第6章 §5 正态分布(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦正态分布核心知识点，先通过离散型随机变量取值特点的回顾，对比引出连续型随机变量概念，进而系统讲解正态分布密度函数、正态曲线的对称性和峰值等性质，明确参数μ（均值）和σ（标准差）的意义，以及3σ原则的概率应用，构建从已知到未知的学习支架。 资料通过思考辨析深化概念理解，结合正态曲线图象分析、概率计算例题及实际应用案例（如零件尺寸、考试成绩统计），培养学生逻辑推理（对称性推导）和数学运算（参数求解、概率计算）素养。课中助力教师引导学生直观理解，课后分层作业帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

§5　正态分布 学习任务 核心素养 1．了解连续型随机变量的概念以及连续型随机变量的分布密度函数．(重点) 2．认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．(重点) 1．通过对正态分布的学习，培养逻辑推理素养． 2．借助对正态曲线的应用，培养数学运算素养． 1．离散型随机变量的取值有何特点？如何刻画离散型随机变量取值的分布规律？ 2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？ 1．正态分布 在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间应分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X的分布密度函数．由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象，对应的分布密度函数解析式为 φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)， 其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线． 它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布． 2．正态曲线满足的性质 (1)正态曲线有如下性质 ①曲线在x轴的上方，与x轴不相交． ②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称． ③曲线的最高点位于x＝μ处． ④当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线． (2)正态曲线的特点 ①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． ②当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中． (3)3σ原则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4． 正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？ [提示]　μ表示随机变量的平均水平，σ是衡量随机变量的总体波动大小． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与标准差． (　　) (2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的． (　　) (3)正态曲线可以关于y轴对称． (　　) (4)正态曲线的“高瘦”与“矮胖”只与σ的大小有关． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X＞c)，则c＝(　　) A．0　　　　 B．σ　　 C．－μ　　　 D．μ [答案]　D 3．已知正态分布密度函数为f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________． [答案]　0　 4．一台机床生产一种尺寸为10 mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y服从正态分布，则正态分布密度函数解析式为________． φ(x)＝x∈R　[由题意得μ＝(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10，σ2＝[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03，即μ＝10，σ2＝0.03．所以Y的正态分布密度函数的解析式为φ(x)＝x∈R．] 类型1　正态曲线 【例1】　如图是一条正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度曲线的函数解析式，求出总体随机变量的均值和方差． [思路点拨]　给出一条正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式． [解]　从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为， 所以μ＝20，＝，解得σ＝． 于是正态分布密度曲线的函数解析式为 φμ，σ(x)＝x∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2． 　1．用待定系数法求正态分布密度曲线的函数表达式，关键是确定参数μ与σ的值． 2．当x＝μ时，正态分布密度函数取得最大值，即f(μ)＝，注意该式在解题中的运用． [跟进训练] 1．如图是σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　) A．σ1>1>σ2>σ3>0　　　　 B．0<σ1<σ2<1<σ3 C．σ1>σ2>1>σ3>0 　 D．0<σ1<σ2＝1<σ3 D　[当μ＝0，σ＝1时，正态分布密度函数φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，当x＝0时，取得最大值，所以σ2＝1，即σ2＝1，由正态曲线的特点知：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮小”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3，故选D．] 类型2　正态分布下的概率计算 【例2】　在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． [思路点拨]　由题意知，正态曲线关于x＝1对称，而区间(0，1)与区间(1，2)关于x＝1对称，故由正态曲线性质得X在区间(0，1)和(1，2)上取值的概率相等． 0.8　[∵X～N(1，σ2)， ∴正态曲线关于x＝1对称． ∴P(1<X<2)＝P(0<X<1)＝0.4． ∴P(0<X<2)＝P(0<X<1)＋P(1<X<2)＝0.4＋0.4＝0.8．] 　1．解答此题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化． 2．正态分布在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (2)利用P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)，P(X<a)＝1－P(X≥a)求解． [跟进训练] 2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)． [解]　∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2． (1)P(－1<ξ≤3)＝P(1－2<ξ≤1＋2)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 6． (2)∵P(3<ξ≤5)＝P(－3<ξ≤－1)， ∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3<ξ≤5)－P(－1<ξ≤3)]＝[P(1－4<ξ≤1＋4)－P(1－2<ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9． (3)∵P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)， ∴P(ξ≥5)＝[1－P(－3<ξ≤5)] ＝[1－P(1－4<ξ≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)] ≈(1－0.954 4)＝0.022 8． 类型3　正态分布的应用 【例3】　设在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数． [思路点拨]　要求及格的人数，即要求出P(90≤X≤150)，而求此概率需将问题化为正态分布中几种特殊值的概率形式，然后利用对称性求解． [解]　∵X～N(110，202)，∴μ＝110，σ＝20， ∴P(110－20<X≤110＋20)≈0.682 6． ∴130<X≤150的概率为×(1－0.682 6)＝0.158 7.90≤X≤150的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3，∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)． 　正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想． [跟进训练] 3．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布X～N(50，102)，求他在(30，60]分内赶到火车站的概率． [解]　∵X～N(50，102)， ∴μ＝50，σ＝10． ∴P(30<X≤60)＝P(30<X≤50)＋P(50<X≤60)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈ ×0.954 4＋×0.682 6＝0.818 5，即他在(30，60]分内赶到火车站的概率是0.818 5． 1．下列变量中，是连续型随机变量的是(　　) A．投掷五枚硬币出现的正面次数 B．某工厂生产的某种零件的长度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之差 D．某人的手机在一周内接到的电话次数 B　[B中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A、C、D中的变量均是离散型随机变量．] 2．在正态分布总体服从N(μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的(　　) A．方差与标准差　　　　 B．期望与方差 C．期望与标准差 D．标准差与期望 C　[由正态分布概念可知C正确．] 3．设随机变量X～N(0，1)，则P(X<0)＝________． 　[由正态分布曲线的对称性知P(X<0)＝．] 4．(源自人教B版教材)假设某个地区高二学生的身高服从正态分布，且均值为170(单位：cm，下同)，标准差为10．在该地区任意抽取一名高二学生，求这名学生的身高： (1)不高于170的概率； (2)在区间[160，180]内的概率； (3)不高于180的概率． [解]　设该学生的身高为X，由题意可知X～N(170，102)． (1)易知P(X≤170)＝0.5． (2)因为均值为170，标准差为10，而160＝170－10，180＝170＋10，所以 P(160≤X≤180)＝P(|X－170|≤10)≈0.682 6． (3)由概率的加法公式可知 P(X≤180)＝P(X<170)＋P(170≤X≤180)． 又由(2)以及正态曲线的对称性可知 P(170≤X≤180)＝P(160≤X≤180)≈×0.682 6＝0.341 3， 因此P(X≤180)＝P(X<170)＋P(170≤X≤180) ≈0.5＋0.341 3＝0.841 3． 1．类比函数的性质，结合正态分布密度曲线的特点掌握正态分布曲线的性质． 2．求正态分布在给定区间上的概率问题时，要将所给区间化为已知其概率的区间． 3．由正态分布的对称性知：若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5． 课时分层作业(四十五)　正态分布 一、选择题 1．设两个正态分布(σ1>0)和(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　) A．μ1<μ2，σ1<σ2　　 B．μ1<μ2，σ1>σ2 C．μ1>μ2，σ1<σ2 　 D．μ1>μ2，σ1>σ2 A　[曲线y＝f(x)关于直线x＝μ对称，显然μ1<μ2，σ越大曲线越“矮胖”，反之，σ越小，曲线越“高瘦”，故σ1<σ2．] 2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X＜1)＝(　　) A．0.021 5　　 B．0.723 C．0.215　　 D．0.64 A　[由EX＝μ＝3，DX＝σ2＝1，∴X～N(3，1)， 又P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝P(0<X≤6)≈0.997 4，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(1<X≤5)≈0.954 4，P(0<X≤6)－P(1<X≤5)＝2P(0<X<1)＝0.043．∴P(0<X<1)＝0.021 5．] 3．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　) A．0.025 　 B．0.050 C．0.950 　 D．0.975 C　[∵ξ～N(0，1)，∴P(ξ<－1.96)＝P(ξ>1.96)＝0.025． ∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950．] 4．设随机变量ξ服从正态分布N(2，9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)，则c＝(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 B　[∵ξ～N(2，9)，P(ξ>c＋1)＝P(ξ<3－c)． 又∵P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，∴3－c＝c－1， ∴c＝2．] 5．某厂生产的零件直径ξ～N(10，0.22)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常 B．上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常 C．上、下午生产情况均是正常 D．上、下午生产情况均出现了异常 A　[3σ原则：(10－3×0.2，10＋3×0.2]，即(9.4，10.6]，9.9∈(9.4，10.6]，9.3∉(9.4，10.6]，所以，上午生产情况未见异常，下午生产情况出现了异常．] 二、填空题 6．设X～N(0，1)，且P(X≤1.623)＝p，那么P(X>1.623)＝________． 1－p　[∵X～N(0，1)，∴μ＝0，∴P(X>1.623)＝1－P(X≤1.623)＝1－p．] 7．随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(2<X≤2.5)＝0.36，则P(X>2.5)＝________． 0.14　[由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.14．] 8．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点． 0.2　[由已知P(X>0.2)＝P(X≤0.2)＝0.5， 所以正态曲线关于x＝0.2对称．由正态曲线性质得x＝μ＝0.2时达到最高点．] 三、解答题 9．设X～N(2，4)，试求下列概率： (1)P(2<X≤4)；(2)P(－2<X≤0)． [解]　(1)P(2<X≤4)＝P(0<X≤4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈×0.682 6＝0.341 3． (2)P(－2<X≤0)＝[P(－2<X≤6)－P(0<X≤4)]＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]≈×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9． 10．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70，100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人． (1)试问此次参赛学生的总人数约为多少？ (2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约有多少人？ 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4． [解]　(1)设参赛学生的成绩为X， 因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10． 则P(X≥90)＝P(X≤50) ＝[1－P(50＜X＜90)] ＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]≈×(1－0.954 4)＝0.022 8，12÷0.022 8≈526(人)． 因此，此次参赛学生的总人数约为526人． (2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60＜X＜80)]＝[1－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]≈×(1－0.682 6)＝0.158 7，526×0.158 7≈83(人)． 因此，此次竞赛成绩为优的学生约有83人． 11．(多选题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(　　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，P(Z<μ＋σ)≈0.841 3) A．P(X>2)>0.2 　 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 　 D．P(Y>2)<0.8 BC　[依题意可知，＝2.1，s2＝0.01， 所以Y～N(2.1，0.12)， 故P(Y>2)＝P(Y>2.1－0.1)＝P(Y<2.1＋0.1)≈0.841 3>0.5，C正确，D错误； 因为X～N(1.8，0.12)， 所以P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)， 因为P(X<1.8＋0.1)≈0.841 3， 所以P(X>1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7<0.2，而P(X>2)＝P(X>1.8＋2×0.1)<P(X>1.8＋0.1)<0.2，B正确，A错误．故选BC．] 12．(多选题)若随机变量ξ～N(0，1)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，下列等式成立有(　　) A．φ(－x)＝1－φ(x) B．φ(2x)＝2－φ(x) C．P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1 D．P(|ξ|＞x)＝2φ(x) AC　[因为随机变量ξ～N(0，1)，所以正态曲线关于ξ＝0对称． 因为φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，根据曲线的对称性可得，φ(－x)＝1－φ(x)，故A正确；因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2－φ(x)＝2－P(ξ≤x)，所以φ(2x)≠2－φ(x)，故B错误；根据图象的对称性可得P(|ξ|＜x)＝2φ(x)－1，故C正确；P(|ξ|＞x)＝2[1－φ(x)]≠2φ(x)，故D错误．故选AC．] 13．若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ>3)＝0.158 7，则P(ξ>2)＝________；P(ξ>1)＝________． 0.5　0.841 3　[∵随机变量ξ～N(2，σ2)，∴正态曲线关于x＝2对称，∴P(ξ>2)＝0.5； ∵P(ξ>3)＝0.158 7，∴P(ξ>1)＝P(ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3．] 14．某投资商制订了两个投资方案，准备选择其中一个．已知这两个投资方案的利润x(万元)分别服从正态分布N(8，32)和N(7，12)．该投资商要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，他应该选择哪一个方案？ 参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4． [解]　①当选择X～N(8，32)的方案时，μ＝8，σ＝3． ∴P(8－3<X≤8＋3)＝P(5<X≤11)≈0.682 6， ∴P(X＞5)＝＋P(5<X<8)＝P(5<X≤11)≈0.5＋0.341 3＝0.841 3． 即选择X～N(8，32)的方案时，利润超过5万元的概率为0.841 3． ②当选择X～N(7，12)的方案时，μ′＝7，σ′＝1． ∴P(7－2×1<X≤7＋2×1)＝P(5<X≤9)＝0.954 4，∴P(X＞5)＝＋P(5<X<7)＝P(5<X≤9)≈0.5＋0.477 2＝0.977 2，即选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率为0.977 2． 综上可得，选择X～N(7，12)的方案时，利润超过5万元的概率大，即投资商应选X～N(7，12)方案． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $