第1章 §2 2.4 圆与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

2.4　圆与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点) 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系．(重点、难点) 通过对圆与圆的位置关系的学习，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学素养． 1．平面上，两圆有哪几种位置关系？ 2．能否用两圆的方程组成的方程组解的个数准确判定两圆的位置关系？ 1．平面内两个不等的圆之间的5种位置关系 (1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外离(如图(1))． (2)两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，此时叫作这两个圆外切(如图(2))．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． (3)两个圆有两个公共点，此时叫作这两个圆相交(如图(3))． (4)两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内切(如图(4))．这个唯一的公共点叫作两个圆的切点． 两个圆外切和内切统称两个圆相切． (5)两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，此时叫作这两个圆内含(图(5))． 　 (1)　　　　　　　　　　(2) 　　 (3)　　　　　　　(4)　　　　　　(5) 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜ d＜r1＋r2 d＝ |r1－r2| 0＜d＜ |r1－r2| (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 将两个相交圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性？ [提示]　两个相交圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果两个圆的方程组成的方程组有两组实数解，则两圆相交． (　　) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和且大于两圆的半径之差，则两圆相交． (　　) (3)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　) A．内切　　　 B．相交　 C．外切　　　 D．相离 B　[两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r<<R＋r，所以两圆相交，故选B．] 3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________． 1　[将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1．] 4．以C(4，－3)为圆心且与圆O：x2＋y2＝1相切的圆C的方程为________． (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36　[设圆C的半径为r， 圆心距为d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4， 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6， ∴圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36．] 类型1　圆与圆的位置关系的判断 【例1】　当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ [思路点拨]　利用两圆的半径分别为r1、r2，与两圆的圆心距为d之间的关系求解． [解]　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k． 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5． 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切． 当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交． 当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离． 　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值|r1－r2|，半径之和r1＋r2进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要运用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． [跟进训练] 1．两个圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有(　　) A．1条　 B．2条 C．3条 　 D．4条 B　[圆C1的半径r1＝2，圆心C1(－1，－1)，圆C2的半径r2＝2，圆心C2(2，1)，|C1C2|＝． 由于|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，故两圆相交，因而公切线有2条．] 类型2　两圆相切问题 【例2】　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________． (2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________． (1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169　(2)2或－5　[(1)设所求圆的半径为r， 则＝|8－r|， 所以r＝3或r＝13， 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169． (2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2， 由题意得|C1C2|＝5， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25， 解得m＝2或m＝－5．] 　处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切、外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)． [跟进训练] 2．若两圆x2＋y2＝a与x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则a的值为________． 1或121　[∵x2＋y2＝a表示一个圆， ∴a>0，两圆的圆心、半径长分别为(0，0)， 与(－3，4)，6． 由于两圆内切， 则＝|－6|， 解得a＝121或a＝1．] 类型3　两圆相交的问题 【例3】　求过圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0交点的直线方程． [解]　设两圆的交点分别为A，B， 则A，B的坐标是方程组 的解，两式相减得x＋y－1＝0． 因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0， 所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0． [母题探究] 1．本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？ [解]　由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1， 该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝， 由条件知r2－d2＝1－＝， 所以公共弦长为2×＝． 2．本例条件不变，求经过两圆的交点且圆心在直线x－2y－4＝0上的圆的方程． [解]　∵圆C2的圆心(1，1)不在直线x－2y－4＝0上， 故可设所求圆的方程为＋y2－2x－2y＋1)＝0(λ≠－1)， 其圆心为， 代入x－2y－4＝0， 求得λ＝－． 故所求圆的方程为x2＋y2＋8x＋8y－9＝0． 　1．圆系方程 一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在直线的方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0． 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 1．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是(　　) A．　　　 B．　 C．　　　 D．5 B　[由题意知，2r＝＝，r＝．] 2．(教材P38例9改编)两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A．外离 　 B．相切 C．相交 　 D．内含 C　[法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2， 所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)， 半径为r1＝2，r2＝， 则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交． 法二：(代数法)联立方程 解得 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2， 所以两圆相交．] 3．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．(x－5)2＋(y－7)2＝25 B．(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15 C．(x－5)2＋(y－7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D　[设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1， ∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9．] 4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________． x2＋y2－3x＋y－1＝0　[设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0．] 5．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2，1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程； (2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程． [解]　(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2， ∵两圆外切， ∴|O1O2|＝r1＋r2， ∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)， ∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8． (2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝， 圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为－8＝0． ∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝， 解得＝4或20． ∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20． 1．判断两圆的位置关系的方法 (1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用． (2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系． 2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长． 课时分层作业(十)　圆与圆的位置关系 一、选择题 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　) A．相离　　　 B．相交　 C．外切　　　 D．内切 B　[圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝<r1＋r2＝3，即两圆相交．] 2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　) A．4 　 B．4 C．8 　 D．8 C　[依题意，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝＝8．] 3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 D　[由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为． 设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则 解得 ∴所求圆的圆心为(－1，－1)． 又所求圆的半径为， ∴圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5．] 4．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 C　[圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11， 圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8， ∴|O1O2|＝ ＝13， ∴r－R＜|O1O2|＜R＋r， ∴两圆相交．∴公切线有2条．] 5．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(　　) A． 　 B． C．2 　 D．3 C　[圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的方程相减得x－y＋2＝0． ∵圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，r＝2， 则公共弦长为2＝2．故选C．] 二、填空题 6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________． a2＋b2>3＋2　[由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，即a2＋b2>3＋2．] 7．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________． [1，121]　[x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36． 圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，解得1≤m≤121．] 8．到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条． 4　[到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5． 半径之和为3＋1＝4，因为5>4， 所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．] 三、解答题 9．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0． (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． [解]　(1)将两圆方程配方化为标准方程，则 C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10， ∴圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5， 圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝． 又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5，|r1－r2|＝|5|， ∴|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减， 得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0． (3)法一：由(1)(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3， ∴公共弦长为l＝＝2＝2． 法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 ∴|AB|＝＝2． 即公共弦长为2． 10．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0． (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． [解]　两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为和． (1)当两圆外切时，＝， 解得m＝25＋10． (2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有＝5，解得m＝25－10． (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，∴公共弦长为2＝2． 11．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　) A．21 　 B．19 C．9 　 D．－11 C　[依题意可得圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0的圆心分别为C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝＝5．又r1＝1，r2＝，由r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9．] 12．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A．5 　 B．1 C．3－5 　 D．3＋5 C　[圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4，2)，半径为3； 圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，半径为2； 两圆外离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5．] 13．(多选题)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，O为坐标原点，以OC为直径的圆C′与圆C交于A，B两点，则(　　) A．圆C′的方程为x2＋y2－3x－4y＝0 B．直线AB的方程为3x－4y－21＝0 C．OA，OB均与圆C相切 D．四边形CAOB的面积为4 AC　[由圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0， 得(x－3)2＋(y－4)2＝4， 则圆心C(3，4)， 线段OC的中点坐标为， 则以OC为直径的圆的方程为＋(y－2)2＝， 整理得：x2＋y2－3x－4y＝0， 即圆C′的方程为x2＋y2－3x－4y＝0，故A正确； 联立 两式作差可得：3x＋4y－21＝0， 即直线AB的方程为3x＋4y－21＝0，故B错误； ∵A，B在以OC为直径的圆上， ∴CA⊥OA，CB⊥OB， 由圆心与切点的连线与切线垂直， 可得OA，OB均与圆C相切，故C正确； ∵CA⊥OA，且|OC|＝5，|CA|＝2， ∴|OA|＝＝＝， ∴四边形CAOB的面积为S＝2××2×＝2，故D错误．故选AC．] 14．写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程______________． y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(写出其中一个即可)　[圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心O1为(3，4)，半径为4， 两圆圆心距为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切． 如图，当切线为l时，因为＝，所以kl＝－，设方程为y＝－x＋t(t＞0)， 点O到直线l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋． 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0， 由题意 解得所以m的方程为y＝x－． 当切线为n时，易知切线方程为x＝－1．] 15．若圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－a)2＋(y－2a)2＝4有公共点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． A　[由题意可知，圆O1的圆心是原点，半径r1＝1， 圆O2的圆心是(a，2a)，半径r2＝2，两圆的圆心距d＝＝|a|． ∵圆O1与圆O2有公共点，∴|r1－r2|≤d≤r1＋r2，即1≤|a|≤3， 解得－≤a≤－或≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选A．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $