课时分层作业15 抛物线及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(十五) 1．C　[由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2，0)，p＝4．故所求抛物线方程为y2＝8x．] 2．D　[连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．] 3．A　[准线方程l：x＝－3a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋3a＝5．∴a＝． ∴抛物线方程为y2＝8x，故选A．] 4．B　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝⇒p＝2．故选B．] 5．B　[由|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，得，即x1＋x3＝2x2．] 6．y＝3　[依题意p＝6，故准线方程为y＝3．] 7．6　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6．] 8．　[如图，由抛物线定义： |AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|． 又已知直线AB的倾斜角为30°， ∴|BB1|－|AA1|＝(|AF|＋|BF|)， ∴|BF|－|AF|＝(|AF|＋|BF|)， 整理得|BF|＝3|AF|，∴．] 9．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． 法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故 解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 10．C　[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C． 法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6．故选C．] 11．D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为， 椭圆＝1的焦点坐标为(±，0)． 由题意得，∴p＝0(舍去)或p＝8． 故选D．] 12．A　[法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r．由两圆外切，得圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线． 法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0，3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1， ∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1， ∴圆心的轨迹是抛物线．] 13．(1，0)　6　[因为＝0，所以点F(1，0)为△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3，所以||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．] 14．解：(1)设曲线方程为y＝ax2＋，由题意可知，0＝64a＋，∴a＝－． ∴曲线方程为y＝－x2＋． (2)设变轨点为C(x，y)， 联立得4y2－7y－36＝0． ∴y＝4或y＝－(不合题意，舍去)． 由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)． ∴C点的坐标为(6，4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4． 故当观测点A，B测得离航天器的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十五)　抛物线及其标准方程 说明：选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共90分 一、选择题 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝－8x　　 B．y2＝－4x C．y2＝8x 　 D．y2＝4x 2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A．双曲线 　 B．椭圆 C．圆 　 D．抛物线 3．抛物线y2＝12ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x 　 B．y2＝12x C．y2＝16x　 　 D．y2＝20x 4．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 　 B．2 C．2 　 D．4 5．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p＞0)上的三点，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则(　　) A．x1＋x3>2x2 B．x1＋x3＝2x2 C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定 二、填空题 6．抛物线x2＝－12y的准线方程是________． 7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________． 8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________． 三、解答题 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 10．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9 11．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．8 12．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A．抛物线 　 B．双曲线 C．椭圆 　 D．圆 13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则△ABC重心的坐标为________；||＋||＋||＝________． 14．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $