课时分层作业11 椭圆及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(十一) 1．D　[由于椭圆的焦点在x轴上，所以解得a>3或－6<a<－2，故选D．] 2．B　[若|MA|＋|MB|为定值，只有定值大于|AB|时，点M轨迹才是椭圆，故p为q的必要不充分条件．] 3．C　[由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．] 4．A　[椭圆焦点在x轴上，∴a2＝10－m，b2＝m－2．又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4，∴m＝4．] 5．B　[若＝1表示椭圆， 则有∴2<m<6且m≠4． 故“2<m<6”是“＝1表示椭圆”的必要不充分条件．] 6．(0，－)，(0，)　[方程可化为＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝， 所以，其焦点坐标为(0，－)，(0，)．] 7．8　[根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8．] 8．5　[易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B'，则B'(0，1)，如图，连接PB'，AB'，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB'|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB'|，因此，|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB'|)＝4＋|PA|－|PB'|≤4＋|AB'|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB'的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5．] 9．解：由已知a＝2，b＝，所以c＝＝1， |F1F2|＝2c＝2，在△PF1F2中，由余弦定理得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|．② 将②代入①解得|PF1|＝， 所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝． 10．解：设动圆M和定圆B内切于点C， 由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径， ∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝6，b＝， ∴M的轨迹方程是＝1． 11．C　[由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为4a＝4(F是椭圆的另外一个焦点)．] 12．CD　[对于A，当1<k<4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误： 对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误： 对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 则解得2.5<k<4， 所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件，所以C正确： 对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 则解得1<k<2.5，所以D正确．] 13．ACD　[设椭圆的左焦点为F'，则|AF'|＝|BF|， ∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF'|＝6为定值，A正确： △ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|， ∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误： 将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又∵F(，0)，∴＝＝0，∴AF⊥BF， ∴△ABF为直角三角形，C正确； 将y＝1与椭圆方程联立， 解得A(－，1)，B(，1)， ∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．] 14．2　120°　[由题意知a＝3，b＝，c＝． 由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6． ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2． 又∵|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理可得 cos∠F1PF2＝－，∴∠F1PF2＝120°．] 15．解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝，即|F1F2|＝2， 又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝4， 当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4． (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由得x0＝，y0＝－． 又＝1，所以＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，因为点C异于B点， 所以λ＝－7． (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(十一)　椭圆及其标准方程 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共107分 一、选择题 1．如果方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞)　　 B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 2．平面内有一个动点M及两定点A，B．设p：|MA|＋|MB|为定值，q：点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．那么(　　) A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13　 　 B．12　 　 　 C．9　 　 D．6 4．已知椭圆＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　) A．4 　 B．5 C．7 　 D．8 5．“2<m<6”是“方程＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 6．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为________． 7．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________． 8．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为________． 三、解答题 9．已知椭圆的方程为＝1，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A．2　　　 B．6　 C．4　　　 D．12 12．(多选题)对于曲线C：＝1，下面说法正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1<k<4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3<k<4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<2.5”的充要条件 13．(多选题)设椭圆＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 14．椭圆＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________． 15．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $