3.4 曲线与方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

3.4　曲线与方程 学习任务 核心素养 1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，理解方程的曲线和曲线的方程的概念．(难点) 2．了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法．(重点) 3．掌握根据已知条件求曲线方程的方法．(重点) 1．通过学习曲线的方程、方程的曲线的概念，培养数学抽象素养． 2．借助于求动点的轨迹方程，提升数学运算、逻辑推理的数学素养． 在我们的现实生活中，处处可见曲线的身影，从飞逝的流星到雨后的彩虹，从古代的石拱桥到现代雄伟壮观的跨江(河)桥梁，从众多的商品设计到卫星上天的控制等等，无不体现人们对曲线的刻画和应用．随着科学技术的运用，设计者运用点的坐标来刻画曲线，即把曲线数量化，曲线与点的坐标如何建立联系呢？ 知识点　曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f (x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点， 此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 求曲线方程时，建立的坐标系不同，所得的曲线方程相同吗？ [提示]　不相同，但都是该曲线的方程． 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若曲线C上的点满足方程f (x，y)＝0，则坐标不满足方程f (x，y)＝0的点不在曲线C上． (　　) (2)方程x＋y－2＝0是以A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程． (　　) (3)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 类型1　曲线与方程的概念的理解 【例1】　(1)已知坐标满足方程f (x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　) A．曲线C上的点的坐标都适合方程f (x，y)＝0 B．凡坐标不适合f (x，y)＝0的点都不在曲线C上 C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f (x，y)＝0 D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f (x，y)＝0，有些不适合f (x，y)＝0 (2)如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是(　　) A　　　　　　　B C　　　　　　　D (1)C　(2)D　[(1)满足方程f (x，y)＝0的点都在曲线C上，但曲线C上的点不一定都适合方程f (x，y)＝0，故A不正确；坐标不适合f (x，y)＝0的点，也可能在曲线上，故B不正确；因为满足方程f (x，y)＝0的点，都在曲线C上，故不在曲线C上的点必不适合方程f (x，y)＝0，故C正确，D不正确． (2)A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0，0)为圆心，1为半径的圆，故A错； B中方程x2－y2＝0可化为(x－y)(x＋y)＝0，表示两条直线x－y＝0，x＋y＝0，故B错； C中方程lg x＋lg y＝0可化得y＝(x>0)，此方程只表示第一象限的部分，故C错； D中的方程y＝|x|去绝对值得y＝表示两条射线，所以D正确．] 　判断方程是否是曲线的方程要从两个方面着手： 一是检验点的坐标是否适合方程； 二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标一一对应关系． [跟进训练] 1．判断下列命题是否正确． (1)以坐标原点为圆心、r为半径的圆的方程是y＝； (2)过点A(2，0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2． [解]　(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝的解，则y0＝，即＝r2．两边开平方取算术平方根，得＝r，即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y＝，而应是y＝±． (2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2． 类型2　求曲线的方程 　直接法求曲线的方程 【例2】　如图，已知F (1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，求动点P的轨迹方程． [解]　设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x＋1，0)，＝(2，－y)，＝(x－1，y)，＝(－2，y)，由·＝·， ∴(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x． 　相关点法(代入法)求曲线的方程 【例3】　已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一个动点，若P是RA的中点，则点P的轨迹方程为(　　) A．y＝－2x　　　　　 B．y＝2x－6 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋4 C　[设P(x，y)，R(x1，y1)，已知A(1，0)，由P是RA的中点， ∴则 ① ∵点R是直线l上的一个动点，∴y1＝2x1－4．② 把①代入②得：2y＝2(2x－1)－4，即y＝2x－3． 点P的轨迹方程为y＝2x－3． 　定义法 【例4】　已知动圆Q与圆C1：x2＋＝9外切，与圆C2：x2＋＝9内切，则动圆圆心Q的轨迹方程为__________． ＝1(y>0)　[设动圆Q的半径为R，因为动圆Q与圆C1：x2＋＝9外切，与圆C2：x2＋＝9内切，可得＝3＋R，＝R－3，所以＝6<＝8， 由双曲线的定义，可得动圆圆心Q的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的上支， 其中2a＝6，2c＝8，解得a＝3，c＝4， 又由b2＝c2－a2＝16－9＝7， 所以动圆圆心Q的轨迹方程为＝1(y>0)．] 　求曲线的方程的常用方法 (1)直接法：建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求x，y之间的关系式； (2)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义写出动点的轨迹方程； (3)相关点法(代入法)：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点． [跟进训练] 2．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为(　　) A．x2－3y2＝－2 B．x2－3y2＝2(x≠±1) C．x2－3y2＝2 D．x2－3y2＝－2(x≠±1) D　[由题意得，A(－1，1)，B(1，－1)，设P(x，y)(x≠±1)，则kAP＝，kBP＝． 由kAP·kBP＝得：kAP·kBP＝·＝，整理得x2－3y2＝－2(x≠±1)．] 3．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且＝5，＝，则点M的轨迹方程为(　　) A．＝1　　　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 A　[设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由＝，可得(x，y)＝(x0，0)＋(0，y0)，则解得 因为＝5，可得＋＝25，即＝1．] 1．曲线C的方程为y＝x(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是(　　) A．(0，0)　　　　　　　 B． C．(1，5) D．(4，4) D　[利用“曲线的方程”和“方程的曲线”的意义进行判断．] 2．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)(　　) A．在直线l上，但不在曲线C上 B．在直线l上，也在曲线C上 C．不在直线l上，也不在曲线C上 D．不在直线l上，但在曲线C上 B　[将点M(2，1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B．] 3．方程y＝表示的曲线为图中的(　　) A　　　　　　B C　　　　　　D C　[y＝，x≠0，为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B． 又因为当x>0时，y＝>0； 当x<0时，y＝－>0，所以排除D．] 4．等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2，1)，C(0，－3)，则另一个顶点A的轨迹方程是(　　) A．x－2y＋1＝0(x≠0) B．y＝2x－1 C．x＋2y＋1＝0(y≠1) D．x＋2y＋1＝0(x≠1) D　[设A(x，y)，依题意，知|AB|＝|AC|，所以＝， 化简得x＋2y＋1＝0． 又因为A，B，C三点不能共线，所以x≠1，故选D．] 5．已知定长为6的线段，其端点A，B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，则M点的轨迹方程为__________． x2＋y2＝9　[作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝|AB|＝3． 所以M的轨迹为以原点O为圆心，以3为半径的圆，故M点的轨迹方程为x2＋y2＝9．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)求动点的轨迹方程的方法有哪些？ [提示]　直接法、定义法、相关点法(代入法)． (2)“轨迹”与“轨迹方程”是同一个概念吗？ [提示]　“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状． 课时分层作业(三十二)　曲线与方程 一、选择题 1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　) A．一条直线　　　　　 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 B　[∵|AC|＝|BC|，∴C点轨迹是线段AB的垂直平分线，注意当点C与A，B共线时，不符合题意，应去掉．] 2．到点(－1，0)与直线x＝3的距离相等的点M的轨迹方程为(　　) A．x2＝－4y＋4 B．y2＝－4x＋4 C．x2＝－8y＋8 D．y2＝－8x＋8 D　[设M(x，y)，则由已知得＝|x－3|，变形为y2＝－8x＋8，故选D．] 3．“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x，y)＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 C　[“曲线C的方程是f (x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”和“以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x，y)＝0”的必要而不充分条件，故选C．] 4．到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是(　　) A．x＋y＝1 B．x＋y＝±1 C．|x|＋|y|＝1 D．|x＋y|＝1 C　[动点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别为|y|，|x|，故|x|＋|y|＝1．] 5．关于方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是(　　) A．表示的图形都是一条直线和一个圆 B．表示的图形都是两个点 C．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点 D．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆 C　[x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1． x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔⇔表示点(0，1)，(0，－1)．故选C．] 二、填空题 6．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是___________________________． ①y＝与y2＝x；②y＝x与＝1；③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x． ③　[①中y＝中y≥0，x≥0，而y2＝x时x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．] 7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是__________． 一条射线和一条直线　[由方程得或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3．] 8．已知动点P在曲线2y2－x＝0上移动，则点A(－2，0)与点P连线的中点的轨迹方程是__________． x＝4y2－1　[设点A(－2，0)与点P连线的中点坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得P(2x＋2，2y)， ∵动点P在曲线2y2－x＝0上，∴2(2y)2－(2x＋2)＝0，即x＝4y2－1．] 三、解答题 9．已知方程x2＋4x－1＝y． (1)判断点P(－1，－4)，Q(－3，2)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值； (3)求该方程表示的曲线与曲线y＝2x＋7的交点的坐标． [解]　(1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P在曲线上，点Q不在曲线上． (2)由题意得，＋4×－1＝m－1，即m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝－4． (3)联立消去y，得x2＋4x－1＝2x＋7，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4， 于是y1＝11，y2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2，11)和(－4，－1)． 10．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． [解]　如图所示，设点A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)． 因为M为线段AB的中点，所以a＝2x，b＝2y，即A(2x，0)，B(0，2y)． 因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1． 而kAP＝＝(x≠1)，kPB＝＝，所以·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因为当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点坐标是(1，2)， 它满足方程x＋2y－5＝0． 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0． 11．已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－(y－1) B．x2＝－(y－1)(x≠±1) C．xy＝x2－1 D．xy＝x2－1(x≠±1) B　[设M(x，y)，由题意得＝2(x≠±1)，整理得x2＝1－y(x≠±1)，即x2＝－(y－1)(x≠±1)．] 12．已知动点M(x，y)到直线l：3x＋4y＋1＝0的距离等于1，则点M的轨迹方程为__________． 3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0　[由题意知＝1，∴3x＋4y＋1＝±5． 故点M的轨迹方程为3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0．] 13．给出下列说法： ①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线； ②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2； ③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点． 其中正确说法的序号是__________． ③　[对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2，0))，所以①错误； 对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误； 对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2，2)四个点，所以③正确．] 14．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是__________． 2　[方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或 或或 如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2． 15．已知在平面直角坐标系中，动点M到定点F (－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数． (1)求动点M的轨迹Γ的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程． [解]　(1)设动点M(x，y)，由已知可得＝， 即x2＋2x＋3＋y2＝， 化简得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1． (2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)， 由 得 由点P在轨迹Γ上，得＝1， 整理得＋4＝1， ∴线段PA的中点B的轨迹方程是＝1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $