2.1 命题、定理、定义讲义【五大考点+五大题型】-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

2.1 命题、定理、定义 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【题型归纳】 题型一：命题的概念 【例1】．（23-24高一上·广西河池）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【跟踪训练2】．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 题型二：命题的真假 【例2】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【跟踪训练1】．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【跟踪训练2】．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 题型三：指出命题的条件和结论 【例3】．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【跟踪训练2】．（22-23高一·江苏）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； 题型四：已知命题的真假求参数 【例4】．（23-24高一上·江西宜春）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练2】．（22-23高一上·河南平顶山）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 题型五：命题有关的综合性问题 【例5】．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【跟踪训练1】．（23-24高一下·全国）设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． (1)若为真，求实数的取值范围； (2)若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·上海）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．（20-21高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（22-23高一·全国·课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 4．（21-22高一上·全国）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 5．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（22-23高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（21-22高一上·上海嘉定·阶段练习）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 二、多选题 9．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 10．（21-22高一上·甘肃白银·期中）下列四个命题中，属于真命题的是（    ） A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．所有质数的平方都不是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是偶数 11．（20-21高一上·海南三亚·阶段练习）下列命题中，真命题有（　　） A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点 C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集 12．（20-21高一上·福建莆田·期中）关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（    ） A．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 13．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 14．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 三、填空题 15．（20-21高一·全国·课后作业）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 16．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 17．（24-25高一上·北京·期中）给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 四、解答题 19．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 20．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 21．（20-21高一上·北京·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 命题、定理、定义 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一 命题 1、命题的概念：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，我们将可判断真假的陈述句叫作命题． 2、命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”，我们学习过的定理、推论都是命题． 3、分类 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 知识点诠释： 1、不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”． 2、只有能够判断真假的陈述句才是命题．祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、“是有理数吗？”、“今天天气真好！”等． 3、语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键．一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可．命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素的确定性． 知识点二：命题的结构： （1）命题的一般形式为“若p，则q”其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． （2）确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式． 知识点诠释： 1、一般地，命题“若p则q”中的p为命题的条件q为命题的结论． 2、有些问题中需要明确指出条件p和q各是什么，因此需要将命题改写为“若p则q”的形式． 知识点三 定理、定义 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 在数学中，我们经常遇到定义．定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的． 【题型归纳】 题型一：命题的概念 【例1】．（23-24高一上·广西河池）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据命题的概念逐项判断即可. 【详解】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·江苏）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A 【跟踪训练2】．（2022高一上·全国·专题练习）下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题. 故选：C. 题型二：命题的真假 【例2】．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【分析】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【详解】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐）下列命题为真命题的是（    ） A．每一个二次函数的图象都是开口向上 B．存在一条直线与两条相交直线都平行 C．梯形的对角线相等 D．有些菱形是正方形 【答案】D 【分析】根据题意结合二次函数以及几何知识逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如，其图象是开口向下的，故A错误； 对于选项B：根据平行线的传递性可知：一条直线与两条直线都平行，则这两条直线也平行，故B错误； 对于选项C：例如直角梯形的对角线不相等，故C错误； 对于选项D：正方形也是菱形，即有些菱形是正方形，故D正确； 故选：D. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 题型三：指出命题的条件和结论 【例3】．（23-24高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【答案】A 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【详解】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A 【跟踪训练2】．（22-23高一·江苏）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 题型四：已知命题的真假求参数 【例4】．（23-24高一上·江西宜春）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题： (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题真q假，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意得到判别式大于0，解之即可得解； （2）先求得命题为真时的取值范围，再结合（1）中结论即可得解. 【详解】（1）若命题为真命题，即方程有两个不相等的实数根， 则，解得或， 所以实数的取值范围为或. （2）若命题为真命题，即，解得， 因为真假，则，得或； 所以实数的取值范围为或. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【跟踪训练2】．（22-23高一上·河南平顶山）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根． (1)若是真命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，解得即可； （2）依题意可得，分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）解：若是真命题，则，解得， 则； （2）解：因为，所以， 当时，由，解得，此时，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围为． 题型五：命题有关的综合性问题 【例5】．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知命题：关于的方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次方程有两个不同实根，所以判别式大于，列出不等式，求出解集即可； （2）分别讨论两个命题为一真一假，求出命题对应集合后求交集即可，最后在求并集. 【详解】（1）关于的方程有两个不相等的实数根， 则，即， 解得：，即. （2）当为真命题，为假命题，则，∴， 当为假命题，为真命题，则，∴， . 【跟踪训练1】．（23-24高一下·全国）设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． (1)若为真，求实数的取值范围； (2)若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数根的判别式直接判断即可； （2）利用根的判别式求出m的取值范围，然后再分类讨论真假关系，求取范围即可. 【详解】（1）对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根 所以，即或， 因为真，故实数的取值范围为 （2）对于命题，因关于x的方程无实数根， 所以，即． 因为真，故实数m的取值范围为． 、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假， 当真假时，，即或； 当假真时，，即． 综上所述：实数的取值范围为． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·上海）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．（20-21高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 3．（22-23高一·全国·课堂例题）下列语句中，为真命题的是（    ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真. 【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D选项为假命题． 故选：A. 4．（21-22高一上·全国）下列命题中，是真命题的是（   ） A．是空集 B．是无限集 C．是有理数 D．方程的根是自然数 【答案】D 【分析】对各选项逐一判断真假即可. 【详解】对于A，有元素，所以不是空集，故A不是真命题，A错误； 对于B，，即，即，为有限集，故B错误； 对于C，是无理数，故C错误； 对于D，方程的根0和5是自然数，故D正确. 故选：D 5．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 6．（22-23高一上·江苏连云港·期中）关于x的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和是为1；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】利用假设法，逐一验证不同命题为假的情况下，是否符合题意，结合一元二次方程的性质，可得答案. 【详解】由题意，假设甲与乙两个命题为真，则丙和丁两个命题一定都为假命题，不符合题意； 假设命题甲为假命题，由命题乙与命题丙为真，则方程的两个根分别为和，此时命题丁为假命题； 综上，只有命题乙为假命题，符合题意. 故选：B. 7．（21-22高一上·上海嘉定·阶段练习）有以下命题： （1）命题：“在△ABC中，若BCAC，则∠A∠B”； （2）已知，命题“若，则且”； （3）已知，命题“若且，则”. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据边角关系判断真假；（2）由可知都不为，由此判断真假；（3）根据平方运算的特点进行判断. 【详解】（1）：根据“大边对大角”可知（1）正确； （2）：若，则都不为，即且，故正确； （3）：若且，则，则，故正确； 故选：D. 8．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市.问乙一定去过哪个（    ）城市? A．D城市 B．C城市 C．B城市 D．A城市 【答案】D 【分析】先分析甲乙去过的城市数，然后根据甲乙的说法进行判断即可. 【详解】由题意可判断出甲去过两个城市，乙去过一个城市， 因为甲没去过B城市，所以甲去过A和C城市， 又因为乙没去过C城市且和甲去过同一城市，所以乙一定去过A城市， 故选：D. 二、多选题 9．（21-22高一上·全国·课后作业）下列命题是假命题的是（    ） A．形如的数是无理数 B．函数是二次函数 C．若，则方程无实数根 D．若为有理数，则都是有理数 【答案】ABD 【分析】根据实数的性质，二次函数的定义，以及一元二次方程的判别式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，例如时，可得为实数，所以A不正确； 对于B中，当时，函数是一次函数，所以B不正确； 对于C中，当时，可得，此时方程有无实根， 所以C正确. 对于D中，例如，此时为有理数，但都是不是有理数，所以D不正确. 故选：ABD. 10．（21-22高一上·甘肃白银·期中）下列四个命题中，属于真命题的是（    ） A．平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C．所有质数的平方都不是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是偶数 【答案】BD 【分析】依次判断每个选项的真假即可. 【详解】对A，平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形，故A是假命题； 对B，根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故B是真命题； 对C，2是质数，但为偶数，故C是假命题； 对D，任何奇数的立方都为奇数，故D是真命题. 故选：BD. 11．（20-21高一上·海南三亚·阶段练习）下列命题中，真命题有（　　） A．是关于的一元二次方程 B．抛物线与轴至少有一个交点 C．互相包含的两个集合相等 D．空集是任何集合的子集 【答案】CD 【分析】对A，由时不满足可判断；对B，由时不满足可判断；由集合的性质可判断CD. 【详解】对A，当时，方程是关于的一元一次方程，故A错误； 对B，可知，若，即时，抛物线与轴没有交点，故B错误； 对C，互相包含的两个集合相等，故C正确； 对D，空集是任何集合的子集，故D正确. 故选：CD. 12．（20-21高一上·福建莆田·期中）关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（    ） A．存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实根 C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实根 【答案】ABCD 【分析】分别取、、、计算对应方程的解后可得正确的选项. 【详解】取，则即为， 故，解得，故A正确. 取，则即为，故， 解得，或，故B正确. 取，则即为， 故，或解得，或，或，故C正确. 取，则即为， 故或，解得，或，或， 或，故D正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查复合方程的解的个数的讨论，解题关键点是根据复合方程的性质将其转化为简单方程的解，本题属于较难题. 13．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）下列命题的否定为假命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．任何一个四边形的内角和都是 C．四边形都有外接圆 D．，使得 【答案】AD 【分析】由原命题的真假，即可判断其否定的真假. 【详解】若命题的否定为假命题，则原命题为真命题. 对于A，因为是无理数，2是有理数，A中命题是真命题，其否定是假命题； 对于B，平面四边形的内角和是，B中命题是假命题，其否定是真命题； 对于C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为假命题，其否定为真命题； 对于D，因为当时，，所以原命题为真命题，其否定为假命题. 故选：AD. 14．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D. 【详解】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．（20-21高一·全国·课后作业）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 16．（24-25高一上·上海宝山·期中）下列叙述正确的是 . ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【分析】利用集合的相关概念及子集的意义判断命题①②③；利用推出符号的意义判断命题④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 17．（24-25高一上·北京·期中）给出能够说明“若，则”是假命题的一组的值： ； . 【答案】 （答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】由，得到，即， 若，则是假命题，则有，即， 所以符合题意的一组的值为， 故答案为：；（答案不唯一，满足且即可） 18．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合.下面命题中，是真命题的命题序号为 . ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则 【答案】②③④ 【分析】根据集合的特征，代入公式或，并结合举例判断. 【详解】①若，①错误， ②，②正确， ③，③正确， ④，④正确， ⑤若，⑤错误. 故答案为：②③④ 四、解答题 19．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)真命题 (4)真命题 【分析】（1）举反例说明即可； （2）通过方程的根分析即可； （3）利用正方形的性质说明即可 （4）利用集合间的运算性质说明即可. 【详解】（1）1既不是质数也不是合数，故该命题为假命题. （2）当或时，代入中结果为0，故该命题为真命题； （3）正方形具有矩形和菱形的所有性质，故它既是矩形又是菱形， 故该命题为真命题； （4）由，故集合为集合的子集即， 故改命题为真命题； 20．（22-23高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 21．（20-21高一上·北京·阶段练习）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可 （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； （2）若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 22．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. (1)若命题为真，求实数的取值范围： (2)若命题为真，求实数的取值范围： (3)若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【分析】（1）由题设两根为，则，据此结合韦达定理可得答案； （2）即方程无解，分两种情况结合题意可得答案； （3）由（1）（2）答案结合题意可得真假或假真，据此可得答案. 【详解】（1）由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； （2）即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； （3）由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $