2.3.1 抛物线及其标准方程-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

051 课堂检测 固双基 1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是 ( A.2 B.2√2 ）5卫知双曲线C-苦=1 C.4 D.4√2 (1)求与双曲线C有相同的焦点，且过点 2已知双曲线c6 -。=1的焦距为45，则C P(4,√3)的双曲线C2的标准方程； (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条 的渐近线方程是 ( 渐近线于A,B两点，当OA·OB=3时，求实数 A.y=±x B.y=±√5x m的值. Cy=±3 D.ys > 3点(3.0)到双曲线后-兮=1的一条蒲近线的 2 距离为 ( A号 B.8 c.s D专 夯基提能作业 4.已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近 请同学们认真完成练案[13] m 线为√3x+my=0,则C的焦距为 §3 抛物线 3.1 抛物线及其标准方程 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.知道抛物线的定义，能推出抛物线1.由抛物线的标准方程可知，p是焦点到准线的距离，从 的标准方程， 而抛物线的标准方程取决于p的大小和焦点的位置. 2.能根据条件，求出抛物线的标准方程. 2.重视抛物线定义在解题中的应用，能够灵活进行抛物 3.能利用抛物线方程解决一些相关实 线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化. 际问题 3.待定系数法是求抛物线标准方程的一种重要方法. 必备知识 探新知 知识点1抛物线的定义 1.平面内与一个定点F和一条定直线(1不经过点F)的距离 的点的集合（或轨迹）叫 作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线1叫作抛物线的 2.集合语言表达式：抛物线是点的集合P= 名师点睛1.抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”.“一动”即一个动点，设为M, “二定”包括一个定点F,即抛物线的焦点，和一条定直线1，即抛物线的准线，“一相等”即|MF1=d (d为M到准线l的距离) 2.定义中，要注意强调定点F不在定直线1上.当直线1经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂 直于定直线1的一条直线. 052 知识点2抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种形式：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py,标准方程中只含一个 参数p(p>0),参数p的几何意义是焦点到准线的距离，所以p恒为正. 抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程. 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0) . -号， =号 x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 0,-) 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一求抛物线的标准方程 用待定系裁法求 例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程， 抛物线标准方程的 步骤 (1)经过点(-3，-1)； (设方程 根据焦点位置，设 (2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 出标准方程 (列方程 根据条件建立关于 参数p的方程 (解方程 解关于参数知的方程， 求出p的值 得方程 根据参数即的值，写 门出所求的标准方程 注意：当抛物线 的类型没有确定时， ·[规律方法] 可设方程y2=mx(m 对点训练1 ≠0)或x2=y(n≠ 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程， 0),这样可以减少讨 2 论情况的个数. (1)准线方程为y=3 (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5. 053 题型二求抛物线的焦点及准线 例2设抛物线的方程为y=a(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程 规律方法： 求抛物线的焦点 及准线方程的步骤： (1)把抛物线解 析式化为标准方程 形式： (2)明确抛物线 开口方向： (3)求出抛物线 标准方程中参数卫 的值： (4)写出抛物线 的焦点坐标或准线 [规律方法] 方程. 对点训练2 已知抛物线y=2x(p>0)的准线经过点(-1,1)，则该抛物线焦点坐标 为 A.(-1,0) B.(1,0) 规律方法： C.(0,-1) D.(0,1) 由抛物线的定义 题型三抛物线定义的应用 知，抛物线上的点P 例3.D已知P2,2)为抛物线C:=2(p>0)上一点抛物线C的焦点为到点P拒害与发 F,则PF1= (）P到准线1的距离相 A.2 B. 7 等，因此涉及抛物线 C.3 D. 上的点到焦点的距离 (2)已知抛物线C:=x的焦点为F,A(0,)是C上一点，14F1=5x 或到准线的距离问题 40，时，常通过两者距离 则x= 的转化来解决 A.4 B.2 C.1 D.8 [分析](1)由点P的坐标求出p值，再由抛物线的定义即得IPFI; (2)利用抛物线的定义构建关于x。的方程，解之即得. 规律方法： [规律方法] 求抛物线的轨迹 》对点训练3 方程有两种方法·一 已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线C上，且IPFI 种是定义法，即先由 抛物线的定义判断所 ”3P,贝可cOs∠Dx= 求轨迹为抛物线，再 B. 由题设条件求得参数 2 c号 D.3 P的值；另一种方法 题型四与抛物线有关的轨迹问题 是直接法，即设出动 点的坐标(x,y),根 列4已知动圆P与定圆A:x+2》+y=1外切，且与直线x1相勤. 据条件建立x与y满 动圆圆心P的轨迹方程为 () 足的关系式.无论使 A.y2=4x B.y2=2x 用哪种方法，求出轨 C.y2=-4x D.y2=-8x 迹方程后，务必要检 [分析]由条件确定动点P到点A的距离与它到直线1的距离的关系，验以方程的解为坐标 由此即可得动圆圆心P的轨迹方程. 的点是否满足条件 [规律方法] 054 〉对点训练4 有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD,按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点B都落在 AD边上，此时将B记为B'(注：图中EF为折痕，点F也可落在边CD上).过B'作B'T∥CD,交EF 于点T,求点T的轨迹方程. ●易错警示 忽略字母的符号，导致漏解 例 5.设抛物线y2=x的准线与直线x=1的距离为3，求抛物线的方程 错解] 准线方程为x=一朵 因为准线与直线x=1的距离为3， 所以准线方程为x=-2,所以-婴=-2，所以m=8, 故抛物线方程为y2=8x [辨析]题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线是不同，错解考虑问 题欠周到 [正解] 课堂检测 固双基 1.抛物线y=8x的准线方程为 ）5.已知抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144 A.y=-2B.x=4C.x=-2D.x=2 的左顶点，求抛物线的标准方程. 2.若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线 x=4的距离相等，则P点的轨迹是( A.抛物线B.线段C.直线D.射线 3.一动圆过点(0,1)且与定直线1相切，圆心在 抛物线x2=4y上，则1的方程为 () 1 A.x=1 B.x= 16 C.y=-1 Dy=-6 4.(2024·上海卷)已知抛物线y2=4x上有一点 P到准线的距离为9，那么点P到x轴的距离 夯基提能作业 为 请同学们认真完成练案[14]结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4y=0的距离：d= 9+09 对点训练1：(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴，且？ 9+16 5 2 4 ，则p=子 =5 故选A. 44由渐近线方程5x+my=0化简得y=-5,即b= 放所求抛物线的标准方程为。一号 m a m (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2=2y(m≠ 31 同时平方得g=高，又双曲线中am,F=1,故m守 -m ,解0)，由焦点到准线的距离为5，知lml=5,m=±5，所以满足条件 得m=3,m=0(舍去)，c2=a2+62=3+1=4→c=2,故焦距 的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2=10y和x 2c=4. =-10y 5.(1)双曲线C的焦点坐标为(5,0)，(-5,0)， 例2：抛物线方程y=a2(a≠0)化为标准形式：2=子。 设双黄线G的标准方程为号-云-1a>0,6>0)。 当a>0时则2印=，解得n=名号= 1 ra2+b2=5, 但-1低 焦点坐标足(0，山)准线方程是了=六 双用线G的标准方程为号-y-1 当a<0时则2=号 1 (2)双曲线C的渐近线方程为y=2x,y=-2x, :焦点坐标是(0品)，准线方程是=， 由2，可得x=m,y=2mAm,2m. ly=x+m, 综上，焦点坐标是(0，a）准线方程是y=石 由2可得x=-了m,y=号m, 1 2 对点训练2：B 由抛物线/=2r(p>0)得准线x=-乃， ly=x+m, 因为准线经过点(-1,1)，所以p=2,所以抛物线焦点坐标为 12 B-3m,3m (1,0),故选B. 0,0成-子2+ 例3：(1)B将P(2,2)代人抛物线C的方程得2=2p×2, 3m2=m2. 0A.0B=3,.m2=3,即m=±5. 即p=1,则由抛物线的定义得1PF1=2+号=2+分=多，放 选B. §3抛物线 (2)C由抛物线C的方程知p=2,则由抛物线的定义得 3.1 抛物线及其标准方程 D 15 AF=+乞=+车=4o,解得=1.故选C 必备知识探新知 对点训练3：C如图所示，过点 知识点11.相等准线2.{MIIMF1=d,其中d表示点P作抛物线C的准线的垂线，垂足为 M到定直线I的距离，F D,过点F作PD的垂线，垂足为E 知识点2y2=-2x(p>0) (0,)y= 则IDE1=P,由抛物线定义知1PD1= 关键能力攻重难 IPF1=头，则1PE1=PD1-IDE1= 例1：(1)因为点(-3，-1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为产=-2nxm>0)或号-p=宁在R△PEF中，血∠PFE i 3p =-2p2y(p2>0) 若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0), 3p 3,所以cos∠PFx=os(90°-∠PFE)=in∠PFE=}, 21 则由(-1)2=-2p1×(-3),解得P1=6 2 若抛物线的标准方程为x=-2p2y(p2>0), 故选C. 例4：D如图， 则由(-3)°=-2×(-1)，解得=号 1 故所求抛物线的标准方程为了=一3x或=一9y。 D可D' (2)对于直线方程3x-4y-12=0.令x=0,得y=-3. 12* 令y=0,得x=4,即直线与坐标轴的交点为(0，-3)，(4， 0), 所以抛物线的焦点为(0，-3)或(4,0). 设动圆圆心P(x,y),过点P作PDLI于点D,作直线'：x= 当焦点为(0，-3)时，抛物线的标准方程为x2=-12y； 2,过点P作PD'⊥'于点D',连接PA. 当焦点为(4,0)时，抛物线的标准方程为y2=16x. 因为动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切，且与直线：x 故所求抛物线的标准方程为x=-12y或y=16x. 310一 =1相切，所以IPA1=1+1PD x轴，设抛物线方程为y2=ax(a≠0)，又抛物线焦点到顶，点的距离 即点P到点A的距离比它到直线l:x=1的距离大1. 故点P到点A的距离与它到直线'：x=2的距离相等，即 为3，则有 =3,.a=±12，故所求抛物线方程为y2=12x或y2 IPAI =IPD'I, =-12x. 根据抛物线的定义知，点P的轨迹是以点A为焦点，以直线 对点训练1：(1)由题意，方程可设为y2=mx或x2=y,将点 ':x=2为准线的抛物线，其方程为y2=-8x A(2,3)的坐标代人，得32=m×2或2=n×3, 对点训练4：如图所示，以边AB的中点O为原点，AB边所在直！ m=号或 线为y轴建立平面直角坐标系，则B(0,-2) 31 ·所求的抛物线方程为y=9、 或=4 (2)由熊点到准线的距离为，可知p=多 .所求抛物线方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2= 连接BT,由题意可知IBTI=1B'TI,B'T⊥AD,根据抛物线 -5y 的定义，点T的轨迹是以点B为焦点，以AD为准线的抛物线的 例2：如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0),准线方 一部分. 程x=-1. 设T(x,y),又1ABI=4, 由题设，直线AB的方程为：y= 即定点B到定直线AD的距离为4，.抛物线方程为x'=2x一2. -8y. 代入抛物线方程y2=4x,整理 由题意可知，线段AB'的长度1AB'1在区间[0,4]内变化，而得：x-3x+1=0. x=1AB1,.0≤x≤4. 设A(x1,y1),B(x2,y2）,由抛物 故点T的轨迹方程为x=-8y(0≤x≤4) 线定义可知，IAFI等于点A到准线x 例5：当m>0时，准线方程为x=-公，由条件知1- =-1的距离1A4'1, 即1AF1=1AA'1=x1+1,同理 (-婴）=3，所以m=8 1BFI=x2+1, .'IABI =IAFI +IBF=x+x,+2=3+2=5. 此时抛物线方程为y2=8x: 对点训练2：C设P,Q的坐标分别为(x1,y),(x2,2),由 当m<0时，准线方程为x=-罕，由条件知-朵-1=3，所线段PQ中点的横坐标为3，得=3， 2 以m=-16,此时抛物线方程为y2=-16x. m 5 所以所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x, IPQ1=,+%+p=6+2=4m,由此解得m=8. 课堂检测固双基 例3：(1)由于抛物线的焦点为(1,0)， 1.C抛物线y=8x的准线方程为x=-2,故选C 所以号=1p=2,所求抛物线方程为了=4x 2.A动点P的条件满足抛物线的定义. 3.C因为动圆过点(0,1)且与定直线1相切，所以动圆圆心到点 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), (0,1)的距离与到定直线（的距离相等，又因为动圆圆心在抛物 则y斤=4x1①，y2=4x2②， 线x2=4y上，且(0,1)为抛物线的焦点，所以1为抛物线的淮准线， 且x1+x2=4,少1+y2=2, 所以l:y=-1. 由②-①得(y1+y2)(5-y1)=4(x2-x1), 442由y2=4x知抛物线的准线方程为x=-1,设点P(x,yo), 所以二1=2， x2-x1 由题意得xo+1=9,解得x=8, 所以所求直线AB的方程为y-1=2(x-2), 代入抛物线方程y2=4x,得=32，解得y。=±42， 即2x-y-3=0 则点P到x轴的距离为42 对点训练3：存在 5双面线方程可化为号。-1，左顶点为-3,0)。 设A(x1y),B(2,2), 则y异=4x1① 由题意设抛物线方程为)y=-2r(p>0)且-号=-3， 2=4x2② 且y1+y2=2 .p=6,∴.抛物线的方程为y2=-12x ②-①得y2-y=4(x2-x1) 3.2抛物线的简单几何性质 、点-i=2,直线AB的方程为y-1=2(x-1), x2-x1 必备知识探新知 即2x-y-1=0. 知识点1(2)轴对称图形(3)顶点(4)离心率1 例4：y=mx2(m≠0)可化为x2= 知识点2y2=-2x(p>0) my,其准线方程为y 关键能力攻重难 由意知-2或4， 例1：椭圆9x+4少=36可化为+)=1，则抛物线对称轴为 解得m=g或m=6 -311