章末综合测评2 圆锥曲线(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

章末综合测评(二) 1．B　[右焦点F(1，0)，∴d＝．] 2．A　[由椭圆的定义知，△ABF2的周长为4×5＝20．] 3．A　[∵m>n>0，∴点(m，n)在第一象限且在直线y＝x的下方，故焦点在x轴上．] 4．D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0．由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0<k<1，所以x1x2＝4，　① 根据抛物线的定义得，|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2．因为|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2，　② 由①②得x2＝1(x2＝－2舍去)，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)得k＝．] 5．C　[由椭圆C：＋y2＝1的方程得a2＝2，b2＝1． 由椭圆的性质可知·． ∴． ∵∈[1，2]，∴．] 6．A　[由已知得 ，根据抛物线的定义，方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为抛物线．] 7．A　[设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝m，所以C的离心率e＝．] 8．D　[不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立，解得． 因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝＝b，所以b＝2． 因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以，化简得，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝＝1，故选D．] 9．BD　[因为·|，所以△MF1F2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c，则c＝b＝a，所以e1＝． 在焦点△PF1F2中，∠F1PF2＝，设|PF1|＝x，|PF2|＝y，双曲线C2的实半轴长为a'， 则c2，故(x－y)2＝x2＋y2－xy－xy＝，所以(a')2＝，即e2＝， 故，e1e2＝＝2，＝1，故选BD．] 10．ABD　[A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， ☉A的圆心(0，4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l与☉A相切，A选项正确： B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由＝4xP，得到xP＝4，故P(4，4)， 此时切线长|PQ|＝，B选项正确： C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P(1，2)或P(1，－2)， 当P(1，2)时，A(0，4)，B(－1，2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1： 当P(1，－2)时，A(0，4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6， 不满足kPAkAB＝－1： 于是PA⊥AB不成立，C选项错误： D选项，法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，|PB|＝|PF|，又F(1，0)， 于是|PA|＝|PB|时，P点的存在性问题转化成|PA|＝|PF|时P点的存在性问题， A(0，4)，F(1，0)，AF中点为，AF中垂线的斜率为－，于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线方程y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个P点，使得|PA|＝|PF|，D选项正确． 法二：设点直接求解 设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0，4)，|PA|＝|PB|，根据两点间的距离公式，得＋1， 整理得t2－16t＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确． 故选ABD．] 11．CD　[(e1＋e2)2＝＋2e1e2 ＝≥2＋2＋2×2＝8，当且仅当a＝b时取等号．故选CD．] 12．　[由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为．] 13．　[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x． 由可得x2＋2x－24＝0， 故x＝4或x＝－6(舍去)， 故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0， 故原点到直线AF的距离为d＝．] 14．13　[∵椭圆的离心率为e＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2， ∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示， ∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c， ∴∠AF2O＝， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得13y2－6 cy－9c2＝0， 判别式Δ＝(6 c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝6，∴c＝，得a＝2c＝， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．] 15．解：法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1， 由 消去y， 整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝． ∵A(3，－1)为MN的中点， ∴＝3，即＝3，解得k＝－． 当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－，即3x＋4y－5＝0． 法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上， ∴ 两式相减，得， ∴． ∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2． ∴kMN＝． 经验证，该直线MN存在． ∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0． 16．解：(1)设P，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1， 故曲线C的方程为x2＋＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，Δ>0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－． 若，即x1x2＋y1y2＝0． 而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 于是x1x2＋y1y2＝－＋1＝0， 化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±． 17．解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0， 由Δ1＝16p2－8p>0，得p>． 由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p， 所以|AB|＝··，解得p＝2或p＝－(舍去)， 故p＝2． (2)设M(x3，y3)，N(x4，y4)，由(1)知抛物线C：y2＝4x，则点F(1，0)． 因为·＝0，所以∠MFN＝90°，则S△MFN＝(x3＋1)(x4＋1)＝(x3x4＋x3＋x4＋1)．　(*) ①当直线MN的斜率不存在时，点M与点N关于x轴对称，因为∠MFN＝90°， 所以直线MF与直线NF的斜率一个是1，另一个是－1． 不妨设直线MF的斜率为1，则MF：y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 得 代入(*)式计算易得，当x3＝x4＝3－2时，△MFN的面积取得最小值，为4(3－2)． ②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，易知k≠0． 由得k2x2－(4－2km)x＋m2＝0， Δ2＝(4－2km)2－4m2k2>0，得mk<1， 则 y3y4＝(kx3＋m)(kx4＋m)＝k2x3x4＋mk(x3＋x4)＋m2＝． 又·＝(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋y3y4＝0， 所以＝0，化简得m2＋k2＋6km＝4． 所以S△MFN＝(x3x4＋x3＋x4＋1) ＝ ＝＋2＋1． 令t＝，则S△MFN＝t2＋2t＋1， 因为m2＋k2＋6km＝4， 所以＋6＋1＝>0， 即t2＋6t＋1>0，得t>－3＋2， 从而得S△MFN＝t2＋2t＋1>12－8＝4(3－2)． 综上所述，△MFN面积的最小值为4(3－2)． 18．解：(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2， 所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 半焦距为c，则2a＝2，c＝， 得a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点M的轨迹C的方程为x2－＝1(x≥1)． (2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为0，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)， 由 得(16－)x2－2k1－16＝0． 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，xA>，xB>， 易知16－≠0， 则xAxB＝，xA＋xB＝， 所以|TA|＝， |TB|＝， 则|TA|·|TB|＝＝(1＋＝(1＋)·＝． 同理得|TP|·|TQ|＝． 因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|， 所以， 所以， 即，又k1≠k2，所以k1＝－k2， 即k1＋k2＝0． 故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0． 19．解：(1)抛物线的准线为x＝－，当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时＝3，所以p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)设M，N，A，B，直线MN：x＝my＋1， 由 可得y2－4my－4＝0，Δ>0，y1y2＝－4． 当直线MN的斜率存在时， 由斜率公式可得kMN＝，kAB＝， 直线MD：x＝·y＋2，代入抛物线方程可得y2－·y－8＝0， Δ>0，y1y3＝－8，所以y3＝2y2，同理可得y4＝2y1， 所以kAB＝， 又因为直线MN，AB的倾斜角分别为α，β， 所以kAB＝tan β＝， 若要使α－β最大，则β∈， 设kMN＝2kAB＝2k>0，则tan， 当且仅当时，等号成立， 所以当α－β最大时，kAB＝，设直线AB：x＝y＋n， 代入抛物线方程可得y2－4y－4n＝0， Δ>0，y3y4＝－4n＝4y1y2＝－16，所以n＝4， 所以直线AB：x＝y＋4． 当直线MN斜率不存在时，α＝β＝90°，α－β＝0°，tan(α－β)<． 综上，直线AB的方程为x＝y＋4，即x－y－4＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(二)　圆锥曲线 (满分：150分　时间：120分钟) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆＝1的右焦点到直线y＝x的距离是(　　) A．　　 B． C．1　　 D． 2．椭圆＝1的焦点为F1，F2，AB是过椭圆焦点F1的弦，则△ABF2的周长是(　　) A．20 　 B．12 C．10 　 D．6 3．若双曲线过点(m，n)(m>n>0)，且渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在x轴或y轴上 D．无法判断是否在坐标轴上 4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． 5．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 6．方程5＝|3x－4y－6|表示的曲线为(　　) A．抛物线 　 B．椭圆 C．双曲线 　 D．圆 7．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． 8．双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 　 B．＝1 C．＝1 　 D．＝1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知椭圆C1：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且＝0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点．若∠F1PF2＝，则下列各项正确的是(　　) A．＝2 　 B．e1e2＝ C．＝ 　 D．＝1 10．抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 11．双曲线＝1的离心率为e1，双曲线＝1的离心率为e2，则e1＋e2的值不可能是(　　) A．3 　 B．2 C． 　 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆C过双曲线＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 13．圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________． 14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程． 16．(15分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点． (1)写出C的方程； (2)若⊥，求k的值； 17．(15分)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4． (1)求p； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且＝0，求△MFN面积的最小值． 18．(17分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 19．(17分)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，＝3． (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β．当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $