第2章 §3 3.1 抛物线及其标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 学习任务 核心素养 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．理解p的几何意义，并能求简单的抛物线的标准方程．(难点) 1．通过对抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养． 2．借助于对标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养． 抛物线这个几何对象，我们并不陌生． 例如，从物理学中我们知道，一个向上斜抛的乒乓球，其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示；二次函数的图象是一条抛物线；等等． 到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？ 1．抛物线的有关概念 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合表示 P＝{M||MF|＝d}，d为点M到直线l的距离 1．抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么动点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 2．抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中，p的几何意义是什么？ [提示]　焦点到准线的距离． 3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示]　一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上．若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的集合(轨迹)一定是抛物线． (　　) (2)抛物线x2＝－2y的焦点到准线的距离是1． (　　) (3)抛物线y＝－2x2的准线方程是y＝． (　　) (4)若P是抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点，则＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．抛物线y2＝4x的焦点坐标是(　　) A．(0，2)　　 B．(0，1) C．(2，0) 　 D．(1，0) D　[∵y2＝4x，∴焦点F(1，0)．] 3．抛物线y2＝2px(p＞0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________． 　[y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝．] 4．顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为________． y2＝－x或x2＝y　[当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程是y2＝kx，代入点P(－2，3)，解得k＝－， 当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程是x2＝my，代入点P(－2，3)，解得m＝， 所以抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝y．] 类型1　抛物线的定义 【例1】　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A．　　　　 B．1　　 C．　　　　 D． C　[如图，过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，所以|MN|＝． 由抛物线的定义知|AD|＋|BC|＝|AF|＋|BF|＝3，所以|MN|＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为＝，故选C．] 　1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离． 2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化． [跟进训练] 1．(1)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　) A．4 　 B．8 C．8 　 D．16 (2)动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　) A．椭圆 　 B．双曲线 C．抛物线 　 D．以上都不对 (1)B　(2)C　[(1)如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°． 又AP∥MF，所以∠PAF＝60°．又|PA|＝|PF|， 所以△APF为等边三角形． 故|PF|＝|AF|＝2|MF|＝2p＝8． (2)由已知得，＝，即动点M到坐标原点的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，根据抛物线的定义知，动点M的轨迹是抛物线．] 类型2　抛物线的标准方程 　求抛物线的焦点坐标或准线方程 【例2】　【链接教材P71例2】 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y2＝40x；(2)4x2＝y；(3)6y2＋11x＝0． [解]　(1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x＝－10． (2)由4x2＝y得x2＝y． ∵2p＝，∴p＝． ∴焦点坐标为，准线方程为y＝－． (3)由6y2＋11x＝0，得y2＝－x， 故焦点坐标为，准线方程为x＝． 【教材原题·P71例2】 例2　已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离为，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程． [解]　因为抛物线的焦点到准线的距离p＝，所以所求抛物线的标准方程为y2＝x，其焦点坐标为，准线方程是x＝－． 　求抛物线的标准方程 【例3】　求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)过点(－3，2)； (2)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3． [解]　(1)设所求的抛物线方程为y2＝－2p1x(p1＞0)或x2＝2p2y(p2＞0)，∵过点(－3，2)，∴4＝×(－3)或9＝2p2×2． ∴p1＝或p2＝． 故所求的抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝y． (2)由题意设抛物线标准方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)且p＝3， ∴抛物线标准方程为x2＝6y或x2＝－6y． 　1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程． 2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)． [跟进训练] 2．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则点A到C的准线的距离为________． 　[将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－，所以点A到准线的距离为1－＝．] 类型3　抛物线的实际应用 【例4】　某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ [解]　如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系． 因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)． 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p＞0)， 则102＝－2p×(－2)，所以p＝25， 所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2． 若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28， 即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)， 此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，所以无法通行． 又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1 050(吨)， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔． 　1．解答此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题． 2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用． [跟进训练] 3．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，从桥的一端开始每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长． [解]　如图，建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． 依题意知，点P(10，－4)在抛物线上，∴100＝－2p×(－4)，2p＝25．即抛物线方程为x2＝－25y．∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2，2，6．由图知，AB是最长的支柱之一，设点B的坐标为(2，yB)，代入x2＝－25y，得yB＝－． ∴|AB|＝4－＝3.84，即最长支柱的长为3.84米． 1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　) A．　　　 B．－　 C．8　　　 D．－8 B　[由y＝ax2，得x2＝y，所以＝－2， 即a＝－．] 2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－12y 　 B．x2＝12y C．y2＝－12x 　 D．y2＝12x A　[由题意知＝3，∴p＝6，∴x2＝－12y．] 3．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且AM＝，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则点P的轨迹是(　　) A．抛物线 　 B．双曲线 C．直线 　 D．以上都不对 A　[作PF⊥AD于点F，则PF⊥平面ADD1A1，作FE⊥A1D1于点E，则PE⊥A1D1． 由勾股定理得|PF|2＝|PE|2－|EF|2＝(|PM|2＋1)－1＝|PM|2， ∴|PF|＝|PM|． 由抛物线定义知，点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．] 4．抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________． 2　[由已知得p＝2，∴该抛物线的焦点到准线的距离为2．] 5．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)． [解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y． (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y． (3)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝． 所以所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y． 1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－． 2．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化． 课时分层作业(十五)　抛物线及其标准方程 一、选择题 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝－8x　　 B．y2＝－4x C．y2＝8x 　 D．y2＝4x C　[由准线方程x＝－2，顶点在原点，可得抛物线焦点为F(2，0)，p＝4．故所求抛物线方程为y2＝8x．] 2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A．双曲线 　 B．椭圆 C．圆 　 D．抛物线 D　[连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此，点M的轨迹是抛物线．故选D．] 3．抛物线y2＝12ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝8x 　 B．y2＝12x C．y2＝16x　 　 D．y2＝20x A　[准线方程l：x＝－3a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋3a＝5．∴a＝． ∴抛物线方程为y2＝8x，故选A．] 4．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 　 B．2 C．2 　 D．4 B　[抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝⇒p＝2．故选B．] 5．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p＞0)上的三点，点F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则(　　) A．x1＋x3>2x2 B．x1＋x3＝2x2 C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定 B　[由|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，得＝2，即x1＋x3＝2x2．] 二、填空题 6．抛物线x2＝－12y的准线方程是________． y＝3　[依题意p＝6，故准线方程为y＝3．] 7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________． 6　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6． ] 8．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________． 　[如图，由抛物线定义： |AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|． 又已知直线AB的倾斜角为30°， ∴|BB1|－|AA1|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)， ∴|BF|－|AF|＝(|AF|＋|BF|)， 整理得|BF|＝3|AF|，∴＝．] 三、解答题 9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． [解]　法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋＝5， 即p＝4．所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2． 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2． 法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F． ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， 故解得 ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2． 10．已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝(　　) A．2　　　B．3　　　C．6　　　D．9 C　[法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以＝18p．又点A到焦点的距离为12，所以＝12，所以＋18p＝122，即p2＋36p－252＝0，解得p＝－42(舍去)或p＝6．故选C． 法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以＝12－9，解得p＝6．故选C．] 11．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＝1的一个焦点，则p＝(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．8 D　[抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为， 椭圆＝1的焦点坐标为(±，0)． 由题意得＝，∴p＝0(舍去)或p＝8． 故选D．] 12．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心的轨迹为(　　) A．抛物线 　 B．双曲线 C．椭圆 　 D．圆 A　[法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r．由两圆外切，得圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线． 法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0，3)，由题意得|CA|＝r＋1＝y＋1， ∴＝y＋1，化简得y＝x2＋1， ∴圆心的轨迹是抛物线．] 13．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＝0，则△ABC重心的坐标为________；||＋||＋||＝________． (1，0)　6　[因为＝0，所以点F(1，0)为△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．] 14．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)．观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器． (1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ [解]　(1)设曲线方程为y＝ax2＋，由题意可知，0＝64a＋，∴a＝－． ∴曲线方程为y＝－x2＋． (2)设变轨点为C(x，y)， 联立得4y2－7y－36＝0． ∴y＝4或y＝－(不合题意，舍去)． 由y＝4得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)． ∴C点的坐标为(6，4)，此时|AC|＝2，|BC|＝4． 故当观测点A，B测得离航天器的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $