课时分层作业33 圆锥曲线的应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(三十三)　圆锥曲线的应用 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共106分 一、选择题 1．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点(　　) A．0.5 m　　B．1 m　　C．1.5 m　　D．2 m 2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　　) A．2 m B．4 m C．4 m D．12 m 3．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部(假设车顶为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.6 m，已知行车道总宽度＝7 m，则车辆通过隧道的限制高度为(　　) A．3.90 m B．3.95 m C．4.00 m D．4.05 m 4．人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫作双耳定位效应(简称双耳效应)．根据双耳的时差，可以确定声源P必在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上．又若声源P所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源P对于测听者的方向偏角α，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左右两耳相距约为20 cm，声源P的声波传及甲的左、右两耳的时间差为3×10-5 s，声速为334 m/s，则声源P对于甲的方向偏角α的正弦值约为(　　) A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05 5．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　) A．2π B．3π C．2π D．4π 二、填空题 6．小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支，如图，O为双曲线的一支的顶点．小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB与OC垂直，AB＝80 cm，OC＝20 cm，若该双曲线的焦点位于直线OC上，则在点O以下的焦点距点O________cm． 7．某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．如图，它的最小半径为20 m，上口半径为10 m，下口半径为20 m，高为60 m，则该双曲线的离心率为________． 8．从椭圆的一个焦点F1发出的光线射到椭圆上的点P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点F2，事实上，点P处的切线＝1垂直于∠F1PF2的角平分线，已知椭圆C：＝1的两个焦点是F1，F2，点P是椭圆上除长轴端点外的任意一点，∠F1PF2的角平分线PT交椭圆C的长轴于点T，则t的取值范围是__________． 三、解答题 9．如图，是一抛物线型拱门示意图，拱门边界线是抛物线的一部分，抛物线的轴为拱门的对称轴，拱门底部AB宽8米，顶点O距离地面6米． (1)以拱门顶点O为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求拱门边界线所在抛物线的方程； (2)节日期间需要在拱门对称轴上离地面4米处悬挂一节日灯笼，如图，用两根对称的牵引绳固定，求其中一根牵引绳长度的最小值．(灯笼看作点P) 10．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系． (1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围． 11．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s(声速为340 m/s)，则爆炸点所在曲线可能为(　　) A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．线段 D．圆 12．(多选题)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P处变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点处第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　　) A．a1＋c1＞2(a2＋c2) B．a1－c1＝a2－c2 C．e1＝ D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 13．光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点F1，F2的椭圆Γ与双曲线Ω构成，现一光线从左焦点F1发出，依次经Ω与Γ反射，又回到了点F1，历时t1秒；若将装置中的Ω去掉，如图②，此光线从点F1发出，经Γ两次反射后又回到了点F1，历时t2秒．若t2＝8t1，则Γ与Ω的离心率之比为(　　) 图①　　　　　　图② A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶ 14．某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线(人的身高不计，铅球看成一个质点)，如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10 m．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____________m．(空气阻力不计，重力加速度为) 15．某城市决定在夹角为30°的两条道路EB，EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，AB＝2千米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G． (1)若OE＝3千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值； (2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，游乐区域△OMN的面积最大？ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三十三) 1．B　[若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程x2＝2py(p>0)，集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2p＝4， 所以抛物线方程x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)． 所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．] 2．B　[由题意，以拱桥顶点为原点，建立直角坐标系，设抛物线方程x2＝－2py， 由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，代入抛物线方程解得p＝4， 所以抛物线方程x2＝－8y，水面下降1 m， 即y＝－3，解得x1＝2，x2＝－2， 所以此时水面宽度d＝2x1＝4(m)． ] 3．B　[设抛物线的方程为x2＝ay，可知点(5，－5)在该抛物线上，则－5a＝52，解得a＝－5，所以，抛物线的方程为x2＝－5y， 将x＝3.5代入抛物线方程得－5y＝3.52，解得y＝－2.45， 因此，车辆通过隧道的限制高度为7－2.45－0.6＝3.95(m)．] 4．D　[设两耳所在双曲线的实轴长为2a，焦距为2c，虚轴长为2b， 则2a＝3×10-5×334＝0.010 02，2c＝0.2(m)，由题意tan ＝， 所以＝，所以sin α＝＝＝＝＝0.050 1≈0.05．] 5．C　[该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为， 且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设M，N，代入双曲线方程可得＝1，＝1，即＝＝1， 作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π．] 6．30(－1)　[设该双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)．因为渐近线相互垂直，所以a＝b． 由题意知，＝1，解得a＝b＝30，c＝30， 故该双曲线的一个焦点位于点O以下30(－1)cm．] 7．　[以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设双曲线的方程为 ＝1，A，B． 将A，B点的坐标代入双曲线方程得 则 解得 ∴c2＝202＋402＝2 000，即c＝20， 故双曲线的离心率e＝＝＝．] 8．　[由题意，椭圆C在点P处的切线＝1，且x0∈(－2，2)， 所以切线的斜率为－，而∠F1PF2的角平分线的斜率为， 又由切线垂直于∠F1PF2的角平分线， 所以－·＝－1， 即t＝x0∈．] 9．解：　(1)以抛物线的顶点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则A(－4，－6)， B(4，－6)， 设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．因为B点在抛物线上， 所以42＝－2p×(－6)，解得p＝，所以抛物线的方程为x2＝－y． (2)设P为灯笼所在点，Q为抛物线上设置牵引绳的点， 则＝， ＝(－6y0)， 当y＝－时，的最小值为，即一条牵引绳长度的最小值为． 10．解：　(1)由题意知最高点为(2＋h，4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4， 当h＝1时，最高点为(3，4)，方程为 y＝a(x－3)2＋4， 将A(2，3)代入，得 3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1． 所以当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程y＝＋4． (2)将点A(2，3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1，所以 a＝－． 由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5，6]内有一解． 令f (x)＝a[x－(2＋h)]2＋4＝－[x－(2＋h)]2＋4， 则f (5)＝－(3－h)2＋4≥0，且 f (6)＝－(4－h)2＋40．解得1h． 所以达到压水花的训练要求时h的取值范围为． 11．B　[设爆炸点为P，由声速为340 m/s，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s， 则|PA|－|PB|＝680．当680＜|AB|时，点P所在的轨迹为双曲线的一支； 当680＝|AB|时，点P所在的轨迹为一条射线．故选B．] 12．ABC　[对于A，由题可知a1＝2a2，c1＝a2＋c2＞2c2，所以a1＋c1＞2(a2＋c2)，所以选项A正确； 对于B，由a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，得a1－c1＝a2－c2，所以选项B正确； 对于C，由a1＝2a2，c1＝a2＋c2，得＝＝，即e1＝，所以选项C正确； 对于D，根据选项C知，2e1＝e2＋1＞2e2，所以e1＞e2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D错误． 故选ABC．] 13．A　[设＝2c，椭圆Γ的长轴长为2a1，双曲线Ω的实轴长为2a2，光线速度为v， 在图②中，△CDF1的周长为＝＝4a1＝vt2，又t2＝8t1， 所以4a1＝8vt1，可得a1＝2vt1， 在图①中，由双曲线的定义可得＝2a2，由椭圆的定义可得＝2a1，又＝，则＝＝2a1－－|AB|－|AF1|＝2a2， 即2a1－＝2a2， 由题意可知，△ABF1的周长为＝vt1，即2a2＝2a1－vt1＝2a1－＝，所以，＝．因此，Γ与Ω的离心率之比为e1∶e2＝∶＝a2∶a1＝3∶4．] 14．5　[设铅球运动时间为t0 s，t时刻的水平方向位移为x m，则x＝v0t cos θ． 由v0sin θ－gt0＝0知t0＝， ∴x＝，故当θ＝时，xmax＝＝10， ∵g＝10 m/s2， ∴解得：t0＝ s，v0＝10 m/s， ∴h＝g＝2.5 m， 如图建立平面直角坐标系，易得P(－5，－2.5)， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则抛物线的焦点到准线的距离p＝＝＝5 m．] 15．解：　(1)以点O为坐标原点，OD，OE所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设椭圆方程为＝1，因为OE＝3，则E， 又EB，EF夹角为30°，所以直线EF的方程为y＝－x＋3． 又因为AB＝2，则b＝1，则椭圆方程为＋y2＝1， 为了不破坏道路EF，则直线EF与椭圆至多只有一个交点，联立方程组 得x2－6a2x＋8a2＝0， 由于直线EF与半椭圆至多只有一个交点， 则27a4－·8a20，又a>0，得0<a． 当a＝时，半椭圆形主题公园与道路直线EF相切，所以amax＝． 即椭圆长半轴长的最大值为． (2)设椭圆焦距为2c，由椭圆的离心率＝，b＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝4， 所以，椭圆的方程为＋y2＝1(x≥0)． 设G，又MN的倾斜角为45°，且交OD于G， 所以直线MN的方程为x＝y＋m， 由 得5y2＋2my＋m2－4＝0， 设M，N，则y1＋y2＝－m，y1y2＝， ＝ ＝＝， 则S△OMN＝×OG×＝m×＝1， 当且仅当m＝时，△OMN的面积最大． 所以当线段OG长为千米，游乐区域△MNO的面积最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $