第2章 §2 2.2 双曲线的简单几何性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

2.2　双曲线的简单几何性质 学习任务 核心素养 1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象与数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养． 在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？ 已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线C有怎样的对称性？为什么？ 双曲线的性质 标准方程 ＝1 (a＞0，b＞0) ＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性 质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 性质 渐近线 ±＝0或y＝±x ±＝0或y＝±x 离心率 e＝(e＞1) (1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？ (2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？ [提示]　(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同． (2)e2＝＝1＋是渐近线的斜率或其倒数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)双曲线的离心率越大，它的开口越小． (　　) (2)双曲线的离心率的取值范围是． (　　) (3)双曲线＝1的虚轴长为4． (　　) (4)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 　(4)√ 2．设双曲线＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4　　　　 B．3　　 C．2　　　　 D．1 C　[由渐近线方程可知＝，所以a＝b＝×3＝2．] 3．若双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________． 　[双曲线y2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±，即x±my＝0， 不妨取x＋my＝0，圆x2＋y2－4y＋3＝0，即x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(0，2)，半径r＝1， 依题意圆心(0，2)到渐近线x＋my＝0的距离d＝＝1， 解得m＝或m＝－(舍去)．] 类型1　双曲线的简单性质 【例1】　【链接教材P67例5】 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． [思路点拨]　先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质． [解]　 双曲线的方程化为标准形式是＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝． 又双曲线的焦点在x轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x． 【教材原题·P67例5】 例5　求双曲线9x2－16y2＝－144的实轴和虚轴的长、焦点和顶点坐标，以及渐近线方程，并画出该双曲线． [解]　将9x2－16y2＝－144化为标准方程，得＝1． 所以实轴长2a＝6，虚轴长2b＝8，焦点坐标为(0，－5)，(0，5)，顶点坐标为(0，－3)，(0，3)，渐近线方程为y＝±x． 如图2－26，首先画出x＝±4，y＝±3，作出矩形； 图2－26 然后作出矩形对角线所在的直线，得到渐近线y＝±x； 最后以渐近线为参照画出双曲线． 　1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c的关键． 2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系． [跟进训练] 1．双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________． (－1，0)，(1，0)　　y＝±2x　[将4x2－y2＝4变形为x2－＝1，∴a＝1，b＝2，c＝， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±2x．] 类型2　利用双曲线的性质求双曲线的方程 【例2】　求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为16，离心率为； (2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)； (3)过点(2，0)，且与双曲线＝1的离心率相等． [思路点拨]　由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值． [解]　(1)设双曲线的标准方程为＝1或＝1(a>0，b>0)． 由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2， 解得c＝10，a＝8，b＝6， 所以双曲线的标准方程为＝1或＝1． (2)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1． ∴双曲线的标准方程为－y2＝1． (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程，得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程，得λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1． 　1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用． 2．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ． [跟进训练] 2．求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程． [解]　设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝， ∴＝．又∵＝1，解得 ∴所求的双曲线方程为＝1． 类型3　求双曲线的离心率 【例3】　已知在以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率． [思路点拨]　确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率． [解]　设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b， 故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以＝tan 30°，c＝b， 所以a＝b，离心率e＝＝＝． 　求双曲线离心率的两种方法 (1)直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解． (2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解． [跟进训练] 3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． A　[由题意得，＝，则e＝＝＝．] 1．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　) A．2　　　　 B．4　　 C．2　　　　 D．4 B　[双曲线标准方程为＝1，故实轴长为2a＝4．] 2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 D　[方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25．∵m＞0，∴m＝4．] 3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x 　 B．y＝±x C．y＝±x 　 D．y＝±2x B　[因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x．] 4．已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________． －3　[双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±，故m＝－3．] 5．(源自人教A版教材)动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝， 由此得＝． 将上式两边平方，并化简，得 7x2－9y2＝63， 即＝1． 所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2的双曲线． 求解双曲线方程中的几种“巧设” (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为＝1(a>0，b>0)． (2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为＝1(a>0，b>0)． (3)与双曲线＝1共焦点的双曲线方程可设为＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． (4)与双曲线＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0)． (5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 课时分层作业(十四)　双曲线的简单几何性质 一、选择题 1．点(3，0)到双曲线＝1的一条渐近线的距离为(　　) A．　　　　 B．　　 C．　　　　 D． A　[由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝．故选A．] 2．已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x 　 B．y＝±x C．y＝±x 　 D．y＝±x C　[设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，∵e＝＝，c＝， ∴＝＝，∴＝2， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C．] 3．已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A． 　 B．2 C． 　 D． D　[设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H， 则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a， 所以M(2a，a)． 将点M的坐标代入双曲线方程＝1，得a＝b，所以e＝．故选D．] 4．设F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． 　 B． C．2 　 D． A　[如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2．由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A． ] 5．如图，F1为双曲线C：＝1的左焦点，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是(　　) A．3 　 B．6 C．4 　 D．8 B　[设F2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P1F1|＝|P2F2|，∴|P2F1|－|P1F1|＝|P2F1|－|P2F2|＝2×3＝6．] 二、填空题 6．已知P是双曲线＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0．设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________． 5　[依题意3＝，∴a＝1， 由点P在双曲线右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5．] 7．已知双曲线C：－y2＝1，P为双曲线上任意一点，设点A的坐标为(3，0)，则的最小值为________． 　[设点P的坐标为，则＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋－1＝＋，根据双曲线的范围知：≥2， ∴当x＝时，的最小值为，即的最小值为．] 8．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，⊥＝－，则C的离心率为________． 　[由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即所以A． ＝＝(c，y0)，因为⊥，所以＝0，即＝0，解得＝4c2． 因为点A在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝．] 三、解答题 9．已知椭圆D：＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． [解]　椭圆D的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)， 因此双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5． 设双曲线G的方程为＝1(a>0，b>0)， ∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25． 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r＝3， ∴＝3，得a＝3，b＝4． ∴双曲线G的方程为＝1． 10．已知双曲线＝1的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． [解]　(1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)， 且双曲线方程为＝1， ∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1， ∴双曲线的方程为－y2＝1． (2)∵a＝，b＝1， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x， 令x＝－2，则y＝±， 设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B， 则|AB|＝， 记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，则S＝×2＝． 11．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[焦点F1(－，0)，F2(，0)， 在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，① |AF1|2＋|AF2|2＝12，② 联立①②，解得|AF2|－|AF1|＝2， 即2a＝2， 又2c＝2，故双曲线的离心率e＝＝＝，故选D．] 12．过双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，直线FE交双曲线右支于点P，若＝)，则双曲线的离心率为(　　) A． 　 B． C． 　 D． C　[设点A是双曲线的右焦点，由＝)可知，点E是线段FP的中点，又点O是FA的中点，所以OE∥PA，且|PA|＝2|OE|＝a，再根据双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，可得|PF|＝3a，所以在直角△PFA中，有(3a)2＋a2＝(2c)2，对该式化简可得e＝．] 13．(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 　 B．－y2＝1 C．－x2＝1 　 D．y2－＝1 [答案]　AC 14．设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1， 得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5， 又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6， 所以e＝＝＝．] 15．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　　) A． 　 B． C． 　 D． D　[根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交．圆心(2，3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝，故选D．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $