第1章 §1 1.6 平面直角坐标系中的距离公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中的距离公式，系统梳理两点间距离公式（含原点与任一点、平行坐标轴特殊情况）、点到直线距离公式及平行线间距离公式，构建从基础推导到特殊应用的知识递进学习支架。 资料通过向量法推导公式培养逻辑推理，结合三角形形状判断等例题发展直观想象，分层作业与跟进训练提升数学运算。课中助力教师引导学生理解，课后帮助学生查漏补缺，落实“三会”核心素养。

1.6　平面直角坐标系中的距离公式 学习任务 核心素养 1．掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点) 3．初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过对两点间距离、点到直线距离以及两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． 1．如何用向量的方法求平面上两点间的距离？ 2．如何用向量的方法求平面上点P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d？ 1．两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． ②当P1P2∥x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|． ③当P1P2∥y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|． 1．如何推导平面上的两点间的距离公式？ [提示]　因为两点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以＝＝，即|P1P2|＝． 2．点到直线的距离公式 (1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 2．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示]　要求直线的方程应化为一般式． 3．两条平行直线间的距离公式 (1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示]　两条平行直线的方程都是一般式，且x，y对应的系数应分别相等． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)点P(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝y0－b． (　　) (2)点P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|x0－a|． (　　) (3)直线x＋y＝m与直线2x＋2y＝n的距离为． (　　) (4)． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．已知A(3，6)，B(2，4)，则A，B两点间的距离为(　　) A．5　　 B． C．3 　 D． B　[由平面内两点间的距离公式可知，|AB|＝＝．] 3．直线l1：3x＋4y－7＝0和直线l2：3x＋4y－2＝0的距离为________． 1　[d＝＝1．] 4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为2，则实数m的值为________． －6　[由＝2，得m＝－6或m＝2， 又∵点P(m，1)为第二象限内的点，∴m<0，∴m＝－6．] 类型1　两点间的距离公式 【例1】　【链接教材P22例22】 已知△ABC三顶点的坐标分别为A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． [解]　法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， |BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． 法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB． 又|AC|＝＝2，|AB|＝＝2， ∴|AC|＝|AB|． ∴△ABC是等腰直角三角形． 【教材原题·P22例22】 例22　如图1－22，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． 图1－22 (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． [解]　(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝＝， |BC|＝＝2， |CA|＝＝5． 因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形． (2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2． 　1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向． 2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理． [跟进训练] 1．已知A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点C，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形，并求|CA|的值． [解]　设所求的点为C(x，0)，于是有 |AC|＝＝， |BC|＝＝， 由|AC|＝|BC|得，x＝1， 所以，所求点为C(1，0)， 且|CA|＝＝2． 类型2　点到直线(或平行直线间)的距离公式 【例2】　 若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________． [思路点拨]　由点到直线的距离公式列出等式求a． －2或4或6　[法一：由题意，得＝，即4a－a2＋6＝±6，解得a＝0或－2或4或6． 检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6． 法二：当直线平行于OA时， ∵kOA＝－，∴－＝－，解得a＝4； 当直线过OA的中点时， ∵OA的中点坐标为， ∴a×2＋a2×＋6＝0， 即a2－4a－12＝0，解得a＝－2或6． 综上，a＝－2或4或6．] 　1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式． 2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离． [跟进训练] 2．若直线m被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号) ①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75° ①⑤　[如图，由两条平行直线间的距离公式可得d＝＝，故直线m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则直线m的倾斜角为75°或15°，故选①⑤． ] 类型3　距离公式的综合应用 【例3】　已知直线l过点A(2，4)，两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0被直线l所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． [思路点拨]　法一：在x＋y－3＝0上设M的坐标，利用M到两平行线距离相等求出M，再由两点式求出直线l的方程． 法二：先求出到两平行线距离相等的直线方程，再由方程组求出M的坐标，进而求出直线l的方程． [解]　法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上， ∴设点M坐标为(t，3－t)，则点M到l1，l2的距离相等， 即＝， 解得t＝， ∴M． 又l过点A(2，4)，由两点式得＝， 即5x－y－6＝0，故直线l的方程为5x－y－6＝0． 法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0， 由两条平行直线间的距离公式得 ＝， 解得C＝0，即l3：x－y＝0． 由题意得中点M在l3上， 且点M在x＋y－3＝0上． 解方程组得 ∴M． 又l过点A(2，4)， 故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0． 　应用距离公式解答有关问题应注意的几点 (1)直线的方程是一般式，在用两条平行直线间的距离公式时，两方程中x，y的系数分别相等． (2)要结合图形，帮助解答． (3)求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况． [跟进训练] 3．已知点P(－2，0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P到直线l的距离d的最大值为(　　) A．2　　 B． C．　　 D．2 B　[由(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y－(2＋5λ)＝0， 得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，此方程是过直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0交点的直线系方程． 解方程组 可知两直线的交点为Q(1，1)，故直线l恒过定点Q(1，1)，如图所示，可知d＝|PH|≤|PQ|＝， 即d的最大值为．] 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1　 B． C．2 　 D． D　[d＝＝．] 2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　) A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11 B　[两条平行直线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11．] 3．已知点P为x轴上一点，点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A．(8，0) B．(－12，0) C．(8，0)或(－12，0) D．(0，0) C　[设P(a，0)，则＝6，解得a＝8或a＝－12，故点P的坐标为(8，0)或(－12，0)．] 4．已知△ABC中，A(2，－1)，B(4，3)，C(3，－2)． (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． [解]　(1)由斜率公式，得kBC＝5， 所以BC边上的高所在直线方程为 y＋1＝－(x－2)，即x＋5y＋3＝0． (2)由两点间的距离公式，得|BC|＝， BC边所在的直线方程为y＋2＝5(x－3)，即5x－y－17＝0， 所以点A到直线BC的距离d＝＝， 故S△ABC＝＝3． 1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝． 2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离． 3．求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”法将两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)直接利用两条平行直线间的距离公式d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等． 课时分层作业(六)　平面直角坐标系中的距离公式 一、选择题 1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． 　 B． C． 　 D．2 A　[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝，故选A．] 2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　) A． 　 B．－ C．－ 　 D．或－ D　[由＝1，解得m＝或－，故选D．] 3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为(　　) A．－6或 　 B．－或1 C．－或 　 D．0或 A　[＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．] 4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　) A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0 D　[在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0， 则＝3，解得m＝16或m＝－14， 即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．] 5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是(　　) A．y＝1 B．2x＋y－1＝0 C．y＝1或2x＋y－1＝0 D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0 C　[∵kAB＝＝－2，过点P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即2x＋y－1＝0， 又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1．故选C．] 二、填空题 6．已知A(a，3)，B(－2，5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________． 3或－2　[依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2．] 7．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________． 4　[由题意可设P(x0>0)， 则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号． 故所求最小值是4．] 8．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________． 　[因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为．] 三、解答题 9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－． (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． [解]　(1)由直线方程的点斜式， 得y－5＝－(x＋2)， 整理得，所求直线方程为3x＋4y－14＝0． (2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0， 由点到直线的距离公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0． 10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程． [解]　∵l1∥l2，∴＝≠， ∴或 (1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0， ∴＝， 解得n＝－22或n＝18． 故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0． (2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为4x－8y－2＝0， ∴＝，解得n＝－18或n＝22． 故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0． 综上所述，直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0或2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0． 11．已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　) A．4　　　　 B．3　　 C．2　　　　 D．1 A　[由题意知，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2． 由于△ABC的面积为2， 所以AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝． 由点C在函数y＝x2的图象上，可设C(t，t2)． 由点到直线的距离公式得＝， 即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有2个不相等的实数根，故满足题意的点C有4个．] 12．若直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 　 B．2 C． 　 D．4 B　[∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两条平行直线之间的距离d＝＝2．] 13．(多选题)已知直线l：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是(　　) A．原点到直线l距离等于2 B．若点P在直线l上，则≥4 C．点(1，1)到直线l距离d的最大值等于2＋ D．点(1，1)到直线l距离d的最小值等于2＋ ABC　[由点到直线的距离公式知，A正确； 由A正确得，≥2，所以≥4； 因为d＝＝， 所以d的最大值等于2＋，最小值等于2－．] 14．在平面直角坐标系内，已知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________． 2　(2，4)　[设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M(图略)，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M即为所求．因为kAC＝＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．① 又因为kBD＝＝－1，所以直线BD的方程为 y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0．② 联立①②得解得 所以M(2，4)．] 15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． [解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0． 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $