专题06 不等式的性质讲义（7大题型+能力训练-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题06 不等式的性质 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么；如果，那么； （4）可加性：设、均为实数，如果那么； （5）移项法则：设、、均为实数，如果，则a>c－b； （6）同向可加性：设、、、均为实数，如果，，那么； （7）同向可乘性：设均为实数，如果，，那么； （8）可乘方性：设、均为实数，如果，那么； （9）可开方性：设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点5 重要不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 题型1：不等式的性质辨析 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【例2】设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【跟踪训练】 1.下列说法中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，，则 2.已知，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02：利用不等式的性质判断命题真假 【例3】下列几种说法中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练】 1. 若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2. 下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3. 已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型03：利用不等式的性质比较大小 【例4】当ab＞0时，． 【跟踪训练】 1.已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小． 2.若,试比较和的大小. 题型04：作差法比较代数式的大小 【例5】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【例6】已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【例7】已知、且、，试比较与的大小. 【跟踪训练】 1.已知，则的大小关系是 ． 2.比较与的大小． 3.比较大小： (1)和； (2)和，其中． 题型05：作商法比较代数式的大小 【例8】设，试比较与的大小. 【跟踪训练】 1.已知，试比较与的大小. 2.已知，试比较和的大小. 题型06：利用不等式的性质求值或取值范围 【例9】已知，且，则的取值范围是 ． 【例10】已知，求各自的取值范围． 【例11】已知实数，满足，，则范围是 【例12】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知实数满足，，则不正确的是 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 题型07：利用不等式的性质证明不等式 【例13】若，，证明：． 【例14】已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【例15】已知，，求证． 【跟踪训练】 1.已知用分析法证明：. 2.用综合法证明:如果，那么 3.（1）已知，求证： （2）设，证明：． 一、填空题 1．（24-25高一上·上海闵行期中）对于实数、，，有下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则且；⑤若，则；⑥若，则，其中正确的是 （填序号）． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的是 ． 3．（24-25高一上·上海松江期中）已知，以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 4．（24-25高一上控江中学期中）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 5.（23-24高一上·上海浦东新·期中）有四个命题：①；②，；③；④．其中正确的个数有______ 6．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·延安中学期中）是互异的四个正数，，，中最大的数，且  ，则与的大小关系是 . 8.（24-25高一上·上海黄浦期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 9.（24-25高一上·格致中学期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 10.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 12.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 二、选择题 13.（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2023秋•青浦区校级月考）已知，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•奉贤区期中）如果，那么下列不等式中成立的是　　 A． B． C． D． 16.（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 19．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 20．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 21．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题06 不等式的性质 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数，如果，那么；如果，那么； （4）可加性：设、均为实数，如果那么； （5）移项法则：设、、均为实数，如果，则a>c－b； （6）同向可加性：设、、、均为实数，如果，，那么； （7）同向可乘性：设均为实数，如果，，那么； （8）可乘方性：设、均为实数，如果，那么； （9）可开方性：设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点5 重要不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 题型1：不等式的性质辨析 【例1】下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】举反例排除ABC；利用作差法即可判断D. 【详解】A选项，当时，，故A错误； B选项，当，，，时，，，故B错误； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，若，，则，即，故D正确． 故选：D. 【例2】设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【解答过程】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 【跟踪训练】 1.下列说法中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，，则 【答案】C 【分析】ABD可举出反例，C选项，可利用不等式的性质进行证明. 【详解】AB选项，若，满足，但此时，，AB错误； C选项，如果，则，故，不等式两边同时除以，则，C正确； D选项，若，满足，，但，，D错误. 故选：C 2.已知，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断A；举反例即可判断B，C，D. 【详解】由，且，可得，A正确； 取，满足条件，但，B错误； 取，满足条件，但，，C，D错误； 故选：A 题型02：利用不等式的性质判断命题真假 【例3】下列几种说法中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【详解】当时，满足，但不成立，故A错误； 因为，所以，即，故B正确； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A 【跟踪训练】 1. 若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例令可得A错误；由不等式的性质可得B错误；作差法可得C正确；举反例可得D错误. 【解答过程】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C. 2. 下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断. 【解答过程】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 3. 已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【解答过程】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 题型03：利用不等式的性质比较大小 【例4】当ab＞0时，． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质证明即可. 【详解】由ab＞0，知． 又∵a＞b，∴，即； 若，则 ∴a＞b． 即ab＞0时，. 【跟踪训练】 1.已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小． 【答案】. 【分析】根据不等式的性质可解得结果. 【详解】∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴， 又a>b>0，∴. 2.若,试比较和的大小. 【答案】 【分析】根据不等式的性质比较即可. 【详解】，， 又，∴， ∴， ∴， 又∵， ∴. 题型04：作差法比较代数式的大小 【例5】已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（　　） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定 【答案】B 【分析】平方后作差比较大小即可. 【详解】， ∴M<N. 故选：B. 【例6】已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，作差比较大小. 【解答过程】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D. 【例7】已知、且、，试比较与的大小. 【解题思路】利用作差法比较大小即可. 【解答过程】 ， 所以，当且仅当时取等号. 【跟踪训练】 1.已知，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据分母有理化计算判断大小关系. 【详解】， ，． 故答案为：. 2.比较与的大小． 【解答】解： ． ，， ，， 又（当且仅当时等号成立）， ， 即（当且仅当时等号成立． 3.比较大小： (1)和； (2)和，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用做差法比较大小即可； （2）利用做差法比较大小即可． 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以 ， 所以. 题型05：作商法比较代数式的大小 【例8】设，试比较与的大小. 【答案】当时两者相等；当时. 【分析】分成、，三种情况进行分类讨论，结合商比较法，判断出两者的大小关系. 【详解】依题意，， 当时，； 当时，： 当时，，所以； 当时，，所以. 故当时，，即. 【点睛】本小题主要考查商比较法比较大小，属于基础题. 【跟踪训练】 1.已知，试比较与的大小. 【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【解答过程】， ，. 两数作商 ， . 2.已知，试比较和的大小. 【解题思路】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【解答过程】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型06：利用不等式的性质求值或取值范围 【例9】已知，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】解：因为，且， 所以， 所以， 所以的取值范围是 故答案为： 【例10】已知，求各自的取值范围． 【答案】，，，，. 【分析】根据不等式的性质可求的范围. 【详解】因为，故. 而，故， 但，故，故. 而，故，但， 故. 又，而，故. 【例11】已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 【例12】已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 【跟踪训练】 1.已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 2.已知实数满足，，则不正确的是 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：B. 题型07：利用不等式的性质证明不等式 【例13】若，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 【例14】已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【例15】已知，，求证． 【解题思路】利用不等式的性质证明． 【解答过程】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【跟踪训练】 1.已知用分析法证明：. 【答案】证明见解析 【解析】由分析法证明，从待证的结论出发，逐步寻求使得结论成立的条件即可. 【详解】证明：要证， 只需证，只需证，即. 因为，且成立，所以. 2.用综合法证明:如果，那么 【答案】证明见解析 【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可. 【详解】证明: ，即 显然 ，即. 3.（1）已知，求证： （2）设，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用分析法进行证明即可； （2）作差、分解因式、判断符号即可 【详解】（1）要证： 只需证： 只需证： 只需证： 只需证： 只需证： 即证： 上式显然成立， 原不等式成立. （2）证明如下： 又，而 故 即 一、填空题 1．（24-25高一上·上海闵行期中）对于实数、，，有下列说法： ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则且；⑤若，则；⑥若，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】⑤⑥ 【分析】根据举反例和不等式性质进行判断； 【详解】①中，的正、负或是否为0未知，因而判断与的大小缺乏依据，故①不正确；②③反例，；和不成立，故②③错误； ④反例，，故④错误； ⑤中，由，知，故，所以成立，故⑤正确； ⑥中，所以，所以，所以，故⑥正确． 故答案为：⑤⑥． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）若，给出下列不等式：①；②；③，其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐一判断各个不等式即得. 【详解】由，得，，则，①正确； 有，即，则，②正确； 显然，因此，③正确， 所以正确的是①②③． 故答案为：①②③ 3．（24-25高一上·上海松江期中）已知，以下说法： ①若，则；②若，则；③若，则， 其中正确的是 ． 【答案】① 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，若，则；①正确， 对于②,若，当时，则，故②错误， 对于③,若，当时，则，故③错误， 故答案为：① 4．（24-25高一上控江中学期中）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 5.（23-24高一上·上海浦东新·期中）有四个命题：①；②，；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特殊值法判断各项的正误即可. 【详解】①，则，对于任意实数都有，对； ②，，若，此时，错； ③，则，故，对； ④由不等式性质知，对. 所以共有3个正确命题. 故选：C 6．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为. 【详解】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·延安中学期中）是互异的四个正数，，，中最大的数，且  ，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】利用作差法，结合所给条件计算可得. 【详解】因为是互异的四个正数，，，中最大的数， 所以，，又，则， 所以， 所以. 故答案为：. 8.（24-25高一上·上海黄浦期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质即可求的取值范围，化简，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】由，， 则两式相加得，故， 因为， 所以，， 则两式相加得. 故答案为：，. 9.（24-25高一上·格致中学期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质即可求的取值范围，化简，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】由，， 则两式相加得，故， 因为， 所以，， 则两式相加得. 故答案为：，. 10.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 12.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得的取值范围. 【详解】因为方程和， 所以， 因为，所以，即， 因为任意，方程和在上均有解， 所以，即， 则，即， 所以 的取值范围为， 故答案为：. 二、选择题 13.（2023高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 14．（2023秋•青浦区校级月考）已知，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，利用不等式的基本性质对各项逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：由得，所以，可得，故正确； 由，可知，故正确； 取，，则，，此时，故错误； 因为且，所以，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的基本性质、作差法比较两个数的大小等知识，属于基础题． 15．（2023秋•奉贤区期中）如果，那么下列不等式中成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据不等式性质可判断，；举反例，，可判断，． 【解答】解：对于，因为，则，正确； 对于，不妨取，，满足，但是，不成立； 对于，不妨取，，满足，但是，不成立； 对于，因为，则，，故不成立， 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题． 16.（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选:C. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 18．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 19．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 20．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【详解】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 21．（22-23高一上·上海闵行·期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由． 【答案】(1)“上位点”为，“下位点”为； (2)是，证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标. （2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”. （3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值. 【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和； （2）点是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”，      又均大于，     ，       ，即， 所以点是点的“下位点”. （3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”， 证明：点是点的“上位点”， 均大于，     ，       ， 即，所以点是点的“上位点”， 同理可得，即， 所以点是点的“下位点”， 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”． 根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立， 根据上述的结论可知，当，时，满足条件. 故： 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $