第1章 §1 1.1 一次函数的图象与直线的方程&1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 学习任务 核心素养 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(重点) 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率．(难点、重点) 1．通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养． 1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？已知直线的方向，能确定一条直线吗？ 2．已知直线上一个点和该直线的方向，能确定一条直线吗？ 3．如何刻画直线的方向？ 1．直线的倾斜角 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角． 规定：当直线l和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 范围：倾斜角α的取值范围为． 2．直线的斜率 (1)直线过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x1≠x2)． (2)直线的斜率表示直线的倾斜程度． 3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (1)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示． 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． (2)如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)． 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． 任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？ [提示]　直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴；当倾斜角不是时，直线的斜率存在且唯一． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任一直线都有方向向量，且不唯一． (　　) (2)若直线的一个方向向量的坐标为，则该直线的斜率k＝． (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α． (　　) (4)当x1≠x2时，过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率k＝． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．已知直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为(　　) A．　　　　 B．　　 C．1　　　　 D． B　[由题意可知，直线l的斜率k＝tan 60°＝．] 3．经过点(0，2)和点(3，0)的直线的斜率是________． －　[斜率k＝＝－．] 类型1　直线的倾斜角 【例1】　求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　　(2)　　　　　　　(3) [解]　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°． (1)　　　　　　(2)　　　　　　(3) (2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°， ∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°． (3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°． 　求直线的倾斜角的两点注意 (1)直线倾斜角的取值范围是． (2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为． [跟进训练] 1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α．如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° D　[根据题意，画出图形，通过图形可知： 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°，故选D．] 类型2　直线的斜率 【例2】　(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率； (2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； (3)已知直线l的一个方向向量是，求该直线的斜率； (4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率． [解]　(1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝，k2＝tan 135°＝－1． (2)直线AB的斜率kAB＝＝． (3)直线l的斜率k＝＝． (4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝． 　求直线斜率的三种方法 (1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得； (2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求．要注意，其前提条件是x1≠x2，若x1＝x2时，直线斜率不存在； (3)已知直线的方向向量v＝时，可利用k＝来求，但要注意，当m＝0时，直线的斜率不存在． [跟进训练] 2．经过点P(2，m)和Q(2m，5)的直线的斜率等于，则m的值是(　　) A．4　　　　 B．3　　 C．1或3　　 D．1或4 B　[由＝，解得m＝3．] 类型3　直线的倾斜角、斜率的应用 　三点共线问题 【例3】　如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，求m的值． [解]　kAB＝＝，kAC＝＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，∴m＝－6． 　斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因． [跟进训练] 3．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线． [证明]　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2． ∴kAB＝kAC． ∵直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A， ∴直线AB与直线AC为同一直线． 故A，B，C三点共线． 　数形结合法求倾斜角或斜率范围 【例4】　【链接教材P6例3】 直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角α的范围． [解]　如图所示． ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－， ∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°． 【教材原题·P6例3】 例3　已知直线l的倾斜角为α，斜率为k． (1)若0≤α≤，求斜率k的取值范围； (2)若≤α≤，求斜率k的取值范围； (3)若－≤k≤－，求倾斜角α的取值范围； (4)若－1≤k≤，求倾斜角α的取值范围． [解]　(1)由0≤α≤及正切函数的性质，可得tan 0≤tan α≤tan ，即0≤tan α≤，所以斜率k的取值范围是{k|0≤k≤}． (2)由正切函数的性质，可得当≤α<时，k＝tan α≥1；当<α≤时，k＝tan α≤－1；当α＝时，斜率k不存在． 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－1或k≥1}．特别地，当α＝时，斜率k不存在． (3)由－≤k≤－，可得－≤tan α≤－． 又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是． (4)由－1≤k≤，可得－1≤tan α≤． 又0≤α<π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是． 　直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”． [跟进训练] 4．已知点A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围． [解]　如图所示． 当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是． 1．若直线l经过原点和(－1，1)，则它的倾斜角是(　　) A．45°　　　 B．135° C．45°或135° 　 D．－45° B　[作出直线l，如图所示，由图易知，应选B． ] 2．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　) ①　　　②　　　　③　　　④ A．①　　 B．①② C．①③　　 D．②④ A　[由倾斜角的定义可得．] 3．已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，则实数m的值为________． －2　[∵ ＝tan 45°＝1，∴m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2．但当m＝－1时，A，B重合，舍去． ∴m＝－2．] 4．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________． (3，0)或(0，－3)　[设x轴上点P(m，0)或y轴上点P(0，n)． 由kPA＝1，得＝＝1，得m＝3，n＝－3． 故点P的坐标为(3，0)或(0，－3)．] 5．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°且α≠90°，求直线l的斜率的取值范围． [解]　设直线l的斜率为k． 当45°≤α＜90°时，k＝tan α∈[1，＋∞)； 当90°＜α≤135°时，k＝tan α∈(－∞，－1]． 所以斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度． 2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立． 3．已知倾斜角α的范围，求斜率k的范围，实质是求k＝tan α的值域；已知斜率k的范围，求倾斜角α的范围，实质是在上解关于正切函数的三角不等式问题，可借助正切函数图象来解决此类问题． 课时分层作业(一)　一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 一、选择题 1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　) A．3　　 B．－2　 C．2　　 D．不存在 B　[由题意可得AB的斜率为k＝＝－2．] 2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0) C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1) D　[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．] 3．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 D　[直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0．直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2．故选D．] 4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　) A．1 　 B． C． 　 D．－ B　[法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l的斜率k＝tan 2α＝．故选B． 法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，∴l的斜率k＝tan 2α＝＝＝．故选B．] 5．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 　 B．4 C．1或3 　 D．1或4 A　[∵kMN＝＝1，∴m＝1．] 二、填空题 6．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是________． 2　[如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2．] 7．已知A(2，－3)，B(4，3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________． 12　[因为A，B，C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即＝，解得m＝12．] 8．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________． 　[当0≤k<时，即0≤tan α<，又α∈，所以α∈．] 三、解答题 9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α． (1)A(2，3)，B(4，5)； (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10)． [解]　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°． (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°， 所以倾斜角α＝135°． (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°． 10．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． [解]　(1)如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k． 由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)． 易知kPA≤k≤kPB． 由斜率公式得kPA＝，kPB＝8， 所以≤k≤8． 故的最大值是8，最小值是． (2)由(1)知，的最大值是8，最小值是． 又＝＋1， 所以的最大值是9，最小值是． 11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) 　 B．(－1，＋∞) C．(－1，1) 　 D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C　[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝>0，∴－1<m<1．] 12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则(　　) A．a＝3，b＝1 　 B．a＝2，b＝2 C．a＝2，b＝3 　 D．a＝3，b∈R且b≠1 D　[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．] 13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　) A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率 B．若直线l的斜率是k，则(1，k)是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案]　ABC 14．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为________；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为________． 0　(－∞，1)∪(1，＋∞)　[因为kAC＝＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0． 又kAB＝＝，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0． ∴k≠1．] 15．光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率． [解]　法一：设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB． ∵kQA＝，kQB＝，∴＝－． 解得y＝，即点Q的坐标为，∴k入＝kQA＝＝－． 法二：设Q(0，y)，如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)， kAB′＝＝－，由题意得，A，Q，B′三点共线． 从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝－． 所以有＝， 解得y＝，所以点Q的坐标为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $