;(5)x+3=9. 　　利用等式的基本性质将方程化为x=a的形式的步骤: (1)利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未知数的项,右边含有常数项的形式; (2)利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1. 变式训练　 利用等式的基本性质,求下列各题中x的值. (1)x+7=6;(2)-5x=20;(3)-x-5=4. 题型2：已知一元一次方程的解求字母的值 例2　已知x=-3是关于x的方程2x-m=5-2x的解,求m的值. 变式训练　 若关于x的一元一次方程x+1=2和a-3x=2 的解相同,求a的值. 　　利用方程的解的定义,把未知数的值代入原方程,得到关于字母系数的方程,再解之即可得到字母的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.解:(1)等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),所得结果仍是等式; (2)等式两边都乘(或除以)同一个数(或整式)(除数或除式不能为0),所得结果仍是等式. 2.(1)-3 (2)-4x (3)解:移项. 自学检测 1.D 2.解:(1)移项,得x=10-5, 合并同类项,得x=5. (2)方程两边都除以-5,得x=-6. 【合作探究】 知识生成 知识点 A 揭示概念 符号 对点训练 1.D 2.等式的基本性质1 题型精讲 例1 解:(1)移项,得5x=12+8, 合并同类项,得5x=20, 方程的两边同时除以 5,得x=4. (2)移项,得4x-2x=2, 合并同类项,得2x=2, 方程的两边同时除以 2,得x=1. (3)移项,得x=6-1, 合并同类项,得x=5. (4)移项,得-x=7-3, 合并同类项,得-x=4, 方程的两边同时除以-1,得x=-4. (5)移项,得x=9-3, 合并同类项,得x=6, 方程的两边同时乘4,得x=24. 变式训练　 解:(1)x=-1.(2)x=-4.(3)x=-27. 例2 解:将x=-3代入原方程,得2×(-3)-m=5-2×(-3),即-6-m=11,解得m=-17. 变式训练　 解:解方程x+1=2,得x=1,将x=1 代入a-3x=2,得a-3=2,解得a=5. 学科网（北京）股份有限公司 $