3.2.1 双曲线的标准方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程、几何性质及应用，通过焦点三角形面积计算、标准方程求解等例题导入，结合方法总结与跟进训练，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过反思领悟提炼方法培养推理能力，如焦点三角形面积的两种求法，结合炮弹爆炸点轨迹等情境体现模型观念，分层训练覆盖不同层次。学生能提升抽象与应用能力，教师可借助系统资源提高教学效率。

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第3章 圆锥曲线与方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 3.2.1　双曲线的标准方程 学习任务 核心素养 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过对双曲线概念的学习，培养数学抽象素养． 2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象等素养． 3.2.1　双曲线的标准方程 做下面一个实验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？ 点M在运动过程中满足什么几何条件？ 必备知识·情境导学探新知 3.2.1　双曲线的标准方程 知识点1　双曲线的定义 文字 语言 平面上到两个定点F1，F2的距离____________为正常数(小于__________)的点的轨迹叫作双曲线 符号 语言 ||PF1|－|PF2||＝正常数(正常数＜|F1F2|) 焦点 两个定点F1，F2 焦距 两个焦点之间的距离|F1F2| 之差的绝对值 |F1F2| 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 思考　1．(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？ [提示]　(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (2)双曲线的右支． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 体验　1．(1)已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(　　) A．充分条件　　　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)平面内到点F1(6，0)的距离减去到点F2(－6，0)的距离之差等于12的点的集合是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)B　(2)D　[(1)根据双曲线的定义知甲⇒/ 乙，乙⇒甲，因此甲是乙的必要条件，故选B． (2)设动点为P，则|PF1|－|PF2|＝12＝|F1F2|，点P的轨迹为以F2为端点的一条射线，故选D．] 知识点2　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) _______________________ a，b，c的关系 c2＝________ ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 思考　2．如何根据双曲线的标准方程判断焦点所在的坐标轴？ [提示]　双曲线的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的系数为正，即“焦点跟着正的跑”．这是判断双曲线焦点所在坐标轴的重要方法． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 体验　2．(1)若双曲线方程为＝1，则其焦点在________轴上，焦点坐标为_______________． (2)已知a＝5，c＝10，焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为 __________． x (6，0)和(－6，0) ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)x　(6，0)和(－6，0)　(2)＝1　[(1)因为方程中x2的系数>0，所以焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝20，从而c2＝16＋20＝36，c＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)． (2)由已知得b2＝c2－a2＝75，于是双曲线的标准方程为＝1．] 类型1　双曲线定义的应用 【例1】　若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 关键能力·合作探究释疑难 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25，∴a＝3，b＝4，c＝5． 设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知 ||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6． 解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1<c－a，则|MF2|＝1不合题意， 因此，点M到另一个焦点的距离为13． (2)由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16． 反思领悟　求双曲线中焦点△PF1F2面积的两种方法 (1)方法一：(先求|PF1|·|PF2|的值) ①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a； ②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值； ④利用公式＝求得面积． (2)方法二：利用公式＝×|F1F2|×|yp|(yp为P点的纵坐标)求得面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 1．(1)已知双曲线C的方程是＝1，其上、下焦点分别是F2，F1，点M在双曲线C上，且|MF1|＝9，则|MF2|等于(　　) A．17 B．1 C．17或1 D．16或1 (2)设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．4 B．8 C．24 D．48 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)A　(2)C　[(1)由双曲线方程知a2＝16，b2＝20，则c2＝36，∴a＝4，b＝2，c＝6． 根据双曲线的定义得||MF2|－9|＝8，即|MF2|－9＝±8， 解得|MF 2|＝17或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1<c－a，不合题意，舍去，故选A． (2)由题意得 解得|PF1|＝8，|PF2|＝6． 在△PF1F2中，|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝10， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴＝|PF1||PF2|＝24．] 类型2　求双曲线的标准方程 【例2】　【链接教材P131例2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9．故所求双曲线的标准方程为＝1． (2)双曲线＝1的焦点在x轴， 因此设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20．① ∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1．② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1． (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0． ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为＝1． 【教材原题·P131例2】 例2　已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知 2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2， 因此a＝1． 又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3． 因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1． 反思领悟　用待定系数法求双曲线方程的步骤 (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 2．(1)已知动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离之差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1(x－3) D．＝1(x≥3) (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准方程为___________． √ ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)D　(2)＝1　[(1)由题意知|PA|－|PB|＝6，则点P的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支，且2a＝6，c＝5，所以b2＝c2－a2＝52－32＝42＝16， 所以点P的轨迹方程为＝1(x≥3)，故选D． (2)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和(2，2)代入方程得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为＝1．] 类型3　方程表示双曲线的条件 【例3】　【链接教材P131例3】 给出方程＝1． (1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围； (2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0， 即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4， 因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有 解得k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)． 【教材原题·P131例3】 例3　已知方程＝1． (1)若方程表示双曲线，求a的取值范围； (2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　(1)方程表示双曲线，则(4＋a)(5＋a)<0． 解得－5<a<－4． 因此，当－5<a<－4时，方程表示双曲线，且原方程可写为＝1． (2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1． 所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0，1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点． 反思领悟　方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 3．(1)已知方程＝1表示双曲线，则k的取值范围是________． (2)椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a＝________． (－1，1)　 1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (1)(－1，1)　(2)1　[(1)由题意得(1＋k)(1－k)>0，即(k＋1)(k－1)<0， 解得－1<k<1． (2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a>0)． 由椭圆方程，知c2＝4－a2， 所以a＋2＝4－a2， 即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)． 因此a的值为1．] 类型4　与双曲线有关的轨迹问题 【例4】　如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 尝试与发现 在△ABC中，由2sin A＋sin C＝2sin B能得到什么结论？由此思考动点C满足的条件，进而求出轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B， ∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|． 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6． 即所求轨迹方程为＝1(x>)． 反思领悟　求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种 (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [跟进训练] 4．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 [解]　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5，0)，半径r1＝1． 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5，0)，半径r2＝4． 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|． ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝． 故动圆圆心M的轨迹方程为＝1． 1．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线 学习效果·课堂评估夯基础 √ 3.2.1　双曲线的标准方程 D　[因为|F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，所以当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，轨迹为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，轨迹为一条射线．] 2．已知双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A．　B．　C．　D．(，0) √ C　[将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，于是c＝＝，故右焦点坐标为．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 3．“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充要条件　　　　　 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 √ B　[当k>9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．所以“k>9”是“方程＝1表示双曲线”的充分而不必要条件．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 4．已知双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，设另一个焦点为F2，点P是双曲线上的一点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________．(用数值表示) 17或1　[由题意知，双曲线＝1(a>0)的一个焦点为F1(5，0)，所以c＝5，又由a 2＝c2－b2＝25－9＝16，所以a＝4， 因为点P为双曲线上一点，且|PF1|＝9， 根据双曲线的定义可知||PF2|－|PF1||＝2a＝8， 所以|PF2|＝17，或|PF2|＝1．] 17或1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 5．设双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且与椭圆的一个公共点的纵坐标为4，则双曲线的标准方程为__________． ＝1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 ＝1　[由椭圆方程得焦点坐标为(0，±3)，椭圆与双曲线的一个公共点为(，4)． 设所求的双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则解得 故所求双曲线的标准方程为＝1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程． [提示]　平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线． 标准方程：＝1(a>0，b>0)和＝1(a>0，b>0)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (2)方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n满足什么条件？ [提示]　①若表示双曲线，则满足mn>0． ②若表示焦点在x轴上的双曲线，则满足 ③若表示焦点在y轴上的双曲线，则满足 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 (3)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PF1|，|PF2|的最小值分别是多少？ [提示]　|PF1|的最小值为c－a，|PF2|的最小值为a＋c． (4)定义法求双曲线方程时，如何确定点的轨迹是双曲线，还是双曲线的一支？ [提示]　根据条件看是|PF1|－|PF2|＝2a还是||PF1|－|PF2||＝2a， 若|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a，点的轨迹是双曲线的一支， 若||PF1|－|PF2||＝2a，则点的轨迹是双曲线． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 一、选择题 1．已知平面内两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 课时分层作业(二十七)　双曲线的标准方程 54 A　[当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 2．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于 (　　) A．　　　　B．5　　　　C．7　　　　D． D　[根据题意可知，双曲线的标准方程为＝1． 由其焦距为4，得c＝2， 则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 56 3．已知双曲线＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线， ∴|ON|＝|PF2|，∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10， ∴|PF2|＝14或6，∴|ON|＝|PF2|＝7或3．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 57 √ 4．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．＝1 D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 58 B　[由线段PF1的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则有解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 √ 5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和 (－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 60 C　[由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16， 即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 二、填空题 6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2，＋∞)　[由题意知解得m>2．] (2，＋∞) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 62 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．] 26　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 63 8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为__________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x2－＝1　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 64 x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 由题意得B(2，0)，C(2，3)， 所以解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 三、解答题 9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 66 [解]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 10．设声速为k米/秒，在相距10k米的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 68 设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)， 则||PA|－|PB||＝6k<10k，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k，2c＝10k， 从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 √ 11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 70 A　[设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2． ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 12．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A．2 B．10 C．8 D．6 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 72 13．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 73 6　[设双曲线的右焦点为F2，如图，连接PF2，QF2．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，而Q(0，2)，F2(2，0)，所以|QF2|＝＝4，所以要求的最小值为6．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 14．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ±　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝，R为△ABC外接圆的半径，∴＝． 又∵|BC|－|AC|＝±8，∴＝±＝±．] ±　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 75 15．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 76 [解]　设顶点A的坐标为(x，y)，则 kAB＝，kAC＝． 由题意，得·＝m， 即＝1(y≠0，m≠0)． 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 77 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢！ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 3.2.1　双曲线的标准方程 $