第3章 §2 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算(一)(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

§2　空间向量与向量运算 2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算(一) 学习任务 核心素养 1．了解向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(重点) 2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点、难点) 1．通过对空间向量的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助对空间向量的加法、减法的学习，提升数学运算与直观想象素养． 1．空间中任意两个向量是共面向量吗？任意三个向量呢？ 2．上面的结论，对你学习空间向量有什么启发？ 1．空间向量 (1)定义：在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)长度：向量的大小叫作向量的长度或模． (3)表示法 用有向线段表示，点A叫作向量的起点，点B叫作向量的终点，也可记作a，其模记为或|a|． (4)特殊向量 (5)共线向量：当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量(或平行向量)． 规定：零向量与任意向量平行． 1．向量与向量的长度和方向之间有什么关系？ [提示]　向量与向量长度相等，但方向相反，即＝－． 2．共面向量 (1)共面向量的概念 平行于同一平面的向量，叫作共面向量． (2)三个向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 3．空间向量的加减法与运算律 空间向量的运算 加法 ＝＝a＋b 减法 ＝ 空间向量的加 法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 2．空间向量的减法是否也有交换律与结合律？ [提示]　没有． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同． (　　) (2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不共线． (　　) (3)在空间中，任意两个向量都共面． (　　) (4)＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．两个空间向量a，b互为相反向量，已知|b|＝2，则下列结论不正确的是(　　) A．b＝－a　　 B．|a|＝2 C．a与b方向相反 　 D．a＋b＝0 D　[a＋b等于0，而不是0．] 3．在空间四边形OABC中，＝(　　) A．　　 B． C．　　 D． C　[＝＝．] 4．如图所示，在以长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有________个，模为的向量共有________个． 8　8　[由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个． 由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，共8个．] 类型1　空间向量的有关概念 【例1】　如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′中， (1)与相等的向量有哪些？ (2)与是相反向量吗？ (3)与平行的向量有多少个？ [思路点拨]　根据正六棱柱的结构特征，分析各线段的相互关系，从而得到向量之间的关系． [解]　(1)．(2)是．(3)11个． 　特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1． (3)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们互为相反向量． [跟进训练] 给出下列命题： ①零向量没有确定的方向； ②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝－； ③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反； ④在四边形ABCD中，必有＝． 其中正确命题的序号是________． ①②　[①正确；②正确，因为与的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以＝－；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＝． 综上可知，正确命题为①②．故填①②．] 类型2　空间向量的加减运算 【例2】　【链接教材P101例1】如图所示，已知长方体ABCD-A′B′C′D′．化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果． (1)； (2)． [解]　(1)＝＝＝＝． (2)＝()＋＝＝． 向量如图所示． [母题探究] 1．在本例的条件下，下列各式运算结果为的是(　　) ①；②； ③；④． A．①② 　 B．②③ C．③④ 　 D．①④ A　[①＝＝； ②＝＝； ③＝＝＝≠； ④＝＝≠．故选A．] 2．在本例的条件下，用向量表示向量． [解]　在平行四边形ACC′A′中，由平行四边形法则可得＝，在平行四边形ABCD中，由平行四边形法则可得＝，故＝． 【教材原题·P101例1】 例1　如图3－16(1)，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量． 　 图3－16 (1)； (2)； (3))． [解]　(1)＝ ＝＝； (2)＝ ＝ ＝＝； (3)设点M为CB′的中点，则 ) ＝) ＝＝． 化简后所对应的向量如图3－16(2)． 　1．向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”． 2．灵活应用相反向量可使向量的减法转化为加法． 类型3　空间向量加、减运算的应用 【例3】　在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，求证：＝． [证明]　法一：因为底面ABCD是平行四边形， 所以＝，又＝＝， 所以＝，所以＝． 法二：设点E是平行四边形ABCD对角线的交点(图略)， 则点E分别是对角线AC，BD的中点， 所以＝2＝2， 所以＝． [母题探究] 本例的逆命题是否成立？若成立，给出证明，若不成立，举出反例． [证明]　成立，证明如下： 由＝，得＝， 所以＝，所以底面ABCD是平行四边形． 　求解这类问题，一定要灵活应用向量加法、减法的运算法则，并注意向量的起点和终点． (1)当向量首尾相连求和时，用三角形法则，当两向量起点相同求和时，用平行四边形法则． (2)求两向量的差时，常考虑： ①通过相反向量，把向量减法转化为加法；②通过平移向量，使两向量起点相同，再运用减法的三角形法则． 1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．有不同的方向　　　　 B．有不相等的模 C．不可能是平行向量　　 D．不可能都是零向量 D　[若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．] 2．在空间中，把单位向量的始点放置于同一点，则终点构成的图形是(　　) A．点　　　　 B．直线　 C．圆　　　　 D．球面 D　[由于单位向量的模为单位长度，由球面的定义知：应选D．] 3．在空间四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b＋c 　 B．b－(a＋c) C．a＋b＋c 　 D．b－a＋c A　[＝＝－b＋a＋c＝a－b＋c．] 4．化简()－()＝________． 0　[法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) ()－()＝ ＝ ＝＝0． 法二：(利用向量的减法运算法则求解) ()－() ＝()＋ ＝＝＝0．] 5．如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． (1)； (2)； (3)； (4)． [解]　(1)＝． (2)＝＝． (3)＝＝． (4)＝0． 1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解． 2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算． 3．向量三角不等式 (1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|左侧等号成立的条件是：a，b至少有一个为零向量或a与b反向；右侧等号成立的条件是a，b至少有一个为零向量或a与b同向． (2)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 左侧等号成立的条件与(1)式中右侧等号成立的条件相同，右侧等号成立的条件与(1)式中左侧等号成立的条件相同． 课时分层作业(二十)　从平面向量到空间向量　空间向量的运算(一) 一、选择题 1．在空间中，下列结论正确的是(　　) A．＝　　　　 B．＝ C．＝ 　 　 D．＝ B　[根据空间向量的加减运算可得B正确．] 2．给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为(　　) A．2　　　　 B．3　　 C．4 　　　　 D．5 C　[①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4．] 3．下列等式中，正确的个数为(　　) ①－(－a)＝a；②a＋0＝a；③a＋(－a)＝0；④0－a＝－a． A．1　　 　 B．2　　 C．3　　 　 D．4 D　[根据相反向量的概念知①②③④正确，所以正确的个数为4．故选D．] 4．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 A　[∵2a－b＝2·a＋(－1)·b， ∴2a－b与a，b共面．] 5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＝，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 　 　 B．空间四边形 C．等腰梯形 　 D．矩形 A　[由于＝＝，所以＝，从而||＝||，且AB∥DC， 所以四边形ABCD是平行四边形．] 二、填空题 6．()＋运算的结果是________． 　[()＋＝()＋＝＝．] 7．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中正确的序号是________． ①＝；②＝； ③＝；④＝． ①②③　[＝＝，①正确； ＝＝，②正确； ③显然正确；＝＝，④错误．] 8．给出下列几个命题： ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|． 其中正确命题的序号为________． ③　[对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．] 三、解答题 9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由． (1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则与共线； (2)互为相反向量的向量的模相等； (3)任一向量与它的相反向量不相等． [解]　(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以与一定共线． (2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的． (3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的． 10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简向量表达式： (1)； (2)． [解]　(1)＝＝0． (2)因为＝＝－＝－， 所以原式＝＝0． 11．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　) ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．1个 　 B．2个 C．3个 　 D．4个 C　[如图所示，①＝－＝－，所以＝－是一对相反向量； ②＝＝，而＝，故不是相反向量； ③同①也是正确的； ④＝＝＝－是一对相反向量．] 12．已知向量满足||＝||＋||，则(　　) A．＝　　　 B．＝－ C．与同向　　　 D．与同向 D　[由||＝||＋||＝||＋||知，A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以与同向．] 13．(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝ B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若＝－，且为非零向量，则互为相反向量 D．若互为相反向量，则＝－ ACD　[A正确．B错误，由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合．C正确，＝－，且为非零向量，所以互为相反向量．D正确．] 14．已知|a|＝|b|＝1． (1)|a＋b|的取值范围是________． (2)若|a－b|＝，则|a＋b|＝________． (1)　(2)1　[(1)|a＋b|∈． (2)∵|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2＝4， ∴|a＋b|＝1．] 15．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试在图中画出下列向量表达式所表示的向量． (1)． (2)． [解]　(1)如图所示，＝＝＝． (2)如图所示，＝＝＝＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $