专题07 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解讲义（9大题型+能力训练）同步培优讲义-2025-2026学年高一数学上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题07 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 知识点01：含参不等式（组）的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.系数化为1时注意，注意字母系数分类讨论。 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式的概念及解法 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 知识点03：一元二次不等式的解法 1、将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 2、利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，解不等式。 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 知识点四、一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【例3】若关于x的不等式的解集为，则实数 【例4】设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例5】不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【例6】已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【例7】设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 题型03：一元二次不等式的概念 【例8】下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【例9】若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 题型04：解不参数的一元二次不等式 【例10】解下列不等式： (1)； (2)．(1)；（4） 【例11】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 【例12】解下列不等式： (1)；(2)；（3）；    （4）；         【例13】解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 【例14】解关于的不等式组： 【例15】解下列不等式： （1） （2） （3） 题型05：解含参数的一元二次不等式 【例16】解关于x的不等式. 【例17】解关与x的不等式： 【例18】解关于x的不等式． 题型06：根据一元二次不等式的解集求参数 【例19】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【例20】若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【例21】关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 【例22】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【例23】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型07：有关一元二次不等式恒成立问题 【例24】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例25】若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例26】“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【例27】若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【例28】已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 题型08：一元二次不等式的实际应用 【例29】某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围. 【例30】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． （1）写出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【例31】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【例32】某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.    (1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 题型09：综合压轴题 【例33】已知函数. (1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【例34】已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【例35】设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【例36】已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 一、填空题 1．（2024上海·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 2．（24-25高一上·上海松江期中）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 3.（24-25高一上·上海黄浦期中）不等式的解集为________ 4.（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·上海徐汇期中）设关于的不等式的解集为，则_6.（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 7.（24-25高一上·上海宝山期中）二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y ﹣10 ﹣4 0 2 2 则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为　　． 8.（24-25高一上·上海奉贤期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　　． 9.（24-25高一上·上海浦东新区期中）命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题，则实数a的取值范围是　　． 10.（24-25高一上大同中学期中）已知不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为B，若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，则a+b＝　　． 11．（2021·上海交大附中高一期中）关于x的不等式的解集为，则b的值为___． 12．（2020·上海·南洋中学高一期中）已知二次函数，当时的解集是，则不等式的解集是___________， 二、选择题 13．（24-25高一上控江中学期中）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 14．（24-25高一上格致中学期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 15．（24-25高一上·上海崇明期中）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．B． C． D． 三、解答题 17．（24-25高一上上海阶段练习）解下列一元二次不等式： （1）﹣x2+7x＞6； （2）4（2x2﹣2x+1）＞x（4﹣x）． 18．（24-25高一上上海阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 19.（24-25高一上上海阶段练习）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0． （1）若k，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R，求k的取值范围． 20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 21.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 22.（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 23．（24-25高一上·上海杨浦·期中）某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题07 一元一次不等式（组）与 一元二次不等式的求解 知识点01：含参不等式（组）的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.系数化为1时注意，注意字母系数分类讨论。 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式的概念及解法 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 知识点03：一元二次不等式的解法 1、将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 2、利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，解不等式。 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 知识点四、一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 【例2】若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】由给定的解集确定关于的方程的根及一次项的系数正负，再代入解方程即得. 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 【例3】若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 【例4】设，解关于的不等式，下列说法正确的是（      ） A．该不等式的解集为； B．该不等式的解集为； C．该不等式的解集可能为； D．该不等式的解集不可能为. 【答案】C 【分析】对分四种情况讨论得解. 【详解】解：当时，，该不等式的解集为； 当时，，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为； 当，时，该不等式的解集为. 故选：C 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例5】不等式组无实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论的取值范围，利用不等式组无实数解即可得解. 【详解】对于， 当时，解得，不满足题意； 当时，与矛盾，即不等式组无实数解， 综上，. 故答案为： 【例6】已知关于的不等式组没有实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式及一次不等式的求法即可求解． 【详解】由可得， 由可得， 若不等式组没有实数解， 则． 故答案为：． 【例7】设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 题型03：一元二次不等式的概念 【例8】下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 对于A：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于B：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 对于C：根号含有未知数，不是一元二次不等式，故C错误. 故选：D 【例9】若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 题型04：解不参数的一元二次不等式 【例10】解下列不等式： (1)； (2)．(1)；（4） 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是或． （3）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （4）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【例11】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 解：（1），， 所以不等式的解集是； （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. 【例12】解下列不等式： (1)；(2)；（3）；    （4）；         【解析】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． （2）不等式，即， 解得，所以不等式的解集为. 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （3）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；          （4）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；         【例13】解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （4），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 【例14】解关于的不等式组： 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解两个一元二次不等式，再求交集即可. 【详解】原不等式组可化为，即， 所以原不等式组的解集为. 【例15】解下列不等式： （1） （2） （3） 解：（1）令，，所以恒成立， 所以等价为，即， 解得或，故解集为或. （2）不等式，可化为， 因为恒成立，所以， 解得或，故解集为或. （3）不等式，可化为，即， 所以，解得或，故解集为或 题型05：解含参数的一元二次不等式 【例16】解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【详解】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【例17】解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【例18】解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 题型06：根据一元二次不等式的解集求参数 【例19】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 【例20】若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 【例21】关于的不等式的解集为，其中，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得的两根为，然后由韦达定理可得答案. 【详解】因关于的不等式的解集为， 则的两根为，由韦达定理，， 则或，因，则，从而. 故答案为： 【例22】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解题思路】将原不等式化为，按照与2的大小分类讨论解不等式，再结合解集中的整数个数建立不等式求解可得, 【解答过程】． 当时，不等式的解集为空集，不符合题意． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 当时，不等式的解集为， 要使关于的不等式的解集中恰有3个整数， 只需满足解得． 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 【例23】若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式，即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是4，5，6，故； 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是0，1，2，故； 故实数m的取值范围为．故选：C 题型07：有关一元二次不等式恒成立问题 【例24】若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【解答过程】当时，恒成立，满足； 当时，，可得， 综上，. 故选：A. 【例25】若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 【例26】“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【详解】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 【例27】若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 【例28】已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式解集，结合根与系数关系求k的值； （2）由题设及对应二次函数的性质有，即可求解集. 【详解】（1）由题设，且是方程的两个根， 所以，故，即实数k的值为. （2）由不等式解集为空，则，解得. 题型08：一元二次不等式的实际应用 【例29】某服装公司生产的衬衫， 每件定价80元， 在某城市年销售8万件. 现该公司在该市设立代理商来销售衬衫. 代理商要收取代销费， 代销费为销售金额的（即每销售100元收取元）. 为此， 该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润， 由于提价每年将少销售万件， 如果代理商每年收取的代理费不小于16万， 求的取值范围. 【答案】 【提示】单价，年销量年销售额， 年代理费 【例30】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． （1）写出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\% ）万担，收购总金额为200a（1+2x\% ）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案． 【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x% ）万担，收购总金额为200a（1+2x% ）万元． 依题意有y＝200a（1+2x% ）•（10﹣x）%（0＜x＜10）； （2）原计划税收为200a×10%＝20a万元， 依题意有（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%， 化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2， 又0＜x＜10，∴0＜x≤2． ∴x的取范围是{x|0＜x≤2}． 【例31】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 【例32】某学校因为学生活动区域紧张，为了更好的为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米.    (1)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (2)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，可求得，可得出，利用矩形的面积公式可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （2）利用二次函数的基本性质可求得矩形面积的最大值，及其对应的的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为，由图可知，，即，即， 所以，，所以，，其中， 矩形的面积为，其中， 由，整理可得，解得， 因此，当时，形活动区域的面积不小于平方米. （2）解：由（1）知，，其中， 故当时，函数取最大值，即， 因此，当米，米时，矩形活动区域的面积最大，且最大值为平方米. 题型09：综合压轴题 【例33】已知函数. (1)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分为和两种情况,再结合二次函数值域恒成立求解即可; （2）先参数分离把原不等式转化为在有解,再根据二次函数求最值即可求出范围. 【详解】（1）对恒成立， i）若，显然成立， ii）若，则，解得 所以，. （2）不等式在上有解 整理为在有解 在有解，即求在的最大值， 的对称轴为， 在上单调递增 ， 可得. 【例34】已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【例35】设函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)2 (2)： (3)答案见解析 【分析】（1）由二次不等式与二次方程的关系，得到方程的解，即可求出实数的值； （2）整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集； （3）整理不等式，讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可. 【详解】（1）由题意知，是方程的两个根， 则，则. （2）， 则对于实数时恒成立， 则，即， 解得，∴ 则的取值范围为. （3）依题意，等价丁， 当时，不等式可化为，解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为. 【例36】已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程根的关系，根据韦达定理即可求出； （2）不等式化为（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0，分类讨论即可求出． 【解答过程】解：（1）由已知可得方程x2﹣（a+3）x+2a+b+1＝0的两个根为x1＝2，x2＝3， 由韦达定理可得， 解得：a＝2，b＝1， （2）不等式f（x）＜b﹣1可化为x2﹣（a+3）x+2（a+1）＜0， 因式分解得（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0， （i）若a+1＞2，由题意可得，解得2＜a≤3， （ii）若a+1＜2，由题意可得，解得﹣1≤a＜0， （iii）若a+1＝2与题意不符， 综上：﹣1≤a＜0或2＜a≤3． 一、填空题 1．（2024上海·华东师范大学第一附属中学高一期中）已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，即， 因此不等式可化为，则，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海松江期中）一元一次不等式组的解为，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】画出数轴即可求解. 【详解】利用数轴，画出，如下图， 由一元一次不等式组的解为，可知. 故答案为：. 3.（24-25高一上·上海黄浦期中）不等式的解集为________ 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解. 【解答过程】由可得， 所以不等式的解集为， 4.（24-25高一上·上海静安·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为求解即可. 【详解】， 令，因为，所以恒成立， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海徐汇期中）设关于的不等式的解集为，则________ 【分析】依题意、是方程的两根，利用韦达定理求出、，即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以、是方程的两根， 所以，，所以. 6.（24-25高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 7.（24-25高一上·上海宝山期中）二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 y ﹣10 ﹣4 0 2 2 则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为　（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）　． 【解题思路】由表中二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值列方程组求出a、b、c的值，再代入不等式ax2+bx+c＞0中化简求解即可． 【解答过程】解：由表中二次函数y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值，得， 解得a＝﹣1，b＝1，c＝2；所以y＝﹣x2+x+2， 不等式ax2+bx+c＞0化为﹣x2+x+2＞0， 即x2﹣x﹣2＜0， 解得﹣1＜x＜2， 所以该不等式的解集为（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）． 故答案为：（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）． 8.（24-25高一上·上海奉贤期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集为{x|x≤2或x≥3}，则a+b＝　　． 【解题思路】根据不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可． 【解答过程】解：∵不等式x2+ax+b≥0解集为{x|x≤2或x≥3}， 故方程x2+ax+b＝0的两根为x＝2或x＝3， 由根与系数的关系可得，∴，∴a+b＝1． 故答案为：1． 9.（24-25高一上·上海浦东新区期中）命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题，则实数a的取值范围是　　． 【解题思路】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式的解集为空集时a的取值范围即可． 【解答过程】解：命题“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集为空集∅”是真命题， 当a＝0时，不等式为﹣3＞0，解集为空集∅； 当a≠0时，应满足， 即， 解得﹣3≤a＜0； 综上知，实数a的取值范围是[﹣3，0]． 故答案为：[﹣3，0]． 10.（24-25高一上大同中学期中）已知不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为A，不等式x2﹣x﹣6＜0的解集为B，若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B，则a+b＝　　． 【解题思路】分别求出不等式x2﹣3x﹣4＜0和x2﹣x﹣6＜0的解集，得出不等式x2+ax+b＜0的解集，从而求出a、b的值． 【解答过程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x+1）（x﹣4）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以该不等式的解集为A＝（﹣1，4）； 不等式x2﹣x﹣6＜0可化为（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，所以该不等式的解集为B＝（﹣2，3）； 若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为A∩B＝（﹣1，3）， 则﹣1和3是方程x2+ax+b＝0的解， 由根与系数的关系知， 解得a＝﹣2，b＝﹣3， 所以a+b＝﹣5． 故答案为：﹣5． 11．（2021·上海交大附中高一期中）关于x的不等式的解集为，则b的值为___． 【答案】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为﹣2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值． 【详解】根据不等式的解集为， 可得方程的两个根为﹣2和3，且， 则，解得. 故答案为：． 12．（2020·上海·南洋中学高一期中）已知二次函数，当时的解集是，则不等式的解集是______________ 【答案】或 【分析】先由不等式的解集，确定之间关系，再解所求不等式，即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和，且； 则，即， 所以不等式可化为，则， 解得或， 所以不等式的解集是或. 故答案为：或. 二、选择题 13．（24-25高一上控江中学期中）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由题有转化为求方程的根即可求解. 【详解】由题意有，方程有两个根，即和1， 则的解集为或， 即不等式的解集为或. 故选：C. 14．（24-25高一上格致中学期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】由的两根为，得出，再由一元二次不等式的解法得出答案. 【详解】因为不等式的解集为， 所以的两根为，即，解得. 所以不等式可化为，其解集为或. 故选：A 15．（24-25高一上·上海崇明期中）“”是“不等式对任意的恒成立”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，求实数的取值范围，再利用集合的包含关系，判断充分，必要条件. 【详解】当时，对任意的恒成立， 当时，则，解得：，故的取值范围为． 故“”是的充分不必要条件． 故选：A 16．（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 三、解答题 17．（24-25高一上上海阶段练习）解下列一元二次不等式： （1）﹣x2+7x＞6； （2）4（2x2﹣2x+1）＞x（4﹣x）． 【解题思路】（1）利用因式分解法解； （2）先化简，然后配方法，找到符合条件的x． 【解答过程】解：（1）原方程可化为﹣x2+7x﹣6＞0， 所以x2﹣7x+6＜0， 即（x﹣1）（x﹣6）＜0，所以1＜x＜6，即原不等式的解集为：{x|1＜x＜6}． （2）原方程可化为9x2﹣12x+4＞0， 即（3x﹣2）2＞0，故3x﹣2≠0，所以x，即原不等式的解集为：{x|x}． 18．（24-25高一上上海阶段练习）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0（a＞0）． 【解题思路】由a＞0，把不等式化为，求出不等式对应方程的实数根，讨论两根的大小，写出对应不等式的解集． 【解答过程】解：由ax2﹣（a+1）x+1＜0，得（ax﹣1）（x﹣1）＜0； ∵a＞0，∴不等式化为， 令， 解得； ∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|1＜x}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＞1时，原不等式的解集为． 19.（24-25高一上上海阶段练习）已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0． （1）若k，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为R，求k的取值范围． 【解题思路】（1）将k值代入不等式，解不等式即可， （2）分情况讨论，当2k＝0，即k＝0时，代回原不等式，成立留，不成立舍； 当2k≠0，即k≠0时，2kx2+kx0解集为R，则，最后取两种情况的并集． 【解答过程】解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，解集为， （2）∵关于x的不等式的解集为R．∴分情况讨论， 当2k＝0，即k＝0时，原不等式为，恒成立， 当2k≠0，即k≠0时，，解得﹣3＜k＜0， 综上，故k的取值范围为（﹣3，0]． 20.（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程根的关系，根据韦达定理即可求出； （2）不等式化为（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0，分类讨论即可求出． 【解答过程】解：（1）由已知可得方程x2﹣（a+3）x+2a+b+1＝0的两个根为x1＝2，x2＝3， 由韦达定理可得， 解得：a＝2，b＝1， （2）不等式f（x）＜b﹣1可化为x2﹣（a+3）x+2（a+1）＜0， 因式分解得（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0， （i）若a+1＞2，由题意可得，解得2＜a≤3， （ii）若a+1＜2，由题意可得，解得﹣1≤a＜0， （iii）若a+1＝2与题意不符， 综上：﹣1≤a＜0或2＜a≤3． 21.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【点睛】方法点睛： 利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系. 不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集. 22.（24-25高一上·上海杨浦·期中）已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 23．（24-25高一上·上海杨浦·期中）某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润万元.现在从甲项目中调出人参加乙项目的工作，平均每人每年创造利润万元（），甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高%. (1)若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加乙项目工作？ (2)在（1）的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围. 【答案】(1)250 (2) 【分析】（1）根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数； （2）根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数，根据函数的单调性求得的取值范围. 【详解】（1）设从甲项目调出人参加乙项目工作， 由题意得：， 即，又，所以. 即最多调出250人参加乙项目工作. （2）由题知， 乙项目工作的工人创造的年总利润为万元， 甲项目余下工人创造的年总利润为万元， 则， 所以， 即恒成立， 因为，函数在上单调递减， 所以. 又，所以， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $