4.5角的比较与补（余）角讲义 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

4.5 角的比较与补（余）角 学习目标 1. 掌握角的两种比较方法（度量法和叠合法），能根据角的度数比较大小。 2. 理解角平分线及角n等平分线的概念，能运用其性质进行角的计算。 3. 理解余角和补角的定义，能准确求出一个角的余角和补角，并解决相关计算问题。 4. 会用代数方法（设未知数）解决与角平分线、余补角有关的综合问题。 知识点讲解 一、角的比较 1. 度量法：用量角器量出角的度数，度数大的角大，度数小的角小。 例如：∠α=30°，∠β=45°，则∠α<∠β。 2. 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置： · 若另一边重合，则两角相等； · 若∠α的另一边落在∠β内部，则∠α<∠β； · 若∠α的另一边落在∠β外部，则∠α>∠β。 二、角平分线及角n等平分线 1. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。 · 几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 2. 角n等平分线：从一个角的顶点出发，引出(n-1)条射线，把角分成n个相等的角，这(n-1)条射线叫做角n等平分线。 · 几何语言：若OC₁,OC₂,...,OCₙ₋₁是∠AOB的n等平分线，则每个小角的度数为∠AOB，即∠AOC₁=∠C₁OC₂=...=∠Cₙ₋₁∠AOB。 三、余角与补角 1. 余角：若两个角的和为90°（直角），则这两个角互为余角。 · 性质：∠α的余角=90°-∠α。 2. 补角：若两个角的和为180°（平角），则这两个角互为补角。 · 性质：∠α的补角=180°-∠α。 3. 注意： · 互余/互补是两个角的关系，与位置无关； · 一个角不能单独称为余角或补角； · 若∠α+∠β+∠γ=90°，不能说三个角互为余角（必须是两个角）。 例题解析 例1（角的比较）：已知∠A=35°20'，∠B=35.3°，比较∠A和∠B的大小。 例2（角平分线计算）：∠AOB=76°，OC是∠AOB的平分线，求∠AOC的度数。 例3（角n等平分线计算）：一个角为150°，作其五等平分线，求相邻两条平分线所夹的角的度数。 例4（求余角和补角）：求68°30'的余角和补角。 例5（余补角相关计算）：一个角的余角是它的2倍，求这个角的度数。 巩固练习 一、选择题 1. 下列角度中，最大的是（ ） A. 30°15' B. 30.25° C.平角 D. 直角 2. ∠α=50°，则∠α的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 3. 一个角的补角是它本身的3倍，则这个角的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 4. ∠AOB=120°，OC是∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数不可能是（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 以上都不对 5. 若∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（ ） A. ∠1=∠3 B. ∠1=90°+∠3 C. ∠1=180°-∠3 D. ∠1=90°-∠3 二、填空题 6. 比较大小：48°15'______48.15°（填“>”“<”或“=”） 7. ∠AOB=96°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠AOD的平分线，则∠AOE=______度 8. 一个角的余角比它的补角的还小10°，则这个角的度数为______ 三、解答题 9. ∠α=(3x-20)°，∠β=(2x+5)°，且∠α与∠β互余，求x的值及∠α的度数。 10. ∠AOB=180°，OC将∠AOB分成∠AOC和∠COB，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 角的比较与补（余）角 学习目标 1. 掌握角的两种比较方法（度量法和叠合法），能根据角的度数比较大小。 2. 理解角平分线及角n等平分线的概念，能运用其性质进行角的计算。 3. 理解余角和补角的定义，能准确求出一个角的余角和补角，并解决相关计算问题。 4. 会用代数方法（设未知数）解决与角平分线、余补角有关的综合问题。 知识点讲解 一、角的比较 1. 度量法：用量角器量出角的度数，度数大的角大，度数小的角小。 例如：∠α=30°，∠β=45°，则∠α<∠β。 2. 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置： · 若另一边重合，则两角相等； · 若∠α的另一边落在∠β内部，则∠α<∠β； · 若∠α的另一边落在∠β外部，则∠α>∠β。 二、角平分线及角n等平分线 1. 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。 · 几何语言：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB。 2. 角n等平分线：从一个角的顶点出发，引出(n-1)条射线，把角分成n个相等的角，这(n-1)条射线叫做角n等平分线。 · 几何语言：若OC₁,OC₂,...,OCₙ₋₁是∠AOB的n等平分线，则每个小角的度数为∠AOB，即∠AOC₁=∠C₁OC₂=...=∠Cₙ₋₁∠AOB。 三、余角与补角 1. 余角：若两个角的和为90°（直角），则这两个角互为余角。 · 性质：∠α的余角=90°-∠α。 2. 补角：若两个角的和为180°（平角），则这两个角互为补角。 · 性质：∠α的补角=180°-∠α。 3. 注意： · 互余/互补是两个角的关系，与位置无关； · 一个角不能单独称为余角或补角； · 若∠α+∠β+∠γ=90°，不能说三个角互为余角（必须是两个角）。 例题解析 例1（角的比较）：已知∠A=35°20'，∠B=35.3°，比较∠A和∠B的大小。 解析：统一单位，∠B=35.3°=35°+0.3×60'=35°18'。 因为35°20'>35°18'，所以∠A>∠B。 例2（角平分线计算）：∠AOB=76°，OC是∠AOB的平分线，求∠AOC的度数。 解析：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠∠AOB。 ∠AOB=76°，则∠。 答：∠AOC的度数为38°。 例3（角n等平分线计算）：一个角为150°，作其五等平分线，求相邻两条平分线所夹的角的度数。 解析：五等分会将150°分成5个相等的角，每个角的度数为。 相邻两条平分线所夹的角即为一个小角，度数为30°。 答：相邻两条平分线所夹的角的度数为30°。 例4（求余角和补角）：求68°30'的余角和补角。 解析：余角=90°-68°30'=21°30'；补角=180°-68°30'=111°30'。 答：余角为21°30'，补角为111°30'。 例5（余补角相关计算）：一个角的余角是它的2倍，求这个角的度数。 解析：设这个角为x，则余角为90°-x。 依题意：90°-x=2x， 移项得：90°=3x， x=30°。 答：这个角的度数为30°。 巩固练习 一、选择题 1. 下列角度中，最大的是（ ） A. 30°15' B. 30.25° C.平角 D. 直角 2. ∠α=50°，则∠α的余角的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 130° D. 140° 3. 一个角的补角是它本身的3倍，则这个角的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 135° 4. ∠AOB=120°，OC是∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数不可能是（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 以上都不对 5. 若∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是（ ） A. ∠1=∠3 B. ∠1=90°+∠3 C. ∠1=180°-∠3 D. ∠1=90°-∠3 二、填空题 6. 比较大小：48°15'______48.15°（填“>”“<”或“=”） 7. ∠AOB=96°，OD是∠AOB的平分线，OE是∠AOD的平分线，则∠AOE=______度 8. 一个角的余角比它的补角的还小10°，则这个角的度数为______ 三、解答题 9. ∠α=(3x-20)°，∠β=(2x+5)°，且∠α与∠β互余，求x的值及∠α的度数。 10. ∠AOB=180°，OC将∠AOB分成∠AOC和∠COB，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，求∠DOE的度数。 巩固练习答案及解析 一、选择题 1. C 解析：A. 30°15'； B. 30.25°=30°15'； C.平角； D.直角。最大的是A和B，但30°15'=30.25°，C和D为30°，所以最大的是A和B，选项中C为36°，选C。 2. A 解析：余角=90°-50°=40°。 3. A 解析：设角为x，补角=180°-x，依题意180°-x=3x，4x=180°，x=45°。 4. B 解析：三等分线分两种：①∠；②∠，不可能是60°。 5. B 解析：∠1+∠2=180°，∠2+∠3=90°，则∠1=180°-∠2=180°-(90°-∠3)=90°+∠3。 二、填空题 6. > 解析：48.15°=48°9'，48°15'>48°9'。 7. 24 解析：OD平分∠AOB，∠，OE平分∠AOD，∠。 8. 60° 解析：设角为x，余角=90°-x，补角=180°-x，依题意， ， ， ，x=60°。 三、解答题 9. 解析：∠α与∠β互余，∴(3x-20)+(2x+5)=90， 5x-15=90， 5x=105， x=21， ∠α=3×21-20=43°。 答：x=21，∠α=43°。 10. 解析：OD平分∠AOC，∠∠AOC；OE平分∠COB，∠∠COB， ∠DOE=∠DOC+∠(∠AOC+∠∠。 答：∠DOE=90°。 学科网（北京）股份有限公司 $