精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市克东县第一中学2025-2026学年高二上学期9月质量检测数学试题

九月质量检测 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第九章，第十章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 3. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 4. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 5. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 二项式的展开式中常数项为（　　） A. B. 540 C. 15 D. 7. 已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A. B. C. 2 D. 1 8. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A. 恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B. 至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C. 恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D. 至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 13. 某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有___________种不同的排法．（用数字作答） 14. 被9除的余数是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 16. 小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5的5个球的口袋中有放回的摸出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局． （1）求两人平局的概率； （2）玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？ 17. （1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 19. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项？ （3）求系数最大的项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月质量检测 高二数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第九章，第十章，选择性必修第三册第六章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 2. 已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和互斥事件加法公式计算即可. 【详解】由和对立，，可得，解得， 又由随机事件和互斥可知， 由， 将代入计算可得. 故选：D. 3. 下列叙述中，错误的是（ ） A. 数据的标准差比较小时，数据比较分散 B. 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 C. 数据的极差反映了数据的集中程度 D. 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误； 样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故B正确； 数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确． 故选：A． 4. 2022年月以来我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班名同学捐款的频数分布表，若第分位数为，第分位数为，则（ ） 捐款金额元 频数 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的运算法则计算出从而计算出. 【详解】因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以． 因为，所以按从小到大排列取第、项数据的平均数，其平均数为，所以，所以． 故选：D 5. 袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，由互斥事件的概率性质建立关于的等式，求解即可． 【详解】根据题意，设摸出红球的概率为，摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为， 所以，，且， 所以，， ， 解得：， 故选：C． 6. 二项式的展开式中常数项为（　　） A. B. 540 C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 7. 已知，若，，，的中位数为2，则（　　） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】分，，，四种情况，将数据从小到大排列，结合中位数定义列方程求解即可. 【详解】因为，所以， 分别令，解得， 当时，，所以，解得； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，，所以，解得（舍去）. 综上，. 故选：D 8. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A. 恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子 B. 至少有1双正常筷子与都是一次性筷子 C. 恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子 D. 至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥、对立事件的定义判断即可. 【详解】2双一次性筷子分别记为,2双正常筷子分别记为， 从装有2双一次性筷子和2双正常筷子的口袋中任取2双， 则样本空间， 对于：恰有1双一次性筷子的情况为：， 恰有2双一次性筷子的情况为：， 所以恰有1双一次性筷子与恰有2双一次性筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双正常筷子的情况为：， 都是一次性筷子的情况为：， 所以至少有1双正常筷子与都是一次性筷子是对立事件，故错误； 对于：恰有2双一次性筷子的情况为：， 恰有2双正常筷子的情况为：， 所以恰有2双一次性筷子与恰有2双正常筷子互斥而不对立，故正确； 对于：至少有1双一次性筷子的情况为：， 至少有1双正常筷子的情况为：， 所以至少有1双一次性筷子与至少有1双正常筷子不互斥，故错误. 故选：. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 常数项为240 C. 没有含的项 D. 二项式系数最大的项是 【答案】BC 【解析】 【分析】展开式共项可判断A；写出通项可判断BC；利用二项式系数的性质可得最大，再利用通项即可判断D. 【详解】因，则展开式共有项，故A错误； 通项为， 令，得，则，故B正确； 令，得，不符合题意，故没有含的项，则C正确； 由二项式系数的性质可知最大，故二项式系数最大的项是，故D错误. 故选：BC 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算. 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知男、女生共有200人，其中女生有80人，按性别采用分层随机抽样的方法从这200人中抽取25人，则这25人中男生有___________人． 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的定义求解即可. 【详解】由题意，男、女生共有200人，其中女生有80人，则男生有120人， 按照分层随机抽样的方法，男生应该抽取人． 故答案为：15. 13. 某高中学校经过推荐和选拔，挑选6名同学（4名男生、2名女生）参加奥林匹克生物竞赛，并进行合影留念．若女生必须相邻，则有___________种不同的排法．（用数字作答） 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，使用捆绑法，2名女生相邻，将其排在一起当做一个元素，有2种情况，再将其与其他4名男生全排列，由分步计数原理乘法公式，计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行， 先将2名女生排在一起，看成一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他4名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：240． 14. 被9除的余数是___________. 【答案】7 【解析】 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意知，，故； 【小问2详解】 用表示“两人共命中2次”， ． 16. 小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5的5个球的口袋中有放回的摸出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局． （1）求两人平局的概率； （2）玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？ 【答案】（1） （2）是 【解析】 【分析】（1）列举出两人有放回的摸出一个小球的所有情况，结合古典概型的概率公式求解即可； （2）结合古典概型的概率公式求出小胡获胜和小张获胜的概率，进而判断即可. 【小问1详解】 两人有放回的摸出一个小球， 总的情况有：， ， ，共25种情况， 其中两人平局的情况有：，共5种情况， 所以两人平局的概率为. 【小问2详解】 由（1）知，两人有放回地摸出一个小球，共25种情况， 小胡获胜的情况有：，共13种情况， 则小张获胜的情况有12种情况， 所以小胡获胜概率为，则小张获胜的概率为， 显然，这个规则对小胡有利. 17. （1）6名学生站成一排照相留念，其中男生4人，女生2人，2名女生必须相邻而站，且女生不站两端，有多少种不同的站法？ （2）某传统文化学习小组有10名同学，其中男生5名，女生5名，现要从中选取4人参加学校举行的汇报展示活动，男生甲与女生乙至少有1人参加，有多少种选法？ （3）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【答案】（1）144；（2）140；（3）378. 【解析】 【分析】（1）先将2名女生捆绑在一起，然后先排两端，再全排即可； （2）用总的选法减去男生甲与女生乙都没有参加的选法即可； （3）分是否含0讨论即可得解. 【详解】（1）将2名女生排成一排有种排法， 再从4名男生中选2名男生排在两端，有种排法， 最后，将2名女生看成一个元素和剩余2名男生全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，总的排法有种. （2）10名同学中选取4人，共有种选法， 男生甲与女生乙都未参加的选法有种选法， 所以男生甲与女生乙至少有1人参加的选法有种选法. （3）不含0时：可以组成没有重复数字的四位数有个； 含0时：第一步，偶数的取法有种，奇数的取法有种，共种； 第二步，从不为0的3个数字中选择1个排在首位，其余3个数字全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得，共有个 所以，一共可以组成个没有重复数字的四位数. 18. 今年是国家安全法颁布十周年，4月15日迎来了第十个全民国家安全教育日．某大学团委组织开展了2025年全民国家安全教育知识竞答活动，旨在践行总体国家安全观，增强全民国家安全意识和素养．该活动共有200名学生参加，现将所有答案卷面成绩统计分成五段，分别为，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中x的值； （2）根据频率分布直方图，求这200名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （3）已知学生成绩落在的平均数是77，方差是5；落在的平均数是84，方差是5．求这两组数据的总方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差． 【答案】（1）0.015 （2）76.25，75 （3）17 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的性质：概率之和为1求解即可，（2）利用频率直方图求解平均数求解即可，（3）利用分组方差的求法求解即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图，有， 解得； 【小问2详解】 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 学生成绩落在的频率为， 由， 可得中位数为， 学生成绩的平均数为； 【小问3详解】 这两组数据的平均数为， 这两组数据的总方差为 ． 19. 在的展开式中． （1）求二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项是第几项？ （3）求系数最大的项． 【答案】（1） （2）第6项和第7项 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的性质即可得到结果； （2）由展开式的通项公式列出不等式，代入计算，即可得到结果； （3）结合展开式的通项公式，由（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，； 【小问2详解】 的展开式的通项为 ，，， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项； 【小问3详解】 由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负， 第7项的系数为正，所以系数最大的项为第7项． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $