第2章 2.2 双曲线的简单几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦双曲线的简单几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率及渐近线等核心知识点。课堂导入通过类比椭圆性质的研究方法，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识迁移脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合实例（如离心率计算、标准方程求解）培养数学思维与推理能力，通过知识清单和方法归纳系统梳理内容。学生能提升逻辑推理与应用意识，教师可直接使用丰富例题与练习优化教学效率。

2.2 双曲线的简单几何性质 第二章　§2　双曲线 <<< 1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 学习目标 在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质. 导 语 一、双曲线的几何性质 二、由双曲线的几何性质求标准方程 课时对点练 三、求双曲线的离心率 随堂演练 内容索引 双曲线的几何性质 一 提示　由＝1＋y2≥1，得x≤－2或x≥2且y∈R. 已知双曲线C：－y2＝1，类比研究椭圆性质的方法来研究双曲线C的几个性质：(1)范围； 问题1 提示　关于x轴、y轴对称，关于原点对称. (2)对称性； 问题1 提示　顶点：A1(－2，0)，A2(2，0)，实轴长为4. (3)顶点及实轴的长； 问题1 提示　离心率e＝∈(1，＋∞). (4)离心率. 问题1 提示　当P在第一象限时，y＝，x>1， 当x→＋∞时，→1且<1，∴y→且y<，故P在第一象限，当x→＋∞时，点P无限逼近直线y＝x且在直线y＝x的下方.(把直线y＝±x叫作双曲线x2－＝1的渐近线) 如图，我们画出双曲线x2－＝1的图象，点P(x，y)在双曲线上且在第一象限，当x→＋∞时，点P是否无限逼近直线y＝x，并指出点P与直线y＝x的位置关系？ 问题2 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形     知识梳理 性质 范围 ______________ ______________ 对称性 对称轴：　　　　；对称中心：_____ 轴长 实轴长：线段A1A2的长度；虚轴长：线段B1B2的长度 顶点坐标 ____________________ ____________________ 渐近线 __________ _________ 离心率 e＝ ，e∈ ，其中c＝ x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±x y＝±x (1，＋∞) (1)B1(0，－b)，B2(0，b)或B1(－b，0)，B2(b，0)不是双曲线上的点，不能称为顶点. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大. (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置. (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.为了便于研究，方程一般写为x2－y2＝m(m≠0). 注 意 点 <<< 11 　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 例 1 12 将9y2－4x2＝－36化为标准方程为＝1， 即＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 因此顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)， 焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. 解 13 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 延伸探究 14 把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为＝1(m>0，n>0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 解 15 由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值. (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质. 反 思 感 悟 16 二 由双曲线的几何性质求标准方程 　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)； 例 2 18 设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0). ∵e＝， ∴e2＝＝1＋， ∴. 由题意得 ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 解 19 (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3). 20 方法一　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则. ① ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ② ①②联立，无解. 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则. ③ 解 21 ∵点A(2，－3)在双曲线上，∴＝1. ④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 方法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2 ＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为＝1. 解 22 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式. (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0). ②渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程可设为A2x2－B2y2＝λ(λ≠0). 反 思 感 悟 23 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线＝1有共同渐近线，且过点(－3，2)； 跟踪训练 1 设所求双曲线方程为＝λ(λ∈R，且λ≠0)， 由题意可知＝λ，解得λ＝. 所以所求双曲线的标准方程为＝1. 解 24 (2)过点(6，0)，与双曲线＝1的离心率相等. 当所求双曲线的焦点在x轴上时， 可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(6，0)的坐标代入方程得λ＝2， 故所求双曲线的标准方程为＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 可设其方程为＝λ(λ>0)， 将点(6，0)的坐标代入方程得λ＝－4<0(舍去). 综上可知，所求双曲线的标准方程为＝1. 解 25 求双曲线的离心率 三 (1)(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 A.4 B.3 C.2 D. √ 例 3 设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)， 则|F1F2|＝2c＝8， |PF1|＝＝10， |PF2|＝＝6， 则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4， 则e＝＝2. 解析 27 (2)已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是 A. B. C. D. √ 由双曲线＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0，5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝2，可得e＝. 解析 28 求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解. (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程p·e2＋q·e＋r＝0求解. 反 思 感 悟 29 已知F1，F2是双曲线＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率. 跟踪训练 2 30 设F1(c，0)，将x＝c代入双曲线的方程得＝1，那么y＝±. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0， 所以－2×－1＝0， 即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. 解 31 1.知识清单： (1)双曲线的几何性质. (2)由双曲线几何性质求标准方程. (3)双曲线的离心率. 2.方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法. 3.常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.双曲线＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于 A.6 B.8 C.9 D.10 √ 由已知得左焦点的坐标为(－5，0)，右顶点的坐标为(3，0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8. 解析 1 2 3 4 2.(多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则 A.实轴长为8 B.虚轴长为4 C.渐近线方程为y＝±2x D.离心率为 √ √ √ 双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为＝1，可得a＝4，b＝2， c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，渐近线方程为y＝±x，离心率为. 解析 1 2 3 4 3.中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是 A.x2－y2＝8 B.x2－y2＝4 C.y2－x2＝8 D.y2－x2＝4 √ 令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，即双曲线方程为x2－y2＝8. 解析 1 2 3 4 4.已知F1，F2是双曲线C：＝1(b>0)的两个焦点，点A(x0，4)(x0>0)在双曲线C上，且△F1AF2的面积为20， 则双曲线C的离心率e＝　　　　. 因为△F1AF2的面积为20， 所以·|F1F2|·4＝×2×c×4＝20⇒c＝5， 所以e＝. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A A B AD C 4x±3y＝0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 ＝1 D AB AB 32 －1　2 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81， 双曲线方程为＝1. 故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为＝1. (3)设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，1)，则λ＝3， ∴所求双曲线方程为＝1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l的方程为+＝1， 即bx+ay－ab＝0， 于是有c， 即4ab＝c2， 两边平方得16a2b2＝3c4， 所以16a2(c2－a2)＝3c4， 即3c4－16a2c2+16a4＝0， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即3e4－16e2+16＝0， 解得e2＝4或e2＝， 因为b>a>0，所以>1， e2＝＝1+>2， 故e2＝4，所以e＝2. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0， 所以<1， 从而tan，tan θ＝＝4. (2)设P(xP，yP)，则由条件知， xP＝|PB|－|PA|)+|PA| ＝|PB|+|PA|)＝3， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 yP＝|PC|+|PD|)－|PC|＝|PD|－|PC|)＝1， 即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)， 代入双曲线方程得 解得 故双曲线Γ的方程为＝1. 基础巩固 1.已知双曲线＝1(a>0)的右焦点为(3，0)，则双曲线的离心率等于 A. B. C. D. √ 由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.与双曲线x2－＝1有相同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.y2－＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 依题意设双曲线的方程为x2－＝λ(λ≠0)， 将点(2，2)代入求得λ＝3， 所以所求双曲线的标准方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.双曲线－y2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为 A. B. C. D.1 双曲线－y2＝1的右顶点为(2，0)， 渐近线方程为x±2y＝0， 则点(2，0)到直线x±2y＝0的距离 d＝. 解析 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝4∶6∶5，则该双曲线的离心率为 A.2 B. C. D.5 √ e＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)若双曲线C的一个焦点为F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线 方程为y＝±x，则下列结论正确的是 A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线C的一个焦点为F(5，0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5， 焦点在x轴上， 所以， 因为c＝5，c2＝a2＋b2，所以b＝4，a＝3， 所以C的方程为＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知双曲线C：＝1(m>0)的焦点为F1，F2，虚轴上端点为A，若∠F1AF2＝，则m等于 A. B. C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 由题意知，a2＝m2＋1，b2＝m2， 则c2＝a2＋b2＝2m2＋1， 因为A是双曲线的虚轴上端点，且m>0， 所以A(0，m)， 又因为∠F1AF2＝， 所以tan∠AF1O＝tan∠AF2O＝， 即，解得 m＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为　　　　 　. 4x±3y＝0 由椭圆＝1知，长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3， 0)，(3，0)， 由此可知，双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)， 顶点为(－3，0)，(3，0)， ∴双曲线方程为＝1， ∴渐近线方程为4x±3y＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒 数，则该双曲线的方程为　　　　　 . ＝1 椭圆4x2＋y2＝64可变形为＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0，4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c'＝4，e'＝， 从而a'＝6，b'＝2.双曲线的方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6； 设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81， 双曲线方程为＝1. 故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)一个焦点为(0，13)，且离心率为； 依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)过点(2，1)的等轴双曲线. 设等轴双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2，1)，则λ＝3， ∴所求双曲线方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设双曲线＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点.已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0， 于是有c，即4ab＝c2， 两边平方得16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 即3c4－16a2c2＋16a4＝0， 即3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝， 因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2， 故e2＝4，所以e＝2. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知双曲线C：x2－2y2＝λ(λ≠0)，则其离心率为 A. B. C. D.或 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当λ>0时，原方程化为＝1， 此时a2＝λ，b2＝，c2＝a2＋b2＝， 由e2＝，可得e＝； 当λ<0时，原方程化为＝1， 此时a2＝－，b2＝－λ，c2＝a2＋b2＝－， e2＝＝3，可得e＝. ∴其离心率为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知曲线C：＝1，下列说法不正确的是 A.当m<2时该曲线为双曲线 B.m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件 C.若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上 D.若该曲线的离心率为，则m＝或m＝－ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，若曲线C为双曲线， 则即m<2且m≠0，故A不正确； 若该曲线为等轴双曲线，方程可化为＝1， 则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确； ∵m2>0，故C正确； e＝，∴＝7，即6m2＋m－2＝0， 解得m＝或m＝－，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D. √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况. 当双曲线的焦点在x轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为60°，如图1所示；若其中一条渐近线的倾斜角为30°，如图2所示. 解析 所以双曲线的一条渐近线的斜率k＝或k＝， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即. 又b2＝c2－a2，所以＝3或， 所以e2＝4或e2＝，所以e＝2或e＝. 同理，当双曲线的焦点在y轴上时，则，亦可得到e＝或e＝2. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　根据方法一，得当双曲线的焦点在 x轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°， 则离心率e＝或2. 当双曲线的焦点在y轴上时，渐近线的倾斜角θ为30°或60°，则离心 率e＝＝2或. 综上可得，双曲线的离心率为2或. 解析 14.已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，得双曲线C：＝1的左焦点F(－，0)， 所以点A(，0)是双曲线的右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，虚轴长为6，所以|PQ|＝12，双曲线图象如图所示. |PF|－|PA|＝2a＝4， ① |QF|－|QA|＝2a＝4， ② ①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝8， 所以△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ| ＝8＋2|PQ|＝32. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知椭圆M：＝1(a>b>0)，双曲线N：＝1(m>0，n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆M的离心率为　　　　；双曲线N的离心率为　　　　. －1 2 椭圆、双曲线都关于x轴、y轴对称，所以只需考虑 第一象限内的情况. 记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点 为P，椭圆左焦点为Q，右焦点为F，连接PQ，如图. 由题意知，△OPF为正三角形，边长设为2，则高为， 所以椭圆的半焦距为2，2a＝|PQ|＋|PF|＝2＋2，a＝＋1，椭圆M 的离心率为－1. 双曲线N的一条渐近线斜率为＝tan 60°＝，e2＝＝1＋＝4， 所以双曲线N的离心率为2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知双曲线Γ：＝1(a>0，b>0)的左、 右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，弦 AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延 长线与弦CD相交于点P. (1)若d＝(2，)是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两条渐近线的夹角θ的正切值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线＝1的渐近线方程为 y＝±x，即bx±ay＝0，所以<1， 从而tan，tan θ＝＝4. 解 (2)若|PA|＝1，|PB|＝5，|PC|＝2，|PD|＝4，试求双曲线Γ的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(xP，yP)，则由条件知， xP＝(|PB|－|PA|)＋|PA|＝(|PB|＋|PA|)＝3， yP＝(|PC|＋|PD|)－|PC|＝(|PD|－|PC|)＝1， 即P(3，1)，所以A(2，1)，C(3，3)， 代入双曲线方程得 故双曲线Γ的方程为＝1. 解 第二章　§2　双曲线 <<< $