课时分层作业9 直线与圆的位置关系(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

课时分层作业(九) 1．B　[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．] 2．C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．] 3．B　[圆心坐标是(3，4)，半径是5，圆心到点(3，5)的距离为1．根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2，所以四边形ABCD的面积为．] 4．D　[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆的方程可得C，所以，解得a＝4±．] 5．A　[设圆心C(a，b)，半径r＝1，由于圆心在第一象限，且与x轴相切，则b＝r＝1，则C(a，1)，圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝＝r＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)，则该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1．] 6．x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，所以a＝－5，所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．] 7．(x－2)2＋(y－1)2＝5　[∵圆心为O(0，0)， 又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆，其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝． 而圆心为(2，1)， ∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．] 8．(－∞，－2)∪∪(2，＋∞)　[圆x2＋y2－4x－2y－15＝0的圆心为(2，1)，半径为2， ∵圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于， ∴， ∴k的取值范围是(－∞，－2)∪∪(2，＋∞)．] 9．解：圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝3． 因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3， 所以直线x＝－3是符合题意的一条直线． 设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3， 于是＝3，解得k＝－． 故直线的方程为3x＋4y＋15＝0． 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0． 10．解：(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4，－3)． 由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交． (2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短． 此时PC⊥l，又kPC＝＝3，所以直线l的斜率为－，则2m＝－，所以m＝－． 在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5． 所以|AB|＝2． 故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2． 11．C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．] 12．C　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论： (1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则，解得k＝±1： (2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．] 13．ABD　[对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确． 对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝>r，∴直线l与圆C相离，B正确． 对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝<r，∴直线l与圆C相交，C错误． 对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，D正确．故选ABD．] 14．(1)a<3　(2)x－y＋5＝0　[(1)依题意得，点C在圆内，所以＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3． (2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．] 15．解：(1)已知圆的标准方程是 (x＋a)2＋(y－a)2＝4a(0<a≤4)， 则圆心C的坐标是(－a，a)，半径为2． 直线l的方程化为x－y＋4＝0，则圆心C到直线l的距离是|2－a|． 设直线l被圆C所截得弦长为L，由弦长、弦心距和圆的半径之间的关系，得 L＝2． ∵0<a≤4， ∴当a＝3时，L的最大值为2． (2)∵直线l与圆C相切， 则有，即|m－2a|＝2． ∵点C在直线l的上方，∴a>－a＋m，即2a>m，∴2a－m＝2，∴m＝(－1)2－1．∵0<a≤4，∴0<，∴m∈[－1，8－4]． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(九)　直线与圆的位置关系 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　) A．－2　　　 B．－4　 C．－6　　　 D．－8 2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A．10 　 B．20 C．30 　 D．40 4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆＋＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　) A．± 　 B．± C．1或7 　 D．4± 5．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 二、填空题 6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________． 7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点为A、B，则△ABP的外接圆的方程是________． 8．已知圆C：x2＋y2－4x－2y－15＝0上有两个不同的点到直线l：y＝k(x－7)＋6的距离等于，则k的取值范围是________． 三、解答题 9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0． (1)m∈R时，证明：l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长． 11．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋　　 B．4 C．1＋3　　 D．7 12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　) A．1条　　　 B．2条　 C．3条　　　 D．4条 13．(多选题)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　) A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 14．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则 (1)a的取值范围是________； (2)直线l的方程为________． 15．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m． (1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值； (2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0，4]变化时，求m的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $