第1章 §2 2.2 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦“圆的一般方程”核心知识点，衔接圆的标准方程，系统推导二元二次方程表示圆的条件，明确x²、y²系数相同且不为0、不含xy项及D²+E²-4F>0的关键特征，讲解圆心（-D/2,-E/2）与半径√(D²+E²-4F)/2的求法，构建从概念到应用（如轨迹方程、位置关系判断）的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过思考辨析、例题解析（如含参数方程表示圆的条件）、分层作业设计，培养逻辑推理（推导一般方程）、数学运算（求圆心半径）、直观想象（轨迹问题）等核心素养。课中例题链接教材便于教师授课，课后分层训练助力学生查漏补缺，强化知识应用与迁移能力。

2.2　圆的一般方程 学习任务 核心素养 1．理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养． 2．通过对圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养． 1．在什么条件下，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆？ 2．二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，圆心与半径分别是什么？ 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程． (2)圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心和半径 圆C的圆心为，半径长为． (3)圆的方程在代数结构上的特征 对于二元二次方程Ax2＋Cxy＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时， ①x2，y2的系数相同，且不等于0，即A＝B≠0； ②不含xy这样的项，即C＝0． 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若＋Dx0＋Ey0＋F<0，则点M(x0，y0)与圆C的位置关系如何？为什么？ [提示]　点M在圆C内，理由如下： 由＋Dx0＋Ey0＋F<0得，＋<，所以<，即点M(x0，y0)到圆心C的距离小于圆的半径，所以，点M在圆C内． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆． (　　) (2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足＋Dx0＋Ey0＋F＞0． (　　) (3)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4FA＞0． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是(　　) A．a<－2　 B．－<a<0 C．－2<a<0 　 D．－2<a< D　[由方程表示圆的条件得 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 即3a2＋4a－4<0，∴－2<a<．] 3．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________． 点P在圆C外　[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋3>0，∴点P在圆C外．] 类型1　圆的一般方程的概念 【例1】　(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R　　 B．(－∞，1) C．(－∞，1] 　 D．[1，＋∞) (2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． (1)B　(2)(－2，－4)　5　[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1．故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B． (2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2． 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5． 当a＝2时，方程不表示圆．] 　当且仅当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，其圆心为点，半径为． [跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0． [解]　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆． (2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆． (3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆． (4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝， ∴它表示以为圆心，为半径的圆． 类型2　求圆的一般方程 【例2】　【链接教材P32例4】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C在圆上， ∴∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25． ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5． 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5． ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25． ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5． 【教材原题·P32例4】 例4　求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程． [解]　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因为A，B，C三点在圆上，所以有 解得 故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋4y－20＝0(如图1－29)． 图1－29 　待定系数法求圆的方程的解题策略 (1)如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r． (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F． [跟进训练] 2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程． [解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为． ∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B， ∴＝－1，即E－3D－36＝0．① ∵(－2，－4)，(8，6)在圆上， ∴2D＋4E－F－20＝0，② 8D＋6E＋F＋100＝0．③ 联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30， 故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0． 类型3　与圆有关的轨迹方程问题 【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|． 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0． 　求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． [跟进训练] 3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． ∴ 　① ∵|AD|＝∴＝9．　② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36． ∵点C不能在x轴上，∴y≠0． 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点． 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　) A．＜m＜1　 B．m＞1 C．m＜ 　 D．m＜或m＞1 D　[方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜或m＞1．] 2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线y＝2x对称，那么(　　) A．D＝2E 　 B．E＝2D C．E＋2D＝0 　 D．D＝E B　[若圆关于直线y＝2x对称，则圆心在直线y＝2x上，即－＝2⇒E＝2D．] 3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 A　[圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1， ∴圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．] 4．求经过点A(1，)和B(2，－2)，且圆心在x轴上的圆的方程． [解]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 因为圆心在x轴上， 所以－＝0，即E＝0． 又圆过点A(1，)和B(2，－2)， 所以 即解得 故所求圆的方程为x2＋y2－6x＝0． 1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件． 2．圆的一般方程在特殊条件下的形式 特殊条件 方程形式 圆心为原点(0，0) x2＋y2＋F＝0 圆心在x轴上 x2＋y2＋Dx＋F＝0 圆心在y轴上 x2＋y2＋Ey＋F＝0 过坐标原点时 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0 3．能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤． 课时分层作业(八)　圆的一般方程 一、选择题 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　 B．一个圆 C．一条直线 　 D．不存在 A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　) A．8 　 B．－4 C．6 　 D．无法确定 C　[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6．] 3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 　 B．或 C．2或0 　 D．－2或0 C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C．] 4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1 　 B．－2或－1 C．2 　 D．1 C　[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴ －4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1．又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．] 5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 　 B．2个 C．3个 　 D．4个 C　[∵圆心(－1，－2)，r＝＝2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝． ∴共有3个点．] 二、填空题 6．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________． －1　[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．] 7．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________． x＋2y＋1＝0　[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．] 8．过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________． ＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(写出其中一个即可)　[依题意，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 若过， 则 解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13； 若过， 则 解得 所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5； 若过， 则 解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0， 即＋＝； 若过， 则 解得 所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0， 即＋＝．] 三、解答题 9．(源自人教A版教材)求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． [解]　设圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0； 所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r＝＝5． 10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<故m的取值范围为． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝． 11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 　 B．直线 C．线段 　 D．圆 D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)， ∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．] 12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝32 　 B．x2＋y2＝16 C．(x－1)2＋y2＝16 　 D．x2＋(y－1)2＝16 B　[设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16．] 13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是 B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2 C．a＋b＝1 D．ab的取值范围是 BCD　[原方程可化为＋＝4，故其圆心是，半径是2． 由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上， 所以 a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝＋，所以ab的取值范围是，故选BCD．] 14．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________． x2＋(y＋1)2＝1　π　[将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0． 故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．] 15．设△ABC的顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由． [解]　(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)， ∴ 解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a． ∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0． (2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0． 由 解得x＝0，y＝－3． ∴圆M过定点(0，－3)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $