第1章 §1 1.3 第1课时 直线方程的点斜式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦直线方程的点斜式和斜截式核心知识点，系统讲解截距概念、方程形式及适用范围，前承直线斜率与倾斜角，后启其他直线方程形式，构建从几何特征到代数方程的转化支架，帮助学生形成数形结合认知。 资料通过概念辨析题澄清易混点，分层例题覆盖斜率存在与否等情况，综合应用融入基本不等式解决最值问题，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养。课中图示辅助几何直观教学，课后分层作业助力学生查漏补缺，提升教学效果与学习效率。

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 学习任务 核心素养 1．掌握直线方程的点斜式和斜截式．(重点) 2．了解直线在y轴上的截距的概念．(易混点) 3．了解斜截式与一次函数的关系．(难点) 1．通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养． 2．借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养． 1．如果一个方程称为直线l的方程，那么它需要满足什么条件？ 2．若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 1．直线l的方程 如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线l在y轴上的截距 定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距． 3．直线的点斜式方程和斜截式方程 名称 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围 斜率存在 (1)斜截式方程应用的前提是什么？ (2)纵截距一定是距离吗？ [提示]　(1)直线的斜率存在． (2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线y＝2x－3在y轴上的截距为－3． (　　) (2)直线y－3＝m(x＋1)恒过定点(－1，3)． (　　) (3)直线的点斜式方程也可写成＝k． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．已知直线过点(1，2)，斜率为－2，则该直线的点斜式方程为(　　) A．y－1＝2　 B．y－2＝2 C．y－1＝－2　 D．y－2＝－2 D　[由点斜式方程，得y－2＝－2．] 3．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________． y＝2x－3　[由斜截式方程，得y＝2x－3．] 4．倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线l的斜截式方程为________． y＝－x－2　[∵倾斜角α＝150°， ∴斜率k＝tan 150°＝－． 由斜截式可得方程为y＝－x－2．] 类型1　直线方程的点斜式 【例1】　根据条件写出下列直线的方程，并画出图形． (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为45°； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)． [解]　(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示． (2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示． (1)　　　　　　　(2) (3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示． (4)k＝＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示． (3)　　　　　　　(4) 　求直线方程的点斜式的步骤 [跟进训练] 1．写出下列直线的点斜式方程． (1)过点(－1，2)，倾斜角为135°； (2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行； (3)斜率为，与x轴交点的横坐标为－7． [解]　(1)y－2＝－(x＋1)． (2)y＝－1． (3)y＝(x＋7)． 类型2　直线方程的斜截式 【例2】　求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(0，1)，斜率为2； (2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3． [解]　(1)y＝2x＋1． (2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)， 故k＝＝，∴直线l的方程为y＝x＋1． (3)∵直线的倾斜角为60°， ∴其斜率k＝tan 60°＝， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， ∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3． 　直线方程的斜截式求解策略 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件． (3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k． [跟进训练] 2．(1)直线y＝ax－的图象可能是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　　D B　[由题意知，斜率与在y轴上的截距异号，故选B．] (2)已知斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程l，若直线l过点(1，1)，求m的值． [解]　由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m． ∵直线l过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，得1＝2×1＋m，∴m＝－1． 类型3　点斜式(斜截式)方程的应用 【例3】　过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； (2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程． [思路点拨]　 [解]　(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，k<0， 则可得A，B(0，1－2k)． ∵与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， ∴⇒k<0． 于是S△AOB＝|OA||OB|＝·(1－2k)＝＝4． 当且仅当－＝－4k，即k＝－时，等号成立． 故△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2． (2)∵A，B(0，1－2k)(k<0)， ∴截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥3＋2＝3＋2． 当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立． 故截距之和最小值为3＋2，此时l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1． 　直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 (1)一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在． (2)构建函数解析式后，应注明变量的取值范围． (3)运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值． [跟进训练] 3．已知直线l过点P(－2，0)，与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程． [解]　设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得 ×|－2|×|b|＝10，b＝±10． ①当b＝10时，直线过点(－2，0)，(0，10)， 斜率k＝＝5． 故直线的斜截式方程为y＝5x＋10． ②当b＝－10时，直线过点(－2，0)，(0，－10)， 斜率k＝＝－5． 故直线的斜截式方程为y＝－5x－10． 综上，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10． 1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 A　[∵直线l的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2．] 2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k＞0，b＞0　 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 　 D．k＜0，b＜0 B　[∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0．] 3．直线y＝kx＋1恒过点(　　) A．(1，0) 　 B．(0，1) C．(－1，0) 　 D．(0，－1) B　[当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点(0，1)．] 4．已知直线l的倾斜角为45°，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为________． y＝x＋3　[因为直线l的倾斜角为45°，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3．] 5．根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为－1，在y轴上截距为－2； (2)过点A(6，－4)，斜率为－． [解]　(1)易知所求直线的斜率k＝－1， 在y轴上的截距b＝－2， 由直线方程的斜截式知， 所求直线方程为y＝－x－2． (2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)， 根据直线方程的点斜式得直线方程为 y＋4＝－(x－6)， 化为斜截式为y＝－x＋4． 直线方程的点斜式和斜截式的关系与运用条件 课时分层作业(二)　直线方程的点斜式 一、选择题 1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　) A．任何一条直线 B．不过原点的直线 C．不与坐标轴垂直的直线 D．不与x轴垂直的直线 D　[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．] 2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝4(x－2)　　　　　 B．y－3＝4(x－2) C．y－3＝4(x＋2) 　 D．y＋3＝4(x＋2) [答案]　A 3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于(　　) A．－　 　 　 B．　 　 　 C．－2　 　 　 D．2 C　[直线x－ay＝4可化为y＝x－，∴－＝2，得a＝－2．] 4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　) A．k1<k2且b1<b2 B．k1<k2且b1>b2 C．k1>k2且b1>b2 D．k1>k2且b1<b2 A　[设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k1<k2，又b1<0，b2>0，所以b1<b2．故选A．] 5．若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是(　　) A．a>1 　 B．0<a<1 C．∅ 　 D．0<a<1或a>1 A　[y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．∴当0<a≤1时，只有一个公共点；当a>1时，有两个公共点，故选A．] 二、填空题 6．直线y＝x－4在y轴上的截距是________． －4　[由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4．] 7．如图，直线l的斜截式方程是y＝kx＋b，则点(k，b)在第________象限． 二　[由题图知，直线l的倾斜角是钝角，则k<0．又直线l与y轴的交点在y轴的正半轴上，则b>0，故点(k，b)在第二象限．] 8．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________． 　[由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则 得k≥．] 三、解答题 9．已知在位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°． 求：(1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． [解]　(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行． ∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0． (2)∵∠A＝60°，∴kAC＝， ∴AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0． 又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1． ∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0． 10．如图，直线l：y－2＝(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程． [解]　设直线l′的倾斜角为α′， 由直线l的方程y－2＝(x－1)知，直线l的斜率为，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝(x－1)，即y＝(x－1)＋2． 综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝(x－1)＋2． 11．将直线y＝(x－2)绕点(2，0)按逆时针方向旋转60°后所得直线方程是(　　) A．y＝－x＋2　　　　 B．y＝x＋2 C．y＝－x－2 　 D．y＝x－2 A　[∵直线y＝(x－2)的倾斜角是60°， ∴按逆时针旋转60°后的直线的倾斜角为120°，斜率为－，且过点(2，0)． ∴其方程为y－0＝－(x－2)， 即y＝－x＋2．] 12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线 B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x0 C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0 D．所有直线都有点斜式和斜截式方程 BC　[A中方程，k＝，x≠－1；D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD错误，BC正确．] 13．将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________． y＝－x　y＝－x＋　[将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋．] 14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1． (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． [解]　(1)证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)． (2)设函数f (x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得－≤k≤1． 所以，实数k的取值范围是． 15．(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是(　　) A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点 C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 D．存在恰经过一个整点的直线 AD　[A正确，如直线y＝x＋，不经过任何整点(x＝0，y＝；x≠0，y是无理数)； B错误，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)； C错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点； D正确，比如直线y＝x只经过一个整点(0，0)．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $