第2章 §3 3.2 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质这一核心知识点，系统梳理范围、对称轴、顶点、离心率等性质，类比椭圆双曲线引入，通过方程推导性质，结合焦半径、焦点弦及最值问题例题，形成“定义-性质-应用”知识链，辅以性质对比表格、思路点拨及跟进训练作为学习支架。 该资料以问题驱动设计开篇思考，通过分层例题、跟进训练及课时作业实现梯度教学，融入圆锥曲线光学性质拓展。借助数形结合提升直观想象，如例3利用定义转化距离求最值，通过逻辑推理分析正三角形对称性，强化数学运算能力，课中助力教师高效授课，课后分层作业帮助学生查漏补缺。

3.2　抛物线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的简单几何性质．(重点) 2．能利用方程及数形结合思想解决焦半径、焦点弦等问题．(难点) 1．通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养． 2．通过对抛物线的焦半径和焦点弦以及抛物线最值问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养． 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)． 1．如何判断抛物线C的对称性？ 2．类比椭圆、双曲线范围的求法，在抛物线C：y2＝2px(p＞0)的方程中，求x，y的范围． 1．抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0，0) 离心率 e＝1 2．过焦点的弦 若直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 (1)抛物线的焦半径|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋； (2)过焦点的弦|AB|＝x1＋x2＋p； (3)当直线AB垂直于抛物线的对称轴时，弦AB叫作抛物线的通径，它的长为2p，通径是过焦点最短的弦． 抛物线上的点到焦点的最短距离是多少？ [提示]　抛物线上的点到焦点的最短距离就是抛物线的顶点到焦点的距离． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形． (　　) (2)抛物线只有一个焦点． (　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同． (　　) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫作抛物线的通径，那么抛物线y2＝2px(p>0)的通径长为2p． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝±3y　　　　　 B．y2＝±6x C．x2＝±12y 　 D．x2＝±6y [答案]　C 3．抛物线x2＝2py(p>0)的对称轴为________． [答案]　y轴 4．抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标为________． (3，－2)或(3，2)　[设P(x，y)为抛物线上一点，F为焦点，由|PF|＝x＋2＝5，得x＝3， 把x＝3代入y2＝8x，得y＝±2， 所以抛物线y2＝8x上到其焦点距离为5的点的坐标为(3，－2)或(3，2)．] 类型1　抛物线几何性质的应用 【例1】　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长． [思路点拨]　正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长． [解]　设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则＝＝2px2． 由|OA|＝|OB|，得＝，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1． ∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0． ∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2． 由此可知|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称， ∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴＝tan 30°＝． ∵x1＝，∴y1＝2p，|AB|＝2y1＝4p． ∴这个正三角形的边长为4p． 　抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为． [跟进训练] 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________． y2＝3x或y2＝－3x　[根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)， 设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)， 则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x．] 类型2　与焦半径、焦点弦有关的问题 【例2】　已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝9，则该抛物线的方程为________． y2＝8x　[设直线AB的方程为y＝2， 联立化简得4x2－5px＋p2＝0， ∴x1＋x2＝，∵|AB|＝9＝x1＋x2＋p，∴＋p＝9，∴p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x．] 　焦点弦和焦半径问题 涉及抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径及焦点弦问题时，可以利用公式解决．设过焦点F的直线与抛物线的交点为A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： (1)|AF|＝x1＋； (2)|AB|＝x1＋x2＋p； (3)＝． [跟进训练] 2．直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程． [解]　因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)， 若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1， 此时|AB|＝4，不符合题意， 所以可设所求直线l的方程为y＝k(x－1)， 由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则由根与系数的关系，得x1＋x2＝． 又AB过焦点，由抛物线的定义可知|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，所以＝6，解得k＝±1． 所以所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0． 类型3　抛物线中的最值问题 【例3】　已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． [思路点拨]　利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离． [解]　由抛物线定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d． 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±． ∵＞2，∴点A在抛物线内部． 由图可知，当PA⊥l于点Q时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．∴此时点P坐标为(2，2)． 　1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解． 2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值． [跟进训练] 3．(1)已知M为抛物线y2＝4x上的一个动点，求M到点A(0，2)的距离与M到该抛物线准线的距离之和的最小值； (2)在抛物线y＝－x2上求一点，使它到直线4x＋3y－8＝0的距离最小． [解]　(1)M到准线的距离等于M到焦点的距离|MF|，显然当A，M，F三点共线时，|MA|＋|MF|最小，最小值为|AF|， 又A(0，2)，F(1，0)， ∴|AF|＝． 故所求最小值为． (2)设抛物线y＝－x2上一点为P(m，－m2)，该点到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝， 当m＝时，d取得最小值为， 此时P为所求的点． 1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　) A．(6，＋∞)　　　　　 B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) 　 D．[3，＋∞) D　[∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3．又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．] 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝1 　 B．x＝－1 C．x＝2 　 D．x＝－2 B　[抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．] 3．已知圆(x－2)2＋y2＝16与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________． 4　[由题意，抛物线的准线方程为x＝－，则圆心(2，0)到准线的距离d＝2＋＝4， 解得p＝4．] 4．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________． 2　[设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2．故满足条件的点的个数为2．] 5．(源自人教A版教材)斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [解]　由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB． 由抛物线的定义，可知|AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1， 于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2． 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1．① 将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x， 化简得x2－6x＋1＝0． 所以x1＋x2＝6， |AB|＝x1＋x2＋2＝8． 所以线段AB的长是8． 1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心． 2．抛物线上一点与焦点F的连线叫作焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋． 3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用． 圆锥曲线的光学性质 你知道吗？椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都具有令人惊奇的光学性质，而且这些光学性质都与它们的焦点有关． 从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经反射后都通过椭圆的另一个焦点，如图1所示． 图1 从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图2所示． 　　　 图2　　　　　　　　图3 从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴，如图3所示． 具体而言，在图3中，F为抛物线的焦点，设M是抛物线上一点，AM是抛物线的切线，MB⊥MA，设光线FM在M处反射后的光线是MC(即∠FMB＝∠BMC)，则可以证明，MC是平行于x轴的． 事实上，为了证明这个结论，我们只需证明直线MF的倾斜角是AM的倾斜角的两倍即可，设抛物线的方程为y2＝2px，且M(x0，y0)，则可以算得直线AM的斜率为，直线FM的斜率为，根据这两者之间的关系以及正切的倍角公式就可以得到结论． 圆锥曲线的这些光学性质，在日常生活和科学研究中有着广泛的应用．例如，物理学中的凹凸透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，2016年9月25日落成启用的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面． 类似的应用还有很多，感兴趣的同学请利用网络进行搜索吧！ 课时分层作业(十六)　抛物线的简单几何性质 一、选择题 1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线(　　) A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 B　[由抛物线性质知|AB|＝5＋2＝7，∵当线段AB与x轴垂直时，|AB|min＝4，∴这样的直线有两条．] 2．抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为(　　) A．3　　 B．6　　 C．　　 D． C　[将方程化为标准形式是x2＝y，则p＝． 设M是抛物线y＝12x2上的一点，则＝y0＋＝，当且仅当y0＝0时，取等号，故抛物线y＝12x2上的点到焦点F的距离的最小值为．] 3．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐标原点，则△OAF的面积为(　　) A．2　　　 B．　 C．2　　　 D．4 A　[根据题意，抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，设A(m，n)，则|AF|＝n＋1＝5，所以n＝4，因为A为C上一点，则m2＝4n，m＝±4． 所以S△OAF＝×1×4＝2．故选A．] 4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为60°，则的值为(　　) A．2 　 B．3 C． 　 D． B　[由题意知F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1>x2)，因为直线l的倾斜角为60°，所以直线的斜率为， 则直线l的方程为y＝(x－1)， 联立可得3x2－10x＋3＝0， 解得x1＝3，x2＝． 由抛物线的定义可得|AF|＝x1＋1＝4，|BF|＝x2＋1＝，则＝3，故选B．] 5．已知点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是(　　) A．x－p＝0 　 B．4x－3p＝0 C．2x－5p＝0 　 D．2x－3p＝0 C　[如图所示，∵F为△AOB的垂心，F为焦点， |OA|＝|OB|，∴OF垂直平分线段AB， ∴直线AB垂直于x轴． 设A(2pt2，2pt)， B(2pt2，－2pt)，其中t>0． ∵F为垂心，∴OB⊥AF， ∴kOB·kAF＝－1， 即＝－1，解得t2＝， ∴直线AB的方程为x＝2pt2＝p， 即2x－5p＝0．故选C．] 二、填空题 6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________． 8　[|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．] 7．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________． 　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，∴x1＋x2＝4－＝，∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＝＝．] 8．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________． 5　4　[由题意得点F(1，0)，设点M(x，±2)， 则|FM|＝＝6，解得x＝5(x＝－7舍去)． 易得点N(5，0)，从而S△FMN＝(xN－xF)·|MN|＝×4×2＝4．] 三、解答题 9．在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． [解]　法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则点P到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝＝， 当y0＝1时，dmin＝，∴P． 法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0， 由得y2－2y＋2m＝0， ∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝． ∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为． 10．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程． [解]　过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足分别为A′，D，则|BF|＝|BD|， 又2|BF|＝|BC|， ∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°． 又|AF|＝3，∴|AA′|＝3， |AC|＝6，|FC|＝3． ∴F到准线距离p＝|FC|＝．∴y2＝3x． 11．设AB为过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　) A． 　 B．p C．2p 　 D．无法确定 C　[当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB即为抛物线的通径，长度等于2p．] 12．有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图中所示的方法进行折叠，使折叠后的点B落在边AD上，此时将B记为B′(注：图中EF为折痕，点F也可能落在边CD上)．过点B′ 作B′T∥CD交EF于点T，则点T的轨迹是以下哪种曲线的一部分(　　) A．圆 　 B．抛物线 C．椭圆 　 D．双曲线 B　[由于B′T∥CD，故B′T⊥AD，连接TB(图略)，由折叠关系，知|B′T|＝|TB|，即动点T到直线AD 的距离等于到定点B的距离．由抛物线的定义，知动点T的轨迹是以B为焦点，以AD为准线的抛物线在矩形ABCD内的部分．故选B．] 13．(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是(　　) A． 　 B． C． 　 D． AC　[设l为抛物线C的准线，如图，作AH⊥l于点H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于点E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos ∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为． ] 14．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为________． x＝－　[法一：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan ∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－． 法二：由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－．] 15．已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点． [证明]　设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－x， 由题意知k≠0． 由解得或 即点A的坐标为，同样由 解得点B的坐标为(2k2，－2k)． 故AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)， 化简并整理，得y＝x－2． 不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0．故直线过定点P(2，0)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $