第二章 圆锥曲线（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年选择性必修第一册数学第二章圆锥曲线能力提升单元卷，聚焦双曲线、抛物线核心知识，通过分层设问与实际情境（如探照灯抛物线模型），考查运算推理与模型应用能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|双曲线标准方程、抛物线定义|基础概念辨析，强化几何直观| |多选|3/18|渐近线性质、焦点位置判断|多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|离心率计算、轨迹方程|简洁设问检测知识迁移能力| |解答|5/77|直线与圆锥曲线位置关系、探照灯应用|分层设问（如15题三问逐步深化），结合真实情境构建模型，体现数学思维与语言表达|

2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 圆锥曲线·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C C A A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意；..........3分 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：．..........5分 （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为．..........9分 （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为．..........13分 16.解：（1）设抛物线的方程为， 将代入方程解得． 因此抛物线C的标准方程为；..........7分 （2）直线的方程为，设， 联立直线与抛物线的方程：，解得 所以的长为．..........15分 17.解：（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：，..........3分 由， 故点坐标为：或...........7分 (2)证明：由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由，..........9分 设，， 则， 由抛物线的定义得：，，..........12分 所以：， 即为定值1...........15分 18.解：（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，    以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为...........5分 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处；..........9分 （2）由（1）可得抛物线方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为...........13分 故将代入抛物线方程求得. 此时，探照灯的深度为48.4cm...........17分 19.解：（1）双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为...........5分 （2）由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为...........9分 （3）由（1）知，，， 由，得，..........13分 则， 所以的面积...........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 2．已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 3．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若双曲线的离心率为，则该双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C． D．10 5．已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ）． A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，则是双曲线 11．已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则最小值为 B．周长的最小值为 C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知F为抛物线C∶的焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________. 13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 14．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．（15分）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 17．（15分）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 18．（17分）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 19．（17分）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 2．已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 3．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若双曲线的离心率为，则该双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C． D．10 5．已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ）． A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，则是双曲线 11．已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则最小值为 B．周长的最小值为 C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知F为抛物线C∶的焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________. 13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 14．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 16．（15分）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 17．（15分）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 18．（17分）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 19．（17分）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年选择性必修第一册数学单元自测 第二章 圆锥曲线·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知椭圆C：的离心率为，若椭圆C的长轴、短轴同时增加，得到离心率为的椭圆，则    （    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【解析】由题知，则．因为，，则<，所以． 2．已知双曲线的焦距为6，则为（    ） A．5 B． C． D．32 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦距为6，所以，即，且，， 所以，故 3．已知抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点在抛物线上，则，解得，故，所以焦点坐标为. 4．若双曲线的离心率为，则该双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【解析】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以虚轴长为. 5．已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线，    即，，，，，则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以，双曲线的离心率为，可得，可得：，解得，则双曲线的方程为． 6．已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，设，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，即.由可知，在中利用余弦定理可得 ，同理可解得，又因为，即，所以． 7．边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为.设，由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中，则有，解得，所以抛物线方程为. 8．已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】由题意，设，则，又的中点为，故.由抛物线定义可得， 故.则，因为直线经过点，即，故，又是抛物线在第一象限的一点，故，解得.故，直线的斜率为.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由于焦点在直线上，当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为；当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为 10．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（    ） A．若，则是椭圆 B．若，则是椭圆 C．若，则是双曲线 D．若，则是双曲线 【答案】BC 【解析】当时，若，方程为，此时为圆，故A错误；当时，方程化为， 因为，则，且，符合椭圆方程的标准形式，故B正确；若时，，因为，则，符合双曲线的标准方程形式，故C正确；若，令，方程化为，即，故D错误 11．已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则最小值为 B．周长的最小值为 C．为直径的圆与轴相切 D．若直线经过点，则 【答案】ACD 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设点、，对于A选项，若，则直线过点，设直线的方程为，联立可的，，由韦达定理可的，，所以，，当且仅当时，等号成立，故最小值为，A对； 对于B选项，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得，所以，，当且仅当、、三点共线时，取最小值，且最小值为，所以，的周长为，因此，周长的最小值为，B错；对于C选项，线段的中点为，，而为点到轴的距离，故为直径的圆与轴相切，C对；对于D选项，若直线经过点，由A选项可得，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知F为抛物线C∶的焦点，P为C上的一点，若，则点P的坐标为________. 【答案】 【解析】由抛物线C∶，知，准线方程为，设，由抛物线的定义得：，即，所以，故的坐标为. 13．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】椭圆方程化为，依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 14．过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与交于两点，与的渐近线交于两点，若，则的离心率为______． 【答案】/ 【解析】易知右焦点坐标为，将代入，得，则，将代入渐近线方程得，则，由于，故，即，即， 则，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 15.解：（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意；..........3分 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：．..........5分 （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为．..........9分 （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为．..........13分 16．（15分）已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求的长． 16.解：（1）设抛物线的方程为， 将代入方程解得． 因此抛物线C的标准方程为；..........7分 （2）直线的方程为，设， 联立直线与抛物线的方程：，解得 所以的长为．..........15分 17．（15分）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 17.解：（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：，..........3分 由， 故点坐标为：或...........7分 (2)证明：由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由，..........9分 设，， 则， 由抛物线的定义得：，，..........12分 所以：， 即为定值1...........15分 18．（17分）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知灯口圆的直径为60cm，灯的深度为40cm.    (1)将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.光源应安置在旋转轴上与顶点相距多远的地方？ (2)为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到66cm，并且保持光源与顶点的距离不变.求探照灯的深度. 18.解：（1）如图，在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，    以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为...........5分 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处；..........9分 （2）由（1）可得抛物线方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为...........13分 故将代入抛物线方程求得. 此时，探照灯的深度为48.4cm...........17分 19．（17分）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 19.解：（1）双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为...........5分 （2）由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为...........9分 （3）由（1）知，，， 由，得，..........13分 则， 所以的面积...........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $