第2章 圆锥曲线 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学讲义通过知识框架系统梳理圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与曲线位置关系，以定义辨析、方程求解、性质探究、综合应用为逻辑主线，用对比表格呈现椭圆、双曲线、抛物线的定义差异，通过例题解析构建知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导，如例3结合2024新课标高考题探究直线与椭圆位置关系，跟踪训练4设置椭圆与抛物线综合证明定点问题，培养逻辑推理和数学运算素养。反思感悟总结离心率求解等技巧，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力教师实施精准教学。

一、圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：动点M的集合{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a>c. (2)双曲线：动点M的集合{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，其中|F1F2|＝2c，a，c为正常数，且a<c. (3)抛物线：动点M的集合{M||MF|＝d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离. 2.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法. 3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. 例1　(1)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　　　. 答案　x2－＝1 解析　由题意得解得 则b2＝c2－a2＝3， 因此双曲线方程为x2－＝1. (2)在圆x2＋y2＝4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D.当点P在圆上运动时，动点M满足＝2，动点M形成的轨迹为曲线C.求曲线C的方程. 解　方法一　由＝2，知点M为线段PD的中点，设点M的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x，2y). 因为点P在圆x2＋y2＝4上， 所以x2＋(2y)2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 方法二　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则D(x0，0)， 由＝2，得x0＝x，y0＝2y， 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以＝4，(*) 把x0＝x，y0＝2y代入(*)式，得x2＋4y2＝4， 所以曲线C的方程为＋y2＝1. 反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 跟踪训练1　(1)已知点P在椭圆C：＝1(a>b>0)上，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距为8，则椭圆C的标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　D 解析　椭圆C的焦距为8，则|F1F2|＝2c＝8， 由PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12， 得|PF1||PF2|＝12，即|PF1||PF2|＝24， 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝64， 所以(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝112， 即4a2＝112，a2＝28， 又c＝4，则b2＝a2－c2＝12， 则椭圆C的标准方程为＝1. (2)点P是抛物线y2＝8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|＋|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标. 解　抛物线y2＝8x的准线方程是x＝－2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x＝－2的距离，过点P作准线x＝－2的垂线，垂足为D，那么|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小，且最小值为|MD|＝2－(－2)＝4， 所以|PM|＋|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3， 所以其横坐标为， 即点P的坐标是. 二、圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 例2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2.因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12， 所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋)＝16－12＝4， 所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8， 所以|AF2|－|AF1|＝2，因此对于双曲线有a＝，c＝， 所以C2的离心率e＝. (2)已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A(，0)，两条渐近线与以A为圆心，1为半径的圆都相切，则该双曲线的渐近线方程是　　　　　　　　　，该双曲线的标准方程是　　　　　　　. 答案　 y＝±x　　 ＝1 解析　双曲线的一个顶点为A(，0)， 可知焦点在x轴上，则a＝， 故设双曲线的标准方程为＝1(b>0)， 则渐近线方程为bx±y＝0， 又＝1，解得b2＝2， 所以渐近线方程为y＝±x， 双曲线的标准方程为＝1. 反思感悟　求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法. (3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观. 跟踪训练2　(1)已知椭圆＝1(a>b>0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若△ABO的面积是c2，则此椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由ab＝c2， 即a2(a2－c2)＝12c4， 所以(a2＋3c2)(a2－4c2)＝0， 所以a2＝4c2，a＝2c， 故e＝. (2)已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A.x2＝y B.x2＝y C.x2＝8y D.x2＝16y 答案　D 解析　由e2＝1＋＝4得， 则双曲线的渐近线方程为y＝±x， 即x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为， 则有＝2，解得p＝8， 故抛物线C2的方程为x2＝16y. 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数为0的情况. 2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. 例3　(2024·新课标全国Ⅰ)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 解　(1)由题意得 解得 所以C的离心率e＝. (2)方法一　kAP＝＝－， 则直线AP的方程为 y＝－x＋3， 即x＋2y－6＝0， 因为|AP| ＝ ＝， S△ABP＝9， 所以点B到直线AP的距离d＝， 设B(x0，y0)，则 解得或即B(0，－3)或B， 当B(0，－3)时，kl＝， 直线l的方程为y＝x－3， 即3x－2y－6＝0； 当B时，kl＝， 直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法二　当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，－3)， S△PAB＝×6×3＝9，符合题意， 此时kl＝， 直线l的方程为y＝x－3， 即3x－2y－6＝0； 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋3，k≠0， 联立椭圆方程有 则(4k2＋3)x2＋24kx＝0， 其中k≠kAP，即k≠－， 解得x＝0(舍去)或x＝，k≠0，k≠－， 当x＝时，y＝， 则B， 同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 则， 解得k＝， 此时B， 则kl＝， 直线l的方程为y＝x， 即x－2y＝0， 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法三　当l的斜率不存在时， l：x＝3，B， |PB|＝3，点A到直线PB的距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9不满足条件； 当直线l的斜率存在时， 设直线l：y＝k(x－3)＋， 设l与y轴的交点为Q， 令x＝0，则Q， 联立 则有(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0， 其中Δ＝64k2－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)>0， 即4k2＋12k＋9>0， 且k≠kAP，即k≠－，k≠－， 则3xB＝， xB＝， 则S△ABP＝|AQ||xP－xB| ＝＝9， 解得k＝或k＝，均满足题意. 则直线l的方程为y＝x或y＝x－3， 即x－2y＝0或3x－2y－6＝0. 反思感悟　(1)直线与圆锥曲线的位置关系可以通过代数法判断. (2)一元二次方程的判别式Δ、弦长公式是代数法解决问题的常用工具. 跟踪训练3　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程. 解　(1)依题意，c＝2， 所以a2＋b2＝4， 则双曲线C的方程为＝1(0<a2<4)， 将点P(5，)代入上式，得＝1， 解得a2＝50(舍去)或a2＝2， 故所求双曲线的方程为＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以|AB|＝··. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝d·|AB|＝××·. 又S△OAB＝2，即＝1， 所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*). 故满足条件的直线l有两条， 其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 四、圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题有利于培养学生的逻辑推理和数学运算素养. 例4　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若OA⊥OB，求△AOB面积的最小值. 解　(1)由抛物线C：y2＝2px经过点P(2，2)知，4p＝4，解得p＝1. 则抛物线C的方程为y2＝2x. 抛物线C的焦点坐标为， 准线方程为x＝－. (2)由题意知，直线AB不与y轴垂直， 设直线AB：x＝ty＋a， 由消去x得y2－2ty－2a＝0. Δ＝4t2＋8a>0. 设A，B， 则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0， 即＋y1y2＝0， 解得y1y2＝0(舍去)或y1y2＝－4. 所以－2a＝－4，解得a＝2，满足Δ>0. 所以直线AB：x＝ty＋2. 所以直线AB过定点(2，0). S△AOB＝×2×≥4. 当且仅当t＝0时，等号成立. 所以△AOB面积的最小值为4. 反思感悟　(1)解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解. (2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比的方法解决此类问题. 跟踪训练4　椭圆＋y2＝1(a>1)的右焦点F恰为抛物线y2＝2px的焦点，过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆所得的弦长之比为4. (1)求a的值； (2)已知P为直线y＝－a上任一点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设直线PA，PB与椭圆的另一交点分别为C，D，求证：直线CD过定点. (1)解　设点F(c，0)，则c＝， 又过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆的弦长分别为2p，， ∴2p＝4×，即4c＝4×， 又b＝1， ∴a2＝1＋c2，ac＝2， ∴a＝2. (2)证明　由(1)知，椭圆的方程为＋y2＝1， 设点P(m，－2)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 易知A(0，1)，B(0，－1)， 当m≠0时， 直线PA的方程为y＝－x＋1， 直线PB的方程为y＝－x－1， 联立 得x2－x＝0. 解得xC＝，yC＝， 同理可得xD＝， yD＝， ∴kCD＝， ∴直线CD的方程为 y－， 整理得y＝x－. ∴直线CD恒过定点. 当m＝0时，直线CD的方程为x＝0，也过点， 综上所述，直线CD恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $