重难点05 不等式的恒成立、有解与根的分布三类综合问题讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 不等式的恒成立、能成立及根的分布三类综合问题 题型一、不等式在实数集上恒成立问题 【名师点拨】一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 【例1】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【答案】 【解析】， 所以恒成立等价于恒成立， 即不等式恒成立， 所以，解得. 所以实数的范围是. 【例2】已知，关于的不等式． （1）若不等式解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数取值范围. 【小问1详解】 解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知,若对一切实数恒成立,则实数的取值范围为________. 【解法1】由已知可得, 即对一切实数恒成立. 由一元二次函数的性质可得解得故,因此实数的取值范围为. 【解法2】令,则问题转化为.对恒成立, 当时,由二次函数的图像知,不合题意; 当时,,即,解得或,综上所述,, 因此,实数的取值范围为. 【解法3】对恒成立, 问题可转化为对恒成立, 从而. 令,则 令,则或 从而在上单调递增,在上单调递减.又,且当时,,故,于是, 因此实数的取值范围为. 2.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分类讨论的解题思想，结合一元二次不等式恒成立，可得答案. 【详解】当时，不等式化简为，显然此时不等式恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 3.已知，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合二次函数的图像性质即可求解. 【详解】，不等式恒成立, 即与轴没有交点， 即， 则，解得，则的取值范围为. 故答案为： 4.已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【详解】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 题型二、不等式在给定区间上的恒成立问题 【名师点拨】给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数图像法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【例3】已知函数. （1）若，试讨论不等式的解集； （2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【解析】（1）若不等式，即， ①当时，不等式，解得，该不等式的解集为； ②当时，因式分解可得， 因为，不等式可变为， （i）当即时，不等式的解集为； （ii）当即时，不等式的解集为； （iii）当即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，该不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）对于，恒成立， 化简得在上恒成立， 设，该函数是开口向上的二次函数，对称轴， 所以在上单调递增，，所以， 则的取值范围为. 【例4】已知 （1）在上恒成立，求的范围． （2）在上恒成立，求的范围． （3）解关于的不等式：． 【答案】（1）或；（2）；（3）答案见解析 【解析】（1）在上恒成立， 令, 所以，即，解得或． 故的范围为或． （2）在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，等价于即可 令，， 由二次函数的性质知，当即时， 取的最大值为，即， 故实数的取值范围为 （3）由题意可知，， 当时，，解得， 所以不等式的解集为， 当时，即， ，解得， 当时，， 所以不等式的解集为或； 当时，， 所以不等式的解集为； 当即时，， 所以不等式的解集为， 当即时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为 ， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【跟踪训练】 1.若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得不等式对任意成立，解不等式组即得解. 【详解】由题得不等式对任意成立， 所以， 即， 解之得或. 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是联想到“反客为主”，把“”看作自变量，把“”看作参数，问题迎刃而解. 2.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 解析：要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立， 即m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立． 法一　令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]. 当m>0时，g(x)在[1，3]上单调递增， 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0， 所以m<，所以0<m<； 当m＝0时，－6<0恒成立； 当m<0时，g(x)在[1，3]上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0， 所以m<6，所以m<0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　因为x2－x＋1＝＋>0，又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1，3]上恒成立， 所以m<在x∈[1，3]上恒成立． 令y＝， 因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m<即可． 所以m的取值范围是. 答案： 3.若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为不等式（）， 所以或（）， ①当时，， 所以不等式的解集为， 所以原不等式不可能对一切恒成立，故不符合题意； ②当时，， 所以不等式的解集为或， 又因为原不等式对一切恒成立， 所以，解得， ③当时，， 所以不等式的解集为或， 又因为原不等式对一切恒成立， 所以，解得， 综述，.故选：B. 4.当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案. 【详解】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 5.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用一次函数的单调性分讨论可得答案. 【详解】令，对一切均大于0恒成立， 所以 ，或， 或，解得或，，或， 综上，实数的取值范围是，或. 故选：A. 6.已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）关于的不等式的解集为，转换为，是方程的两个实数根，求值即可. （2）对，恒成立，转换为恒成立，利用恒成立知识求解即可. 【详解】（1）依题意，，即解集为， 所以，是方程的两个实数根， 将代入方程得，此时方程，另一根，即， 所以实数，. （2）若对，恒成立， 即，恒成立， 当时，上述不等式恒成立； 当时，上述不等式恒成立等价于， 而， 当且仅当，即时取等号， 即函数在上有最小值为4，则； 综上，实数的取值范围是. 7.已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 题型三、基本不等式的恒成立问题 【名师点拨】解决f(x) >g(x)恒成立问题： 1. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0； 2. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0； 3.利用均值不等式求 ，转化为（或）。 【例5】正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例6】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是________. 【解析】 【解法1】左 ,当时取等号. 故,即实数的取值范围是. 【解法2】令,则 (i)当时,; (ii)当时,, 则当时,,当时,,即当时, (iii)当时,. 综上可知,即的最小值为. 要使不等式恒成立,则需,解得,即实数的取值范围是 【跟踪训练】 1.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值的几何意义即可求实数a的取值范围. 【详解】由绝对值的几何意义知：对于任意实数x都有， 又不等式对所有实数x恒成立，所以，所以或或，所以，所以实数的取值范围是 故答案为：. 2.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式“1”的妙用可得的最小值为4，再根据含参不等式恒成立解一元二次不等式，即可得实数的取值范围. 【详解】正实数满足， 则， 当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4， 要使不等式恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 3.（1）已知，求y的最大值. （2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）1 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）令，所以，得，结合基本不等式求解最值即可； （2）方程可化为，，可知方程有两不同的实根，，再由韦达定理建立得最值，若不等式恒成立，可转化为，都成立，再求最小值即可． 【详解】解：（1）已知，令，所以 则 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立 所以； （2）方程可化为， 有两不同的实根，， 则， ，当时， 若不等式恒成立， 所以得，对都成立，， 设 若使时都成立， 则 解得：或， 所以的取值范围是. 题型四、不等式的能成立问题 【名师点拨】能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； (2)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【例7】若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得在上有解，然后求出的最小值即可. 【详解】因为函数，使不等式成立， 所以在上有解，所以 ， 因为，所以， 所以当时，取得最小值， 所以，即实数a的取值范围为， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　 ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≥ 解析：选C.由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解， 得≥a在1≤x≤2上有解，则a≤， 由于＝x＋，而y＝x＋在[1，2]上单调递增， 故当x＝2时，x＋取得最大值，故a≤. 2.若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，则实数m的取值范围为________． 解析：因为f(x)＝x2＋mx＋3－m的图象开口向上，对称轴为直线x＝－， ①当－≤－2，即m≥4时，f(x)min＝f(－2)＝4－2m＋3－m≤0，即m≥，∴m≥4； ②当－2<－<2，即－4<m<4时，f(x)min＝f＝－＋3－m≤0，解得m≥2或m≤－6，∴2≤m<4； ③当－≥2，即m≤－4时，f(x)min＝f(2)＝4＋2m＋3－m≤0，解得m≤－7. 综上，m≥2或m≤－7. 答案：(－∞，－7]∪[2，＋∞) 3.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】若不等式有解，则， 因为，，所以， 当，即时，等号成立，的最小值为4， 所以，解得：或， 所以实数的取值范围是或.故选：D 4.已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意：和是方程的两根，且， 所以，解得； （2）由（1）得，， 所以有解， 等价于有解， 故只需，即，解得， 所以实数的取值范围是． 题型五、根在区间上的分布情况 【名师点拨】一元二次方程在上根的分布情况： ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 【例8】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次函数的性质求出的值域，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根， 所以在区间内有实根， 令，，所以在上单调递减， 所以，即， 依题意与在内有交点， 所以. 故选：B 3.已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合已知条件，利用一元二次方程的根的分布得到不等式组即可求解. 【详解】依题意可设函数， 因为一元二次方程的一根在中，另一根在中， 所以，即， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】转化化二次函数零点分布问题，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】令， 根据题意得， 由①得：，由②得：，由③得：， 求交集得： 故的取值范围为. 故答案为： 5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，则 ， ∴实数m的范围是. (2)据抛物线与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - <m≤1-, ∴ 实数m的范围是. 题型六、一元二次方程的根的“”分布 【名师点拨】一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 【例9】已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【例10】已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布情况，结合一元二次不等式的求解，列式计算即可. 【详解】令， 则， 由题可知，，且， 即，解得， 故所有选项中满足题意的的值是：. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知方程有两个负根，求的取值范围． 【答案】m≥11 【解析】依题意有 　　　． 2.一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次方程有一个正根和一负根可得以及两根之积小于，列不等式组即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和， 所以，解得，故. 故选：A. 3.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论a，确定，则可将化为， 令，结合二次函数知识可得，即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 4.方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【详解】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. 5.已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 【答案】. 【解析】解一：二次方程两个根都小于1，其充要条件为 （1）即为，它的解集是． （2）即为，它的解集是． （3）的解集是． 所以，的取值范围是． 解二：二次方程有两个根的充要条件是． 设两根为，由于都小于1，即，其充要条件为： 即 因此，方程两个根都小于1的充要条件是： 以下同解法一（略）． 解三：令，原方程转化为，即 （*） 因为原方程两根都小于1，所以方程（*）的两个实根都小于0，其充要条件是： 同样可求出的取值范围（略）． 压 一、单选题 1．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只需要满足条件即可. 【详解】由题意， 整理可得，，解得. 故选：C. 2．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，不等式恒成立时，， 所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是. 故选：D. 3．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有(　 ) A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．－4≤m<0 解析：选A　因为关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，所以m≤(x2－4x)min，令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈(0,3]，所以当x＝2时，y＝x2－4x取得最小值－4，所以m≤－4. 4．不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值为(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 解析：选B　不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，等价于x2＋1≥－ax，即－a≤x＋对于一切x∈成立，∵y＝x＋在上单调递减，∴ymin＝＋2＝. ∴－a≤，a≥－，即a的最小值是－. 5．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由关于的不等式在区间内有解，可得在区间内有解，从而大于在区间的最小值，结合二次函数的性质即可得出结果． 【详解】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，从而大于在区间的最小值. 令，，函数图像抛物线开口向上，对称轴方程为，则在上单调递减，在是单调递增则，，得， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 6.设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则(　 ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≥ D．a≤ [解析]　∵关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，∴a≤x＋在x∈[1,2]上有解⇔a≤max，x∈[1,2]，∵函数y＝x＋在[1,2]上单调递增，∴f(x)max＝，∴a≤. [答案]　D 7.若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为恒成立， 所以原不等式等价于有解，即有解， 所以，解得， 即实数的取值范围为，故选：C 8.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、填空题 9．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是___________ 【分析】分类讨论和两种情况，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，原不等式为满足解集为R； 当时，根据题意得，且，解得． 综上，的取值范围为． 10．对任意的，恒成立，则的取值范围是_________ 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】解：因为对任意的，恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以. 11.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的最小值，求解即可. 【详解】因为关于的不等式恒成立，所以， 记， 当时，，当时，有最小值为2； 当时，，为常数函数2； 当时，，当时，有最小值为2； 综上所述：的最小值为2，所以. 故答案：. 12．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________ 【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况. 【详解】若关于的不等式有解, 则，解得. 13.已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________. 【答案】不存在 【分析】利用参变量分离法结合基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【解析】由已知可得，，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在. 故答案为：不存在. 14．若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】将问题转化为在区间内有解，从而求得的最大值即可得解. 【详解】因为在区间内有解， 所以在区间内有解， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 所以，即. 故答案为：. 15.命题“，”为真命题，则实数a的取值范围 ． 【答案】或 【解析】由题意，解得或， 故答案为：或． 16.若命题“”为假命题，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【解析】因为命题“”为假命题， 所以命题“，使得成立”为真命题， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为， 所以，解得或. 故答案为：或. 17.若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________． 【答案】（，＋∞） 【解析】设， 由题意，解得， 故答案为：． 18.已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1， 由题意知，解得－<a<－2. 三、解答题 19.设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立， 即有实数解， 于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解， 当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是. 20.已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且不等式对一切都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为不等式的解集为， 可知和是方程的两根，且 由根与系数的关系得：，解得：. （2）由题意可知：二次函数在内的图象均在x轴下方， 且，则，解得：， 所以实数的取值范围是 21.已知函数，其中. （1）若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围； （2）当时，若函数的最大值为，求实数的值. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）∵不等式对于一切实数均成立， ∴即对于一切实数均成立， ∴即， ∴解得或， ∴的取值范围为. （2）对称轴为， ①当时，在单调递减， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴解得或，∴； ②当时，在单调递增，在单调递减， ∴， 显然，不符合题意； ③当时，在单调递增， ∴， 又∵当时，函数的最大值为， ∴，解得或，∴； 综上所述，或. 22.已知二次函数(,为实数)且当时，． （1）当时，对，恒成立，求实数的取值范围； （2）对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）时，，即， ，恒成立，即恒成立， 恒成立， ，，对恒成立，． 令，则， 则， 当且仅当，即，此时时取， 所以实数的取值范围时． （2），恒成立，即对恒成立， 对恒成立． ，解得，， 所以实数的取值范围是． 23.已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）不等式 在 上恒成立, 转化为 在 上恒成立, 求出 在 上的最小值即可求出 的取值范围； （2） 将不等式 化为 ,讨论 的取值即可求解不等式的解集. 【详解】（1）， 不等式化为， 即， 不等式在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， ， 设，，根据对勾函数的性质知其在上单调递减，在上单调递增， 当；当；当， ， ，即的取值范围是. （2）不等式化为， 即， 即， ①当时，不等式为，不等式解集为， ②当时，即时，不等式为，不等式解集为; ③当时，，不等成解集为; ④当时，，不等式解集为 ⑤时，不等式解集为. 24．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; （3）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 25.求实数的范围，使关于的方程． (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小． (2)有两个实根，且满足． (3)至少有一个正根． 【答案】(1)m<-1;(2);(3)m≤-1. 【解析】设． (1)依题意有，即，得． (2)依题意有 　　　　　　　　解得：． 　　(3)方程至少有一个正根，则有三种可能： 　　　　　①有两个正根，此时可得，即． 　　　　　②有一个正根，一个负根，此时可得，得． 　　　　　③有一个正根，另一根为０，此时可得　　． 　　　综上所述，得． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点05 不等式的恒成立、能成立及根的分布三类综合问题 题型一、不等式在实数集上恒成立问题 【名师点拨】一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 【例1】若不等式对一切实数恒成立，则实数的范围是 【例2】已知，关于的不等式． （1）若不等式解集为，求实数的取值范围； （2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知,若对一切实数恒成立,则实数的取值范围为________. 2.对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 3.已知，不等式恒成立，则的取值范围为 . 4.已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 题型二、不等式在给定区间上的恒成立问题 【名师点拨】给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数图像法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a. 给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【例3】已知函数. （1）若，试讨论不等式的解集； （2）若对于任意，恒成立，求参数的取值范围. 【例4】已知 （1）在上恒成立，求的范围． （2）在上恒成立，求的范围． （3）解关于的不等式：． 【跟踪训练】 1.若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________． 3.若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 5.不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 7.已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型三、基本不等式的恒成立问题 【名师点拨】解决f(x) >g(x)恒成立问题： 1. ∀x∈D,均有f(x) >g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0； 2. ∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) <0,∴ F(x) max <0； 3.利用均值不等式求 ，转化为（或）。 【例5】正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围_________ 【例6】若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是________. 【跟踪训练】 1.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________. 2.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 3.（1）已知，求y的最大值. （2）设关于x的方程的两个非零实根为，，问是否存在m，使得不等式对任意的以及恒成立？若存在，请求出m的取值范围；若不存在， 题型四、不等式的能成立问题 【名师点拨】能成立或有解问题与恒成立问题处理方法类似，一般也是转化为函数的最值问题，一是直接研究原函数的最值；二是参数分离后研究最值，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； (2)a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 【例7】若函数，使不等式成立，则实数a的取值范围为 【跟踪训练】 1.设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则(　　 ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≤ D．a≥ 2.若存在x∈[－2，2]，x2＋mx＋3－m≤0有解，则实数m的取值范围为________． 3.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 4.已知不等式的解集为． （1）求的值； （2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围． 题型五、根在区间上的分布情况 【名师点拨】一元二次方程在上根的分布情况： ①方程有两个不等的实数根; ②方程有两个相等的实数根; ③方程没有实数根 一元二次方程根在区间的分布 ①两根都在内 ②两根仅有一根在内 ③一根在内,另一根在内 【例8】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，则的取值范围为 . 4.已知关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为 ． 5.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 题型六、一元二次方程的根的“”分布 【名师点拨】一元二次方程的根的“0”分布 ①方程有两个不等正根； ②方程有两个不等负根 ③方程有一正根和一负根,设两根为 一元二次方程的根的“”分布 ①两根都小于； ②两根都大于 ③一根小于，一根大于 【例9】已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为 ． 【例10】已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪训练】 1.已知方程有两个负根，求的取值范围． 2.一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3.关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 5.已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围． 压 一、单选题 1．若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k满足（    ） A． B． C． D． 2．“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,3]恒成立，则有(　 ) A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m<0 D．－4≤m<0 4．不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值为(　 ) A. B．－ C．2 D．－2 5．若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则(　 ) A．a≤2 B．a≥2 C．a≥ D．a≤ 7.若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D．8.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．不等式 的解集为R，则实数的取值范围是___________ 10．对任意的，恒成立，则的取值范围是_________ 11.若关于不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 12．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是________ 13.已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是_________. 14．若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是_________. 15.命题“，”为真命题，则实数a的取值范围 ． 16.若命题“”为假命题，则实数的取值范围 ． 17.若关于x的一元二次方程有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________． 三、解答题 19.设函数.若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围. 20.已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且不等式对一切都成立，求实数的取值范围． 21.已知函数，其中. （1）若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围； （2）当时，若函数的最大值为，求实数的值. 22.已知二次函数(,为实数)且当时，． （1）当时，对，恒成立，求实数的取值范围； （2）对，恒成立，求实数的取值范围． 23.已知函数． (1)若时不等式恒成立，求实数a的取值范围； (2)用分类讨论的方法解关于x的不等式 （其中）． 24．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 25.求实数的范围，使关于的方程． (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小． (2)有两个实根，且满足． (3)至少有一个正根． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $