专题3.1 等量关系和方程、等式的基本性质、一元一次方程的解法（举一反三讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题3.1 等量关系和方程、等式的基本性质、一元一次方程的解法（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 （一元一次）方程的概念】 5 【题型2 列方程】 5 【题型3 由（一元一次）方程的解求代数式的值】 6 【题型4 由等式的性质判断变形正误】 6 【题型5 由等式的性质比较大小】 7 【题型6 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 8 【题型7 一元一次方程的整数解问题】 8 【题型8 由一元一次方程的解的情况求值】 8 【题型9 错看或错解一元一次方程问题】 9 【题型10 一元一次方程的遮挡问题】 10 【题型11 整体换元求一元一次方程的解】 10 【题型12 解含有绝对值的方程】 11 知识点1 方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 知识点2 方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 知识点3 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 知识点4 列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出一元一次方程． 知识点5 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 知识点6 合并同类项与系数化为1 1. 合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的形式，变形依据是合并同类项法则． 2. 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程变形为的形式，变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．例如，解方程：，合并同类项，得，系数化为1，得． 知识点7 移项法解一元一次方程 1. 移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：，移项，得，所以，即方程的解为． 2. 移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项； （2）合并同类项； （3）系数化为1． 例如，解方程：，移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 知识点8 去括号与去分母 1. 去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号． （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律． （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“”或“”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加． （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1． 2. 去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母． （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程． 知识点9 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点10 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型1 （一元一次）方程的概念】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【变式1-2】若是关于x的一元一次方程，则 ． 【变式1-3】已知下列各式： ①；②；③ ；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【题型2 列方程】 【例2】王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（　　　） A． B． C． D． 【变式2-1】一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【变式2-2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【变式2-3】根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型3 由（一元一次）方程的解求代数式的值】 【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）已知是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【变式3-2】若是方程的解，则代数式的值是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 【题型4 由等式的性质判断变形正误】 【例4】下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）下列选项正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为 【变式4-2】（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式4-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型5 由等式的性质比较大小】 【例5】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于 个正方体的质量． 【变式5-2】已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【变式5-3】若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【题型6 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 【例6】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 【变式6-3】（24-25七年级下·重庆·开学考试）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，则 ． 【题型7 一元一次方程的整数解问题】 【例7】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【变式7-1】关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【变式7-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【题型8 由一元一次方程的解的情况求值】 【例8】若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【变式8-2】（24-25八年级下·上海·期中）如果，那么关于的方程的解为 ． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【题型9 错看或错解一元一次方程问题】 【例9】（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【变式9-1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）下面是晓彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步         第四步         第五步 (1)任务一：①以上步骤第一步是进行去分母，依据是______． ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______． (2)任务二：①请你将正确的解方程过程写在下面； ②除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【变式9-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）小明在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【变式9-3】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 【题型10 一元一次方程的遮挡问题】 【例10】（24-25七年级上·吉林松原·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 【变式10-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 【变式10-2】嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【变式10-3】小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【题型11 整体换元求一元一次方程的解】 【例11】已知关于的方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【变式11-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【题型12 解含有绝对值的方程】 【例12】（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）方程的解是 ． 【变式12-2】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）关于的方程的解满足，则常数的值为 ． 【变式12-3】解方程：，则 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 等量关系和方程、等式的基本性质、一元一次方程的解法（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 （一元一次）方程的概念】 5 【题型2 列方程】 6 【题型3 由（一元一次）方程的解求代数式的值】 8 【题型4 由等式的性质判断变形正误】 9 【题型5 由等式的性质比较大小】 12 【题型6 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 14 【题型7 一元一次方程的整数解问题】 16 【题型8 由一元一次方程的解的情况求值】 18 【题型9 错看或错解一元一次方程问题】 20 【题型10 一元一次方程的遮挡问题】 23 【题型11 整体换元求一元一次方程的解】 25 【题型12 解含有绝对值的方程】 27 知识点1 方程 含有未知数的等式叫作方程． 例如：，，，，，等都是方程． 知识点2 方程的解与解方程 1. 一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．例如：是方程的解． 2. 求方程的解的过程，叫作解方程． 知识点3 一元一次方程的概念 1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程． 例如：，，等都是一元一次方程． 2. 一元一次方程的最简形式为． 3. 一元一次方程的标准形式为． 知识点4 列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来．列方程的一般步骤如下： （1）审：仔细审题，弄清题中的已知量、未知量和相等关系； （2）设：设出恰当的未知数，并把与相等关系有关的量用未知数表示出来； （3）列：根据题中等量关系列出一元一次方程． 知识点5 等式的性质 性质 内容 字母表示 示例 两个基本事实 对称性：如果 ，那么； 传递性：如果 ，那么 若 ，则，则 性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果 ，那么 若 ，则 性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 如果 ，那么；如果，那么 若 ，则， 知识点6 合并同类项与系数化为1 1. 合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的形式，变形依据是合并同类项法则． 2. 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程变形为的形式，变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．例如，解方程：，合并同类项，得，系数化为1，得． 知识点7 移项法解一元一次方程 1. 移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：，移项，得，所以，即方程的解为． 2. 移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项； （2）合并同类项； （3）系数化为1． 例如，解方程：，移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 知识点8 去括号与去分母 1. 去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号． （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律． （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“”或“”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加． （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1． 2. 去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母． （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程． 知识点9 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 知识点10 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 【题型1 （一元一次）方程的概念】 【例1】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程是一元一次方程，根据定义解答． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中 是方程， 是一元一次方程． 【答案】 ②④⑤ ④⑤ 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，解答即可． 本题考查了方程，一元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是方程的是②；④；⑤； 故答案为：②④⑤． 是一元一次方程的是④；⑤； 故答案为：④⑤． 【变式1-2】若是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解本题的关键．根据一元一次方程的概念：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，据此解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为： ． 【变式1-3】已知下列各式： ①；②；③ ；④；⑤；⑥；⑦． 其中方程有 ，一元一次方程有 【答案】 ①②③⑤⑦ ②⑦ 【分析】此题主要考查了方程的定义，一元一次方程的定义，正确理解方程的定义和一元一次方程的定义是解决问题的关键； 根据方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案；根据一元一次方程的定义对题目中给出的式子逐一进行判断可得出答案． 【详解】解：根据方程的定义得：①②③⑤⑦是方程， 根据一元一次方程的定义得：②⑦是一元一次方程， 故答案为：①②③⑤⑦；②⑦． 【题型2 列方程】 【例2】王强参加3000米的长跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米秒的速度跑完了其余的路程，一共花了15分钟，他以8米/秒的速度跑了多少米？设以8米/秒的速度跑了x米，列出的方程是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米，然后再根据题意列一元一次方程即可． 【详解】解：设以8米秒的速度跑了x米，则以5米/秒的速度跑了米， 依题意，得：． 故答案为A． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、列出一元一次方程成为解答本题的关键． 【变式2-1】一个长方形的周长为32cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm就变成了一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的长为xcm，得到长方形的宽，结合题意列方程，即可得到答案． 【详解】∵长方形的长为xcm ∴长方形的宽为：cm 根据题意得： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式2-2】《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系是解答本题的关键． 【变式2-3】根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可. 【详解】解：大量筒中的水的体积为：， 小量筒中的水的体积为：， 则可列方程为：. 故选A. 【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可. 【题型3 由（一元一次）方程的解求代数式的值】 【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·开学考试）已知是关于x的方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程解的概念和一元一次方程的解法，结合已知条件求得的值是解题的关键． 把代入方程得出，求得的值，然后计算的值即可． 【详解】解：是关于x的方程的解， ， 则， 那么， 故答案为： 【变式3-1】（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键； 将代入方程，再根据整体思想求出值即可． 【详解】解：因为是方程的解， 所以， 即， 所以． 故答案为：36． 【变式3-2】若是方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解，等式的性质，先把方程的解代入方程得出，再根据等式的性质即可得出． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3-3】（24-25七年级下·辽宁丹东·开学考试）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 由等式的性质判断变形正误】 【例4】下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A、若，则，原选项变形正确，不符合题意； B、若，则，原选项变形正确，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，不符合题意； D、若，在时，两边都除以可得，原选项变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）下列选项正确的是 （   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与5的差是非正数，则用数学符号表示为 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程、不等式的性质，列不等式，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：选项A：解方程，两边同除以得，故该选项不正确，不符合题意； 选项B：解不等式，两边除以负数时需改变不等号方向，得，故该选项不正确，不符合题意； 选项C：若，当时，，则成立；但若，则，不等式不成立，故该选项不正确，不符合题意； 选项D：“与5的差是非正数”即，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级下·河南南阳·开学考试）下列方程中移项正确的是（　　） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据解一元一次方程的方法，等式的性质逐一判断即可，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意； B、由，得，故选项不符合题意； C、由，得，故选项不符合题意； D、由，得，正确，故选项符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本变形，包括移项、去括号、去分母等操作是否正确，逐一验证各选项的变形过程是否符合运算法则即可． 【详解】解：A：原方程，移项时应将移至左边变为，移至右边变为，正确变形为，选项A错误地将的符号写为，故错误； B：展开时，正确，但应展开为，选项B错误地写为，符号错误，故错误； C：原方程，去分母应两边乘2得，即，合并为，选项C错误地写为，未正确处理分子符号，故错误； D：原方程，两边同时乘以（即除以10），得，此变形正确， 故选：D． 【题型5 由等式的性质比较大小】 【例5】已知（m、n都不为零），比较m、n的大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，利用等式的性质，求出的数量关系，即可得出结论． 【详解】解：， 所以， 所以， 所以， 所以； 故选A． 【变式5-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于 个正方体的质量． 【答案】 【分析】本题考查的是等式的性质，根据图可得个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量；再进一步可得答案． 【详解】解：由图可得：个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个正方体质量， 即3个球的重量等于5个正方体的重量． 故答案为5． 【变式5-2】已知，试用等式的性质比较与的大小为 ． 【答案】/ 【分析】根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断. 【详解】解：等式两边同时乘以4得：， 整理得：， ， 则． 【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 【变式5-3】若，则；若，则；若，则，这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)试比较代数式与的值之间的大小关系； (2)已知代数式与相等，试用等式的性质比较的大小关系． (3)已知，试用等式的性质比较的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个多项式作差比较大小即可； （2）等式两边同时减去即可得到，由此即可得到结论； （3）等式的性质两边同时乘以6可得，，由此可得结论． 【详解】（1）解： ∵不论为何值，都有 ∴ （2）解：∵， ∴等式两边同时减去，得， 整理得， ∴． （3）解：∵， 根据等式的性质两边同时乘以6可得， 整理得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意是解题的关键． 【题型6 由两个一元一次方程解之间的关系求字母的值】 【例6】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解，解题的关键是分别求出两个方程的解，根据互为相反两个数和为，列新方程求解． 分别解出两个方程的解用含的字母表示，再根据互为相反数列式即可得到答案． 【详解】解：由题意得：解方程， 解得； 解方程， 解得； ∵两个方程的解互为相反数， ， 解得：； 故答案为： 【变式6-1】（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 【变式6-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级下·重庆·开学考试）已知关于的方程的解是关于的方程的解的5倍，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据关于x的方程的解是关于的方程的解的5倍，得出关于m的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程的解是关于的方程的解的5倍， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型7 一元一次方程的整数解问题】 【例7】（24-25七年级下·四川巴中·开学考试）k是一个正整数，关于的一元一次方程有正整数解，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有正整数解确定的取值即可，正确求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有正整数解， ∴， ∴， ∴或或， ∴或或， 故答案为：或或． 【变式7-1】关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出m的值，再求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或，， 解得m的值为4或2或5或1， ∴整数m的所有可能的取值之和为：， 故答案为：12． 【变式7-2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程的解是解题的关键．根据解一元一次方程的方法求出，然后再根据方程的解为非正整数，可得，进而得出的值为，，分别求出的值求和即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且能整除5， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 【题型8 由一元一次方程的解的情况求值】 【例8】若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程移项，合并同类项后根据题意求得，的值，将其代入中计算即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∵该方程有无数个解， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级下·上海·期中）如果，那么关于的方程的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元一次方程，根据，又，即可求解． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式8-3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）已知关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程整理后，由方程无解得到x前的系数为0即可得到关于的方程，求出a的值即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型9 错看或错解一元一次方程问题】 【例9】（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 【变式9-1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）下面是晓彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：     第一步     第二步     第三步         第四步         第五步 (1)任务一：①以上步骤第一步是进行去分母，依据是______． ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______． (2)任务二：①请你将正确的解方程过程写在下面； ②除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提出一条建议． 【答案】(1)①等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； ②三；“”从等号的左边移到右边没有改变符号； (2)①见解析；②去分母时，常数项不要漏乘（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的解法. （1）①根据等式的性质2作答即可； ②根据移项需变号可知从第三步开始出现了错误； （2）①根据解方程的步骤作答即可； ②提出合理建议即可. 【详解】（1）解：①等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； 故答案为：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等； ②三，“”从等号的左边移到右边没有改变符号； 故答案为：三；“”从等号的左边移到右边没有改变符号； （2）解：①去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； ②答案不唯一，如：去分母时，常数项不要漏乘；去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后括号内各项的符号要改变；合并同类项时系数注意带符号等． 【变式9-2】（24-25七年级上·河南商丘·期末）小明在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值，进而解方程即可． 【详解】解：根据题意得，是方程的解， ∴， 解得：； ∴原方程为 解得：， 即原方程的解为， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级上·江西上饶·阶段练习）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程： 解方程：． 解：原方程可化为，……第一步 方程两边同时乘以6，去分母，得 ，……第二步 去括号，得，……第三步 移项，得，……第四步 合并同类项，得，………第五步 系数化为1，得，……第六步 所以是原方程的解． 上述小明的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是__________． 请你写出正确的解题过程． 【答案】三；去括号出现变号错误；过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据等式的性质得出错误的步骤及原因，先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】解：从第三步开始出现错误，具体的错误是去括号出现变号错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 方程两边同时乘以6，去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 所以是原方程的解． 故答案为：三；去括号出现变号错误． 【题型10 一元一次方程的遮挡问题】 【例10】（24-25七年级上·吉林松原·期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解求参数，把代入方程，再解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：把代入， 则， 解得：， 则常数为2， 故答案为：2 【变式10-1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）小明不小心将墨水滴在试卷上，只能看到“解方程：”，△处被污染看不清．若方程的解是，则▲处的数字是应是 ； 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：将代入原方程， 解得： 故答案为：． 【变式10-2】嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【变式10-3】小明解关于x的一元一次方程时，有一个数看不清楚，但小红解得的答案是，则这个数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先把代入方程，整理成关于的一元一次方程，解新方程即可． 本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，解方程是解题的关键． 【详解】解：把代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【题型11 整体换元求一元一次方程的解】 【例11】已知关于的方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，由题意可得相当于第一个方程中的x，由此列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则方程变形为， 因为关于的方程的解为， 所以，即， 解得：， 所以关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 【变式11-1】（24-25六年级上·上海·期末）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【变式11-2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于的一元一次方程变形是解题的关键． 将方程变形为， 再根据方程的解为得到，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 方程的解为， 方程的解为， 解得． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25七年级上·福建福州·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，发现两个方程之间的关键是解题的关键． 根据已知条件得出，再根据关于x的一元一次方程的解为，得出，求出的值即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 【题型12 解含有绝对值的方程】 【例12】（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，根据绝对值的性质化简绝对值得到方程或，再由方程始终存在四个不同的实数解，可推导出，，由此求值即可． 【详解】解：∵方程， ∴，即， ∴或, ∴或， ∵方程始终存在四个不同的实数解， ∴，， ∴且， ∴ ， 故答案为：1． 【变式12-1】（24-25七年级下·福建厦门·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，先根据绝对值的性质将绝对值方程转化为两个一元一次方程，再根据解一元一次方程的一般步骤解答即可． 【详解】解：， ∴或， 解得：或． 检验： 当时，左边，右边，左边右边，故是原方程的解； 当时，左边，右边，左边右边，故是原方程的解； 综上，原方程的解为或 故答案为：或． 【变式12-2】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）关于的方程的解满足，则常数的值为 ． 【答案】或0/0或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程、方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据得出或3，然后分别代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴或3， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上，m的值为或0． 故答案为：或0． 【变式12-3】解方程：，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值方程，一元一次方程的求解，解题的关键是熟知绝对值的意义和一元一次方程的解法． 由，得或，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $