第1章 §2 2.1 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“圆的标准方程”核心知识点，从初中圆的几何定义切入，通过坐标法推导标准方程，系统梳理圆心与半径的确定方法、点与圆的位置关系，延伸至最值问题应用，构建“定义-方程-性质-应用”的完整学习支架。 资料以核心素养为导向，通过问题链（如“集合表示的图形”）培养数学抽象，例题中几何法（垂直平分线求圆心）与代数法（待定系数）结合提升直观想象与数学运算，母题探究（斜率、截距最值）深化数学思维，课时分层作业助力课后查漏补缺。

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程．(重点) 2．能根据圆的标准方程求它的圆心和半径．(重点) 3．掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用．(难点) 1．通过对圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养． 2．通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养． 1．在平面几何中，圆是如何定义的？ 2．集合{P||OP|＝1，O是坐标原点}所表示的几何图形是什么？ 3．如何用方程表示：以坐标原点为圆心，半径为1的圆？ 1．圆的标准方程 圆心为，半径是r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x2＋y2＝r2． 确定圆的几何要素是什么？ [提示]　确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小． 2．圆x2＋y2＝r2的简单几何性质 (1)范围 ≤r，≤r． (2)对称性 圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点． 3．点与圆的位置关系 圆的标准方程为C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，设所给点为点P＝d，则 判断方法 几何法 代数法 d<r⇔点P在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点P在圆C内 判断方法 d＝r⇔点P在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆C上 d>r⇔点P在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点P在圆C外 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆． (　　) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径． (　　) (3)圆(x－1)2＋y2＝1的范围是0≤x≤2且－1≤y≤1． (　　) (4)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的外部． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝13的圆心坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　 B．(－2，3) C．(－2，－3)　　 　 D．(2，－3) D　[由(x－2)2＋(y＋3)2＝13知圆心坐标为(2，－3)．] 3．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________． (7，＋∞)　[∵(3，)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋()2＞16，∴a＞7．] 4．一圆过坐标原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，则圆的标准方程为________． ＋＝　[∵圆心在直线y＝x＋2上，∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r， 则圆的方程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2． ∵点O(0，0)和P(1，3)在圆上， ∴ 解得 ∴圆的标准方程是＋＝．] 类型1　求圆的标准方程 【例1】　【链接教材P30例3】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程． [解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x． 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由得即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 法三：∵所求圆的圆心在直线x＋y－2＝0上， ∴可设圆心C为(a，2－a)． 由|CA|＝|CB|， ∴＝， 解得a＝1， ∴圆心为(1，1)，半径r＝|CA|＝2． 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 【教材原题·P30例3】 例3　求经过A(1，3)，B(4，2)两点，且圆心C在直线l：x＋y－3＝0上的圆的标准方程． 解法1　设该圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由圆经过A，B两点且圆心C在直线l上，可得方程组 ①－②，得(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④ 化简、整理，得　3a－b－5＝0．⑤ 联立③⑤解得　 代入①，得　r2＝5． 故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5(如图1－27(1))． 图1－27 解法2　如图1－27(2)，连接AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，则圆心C是线段AB的垂直平分线与直线l的交点．线段AB的垂直平分线的方程为3x－y－5＝0． 联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组 解得即圆心C的坐标为(2，1)． 又该圆经过点A，则r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5， 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5． 　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种： (1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． (2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [跟进训练] 1．求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． [解]　(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8． (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25． 类型2　点与圆的位置关系 【例2】　已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系． [思路点拨]　线段AB的中点就是圆心，半径r＝，从而写出直径为AB的圆的标准方程，再利用点到圆心距离与半径r相比较，从而判断出C、D、E与圆的位置关系． [解]　设圆心为O(x0，y0)，半径为r， 由题意得解得 ∴圆心O(2，0)． 又r＝＝5， ∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝25． 又|OC|2＝(5－2)2＋(1－0)2＝10<r2， ∴C在圆内． 又|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2， ∴D在圆上． 又|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2， ∴E在圆外． 　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种．对于几何法，主要是利用点到圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： (1)当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内； (2)当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上； (3)当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外． [跟进训练] 2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的关系是(　　) A．M在C外　　　　 B．M在C上 C．M在C内 　 D．与a的取值有关 (2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为________． (1)A　(2)(0，5)　[(1)因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝＞1， 故选A． (2)由于点P(－2，4)在圆的外部， 所以(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5． 又方程表示圆，所以m＞0． 因此实数m的取值范围是0＜m＜5．] 类型3　与圆有关的最值问题 【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． [思路点拨]　首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值． [解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1， 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝． 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和． [母题探究] 1．本例条件不变，试求的取值范围． [解]　设k＝变形为k＝此式表示圆上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，由k＝可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离dr，即 解得－． 即． 2．本例条件不变，试求x＋y的最值． [解]　令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值． 当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1． 3．本例条件不变，试求的最值． [解]　表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离， 又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝ 所以，其最大值为最小值为． 　处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题； (4)形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 1．圆心(－1，1)，半径为的圆的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2　　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝ C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝ A　[根据圆的标准方程易知A正确．] 2．圆心在y轴上，半径为1且过点(－1，2)的圆的方程为(　　) A．x2＋(y－3)2＝1 　 B．x2＋(y－2)2＝1 C．(x－2)2＋y2＝1　　 　 D．(x＋2)2＋y2＝1 B　[设圆心(0，b)，则x2＋(y－b)2＝1．又圆过点(－1，2)，代入得b＝2， ∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1．] 3．(教材P29例2(1)改编)圆心为(1，1)且过点(4，5)的圆的标准方程是________． (x－1)2＋(y－1)2＝25　[半径r＝＝5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝25．] 4．已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，求此圆的方程． [解]　法一：直线AB的斜率为k＝＝－， 可知AB垂直平分线m的斜率为2． AB中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1， y＝＝2， 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0． 又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上， 联立方程解得 所以圆心坐标为C(2，4)． 又半径r＝|CA|＝， 则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． 法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依题意， 即解得 所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10． 1．圆的特征与圆的标准方程的对应关系 圆的特征 圆的标准方程 圆心为原点(0，0) x2＋y2＝r2 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 过坐标原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2 2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷． 3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题． 课时分层作业(七)　圆的标准方程 一、选择题 1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 C　[r＝＝5，故选C．] 2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　) A．　 B． C．　 D． B　[由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝．] 3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为(　　) A． 　 B． C．　 D． A　[由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2，得a<－．] 4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．6 　 B．4 C．3 　 D．2 B　[由题意知，|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B．] 5．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．半圆 　 B．圆 C．两个圆 　 D．两个半圆 D　[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D．] 二、填空题 6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________． (x－2)2＋y2＝5　[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．] 7．在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________． (－∞，－2)　[由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．] 8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________． 1　[∵|AB|＝2，∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小， 又圆心为(2，2)，半径为1，所以此时C的坐标为(2，1)，S△ABC的最小值为1．] 三、解答题 9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)． (1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a； (2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆N内，另一点在圆N外，求实数a的取值范围． [解]　(1)因为点M(6，9)在圆N上， 所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10， 又a>0，所以a＝． (2)因为|PN|＝＝， |QN|＝＝3， 所以|PN|>|QN|，故点P在圆N外，点Q在圆N内， 所以3<a<． 故实数a的取值范围是(3，)． 10．已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1)． (1)求圆心所在的直线方程； (2)若圆C的半径为1，求圆C的方程． [解]　(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，且kPQ＝－1， 所以圆心所在的直线方程为y－＝1×，即x－y＝0． (2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1， 则解得或 所以圆C的方程为x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1． 11．点P(8，m)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外　　 B．在圆内 C．在圆上 　 D．与m取值有关 A　[因为d＝＝>＝r，所以点在圆外．] 12．已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　) A．＋y2＝　 B．＋y2＝ C．＋y2＝ 　 D．＋y2＝ C　[法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 把三点代入得 解得 故所求圆的标准方程为＋y2＝． 法二：(几何法)因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上． 又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为． 则圆E的半径为|EB|＝＝，所以圆E的标准方程为＋y2＝．] 13．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时(　　) A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(1，－1) B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0 C．光线的最短路程为4 D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为 BCD　[圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因为当反射光线是A′C时，光线的路程最短，所以最短距离为|A′C|－r， 即－1＝4， 此时，反射光线为直线A′C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A′C与x轴的交点，其坐标为．] 14．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2－1＝2．则的最大值是________；最小值是________． 　－　[原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆． 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx． 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值， 此时＝，解得k＝±． 所以的最大值为，最小值为－．] 15．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　) A．[2，6] 　 B．[4，8] C．[，3] 　 D．[2，3] A　[设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝， 所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝． 由已知条件可得|AB|＝2， 所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2． 综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $