课时分层作业32 曲线与方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(三十二)　曲线与方程 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分 一、选择题 1．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是(　　) A．一条直线　　　　　 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点 2．到点(－1，0)与直线x＝3的距离相等的点M的轨迹方程为(　　) A．x2＝－4y＋4 B．y2＝－4x＋4 C．x2＝－8y＋8 D．y2＝－8x＋8 3．“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x，y)＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件 4．到两坐标轴距离之和等于1的点的轨迹方程是(　　) A．x＋y＝1 B．x＋y＝±1 C．|x|＋|y|＝1 D．|x＋y|＝1 5．关于方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形叙述正确的是(　　) A．表示的图形都是一条直线和一个圆 B．表示的图形都是两个点 C．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点 D．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆 二、填空题 6．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是___________________________． ①y＝与y2＝x；②y＝x与＝1；③y2－x2＝0与|y|＝|x|；④y＝lg x2与y＝2lg x． 7．方程·(x＋y＋1)＝0表示的几何图形是__________． 8．已知动点P在曲线2y2－x＝0上移动，则点A(－2，0)与点P连线的中点的轨迹方程是__________． 三、解答题 9．已知方程x2＋4x－1＝y． (1)判断点P(－1，－4)，Q(－3，2)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值； (3)求该方程表示的曲线与曲线y＝2x＋7的交点的坐标． 10．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程． 11．已知点A，B的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率之差是2，则点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－(y－1) B．x2＝－(y－1)(x≠±1) C．xy＝x2－1 D．xy＝x2－1(x≠±1) 12．已知动点M(x，y)到直线l：3x＋4y＋1＝0的距离等于1，则点M的轨迹方程为__________． 13．给出下列说法： ①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线； ②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2； ③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点． 其中正确说法的序号是__________． 14．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是__________． 15．已知在平面直角坐标系中，动点M到定点F (－，0)的距离与它到定直线l：x＝－的距离之比为常数． (1)求动点M的轨迹Γ的方程； (2)设点A，若P是(1)中轨迹Γ上的动点，求线段PA的中点B的轨迹方程． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(三十二) 1．B　[∵|AC|＝|BC|，∴C点轨迹是线段AB的垂直平分线，注意当点C与A，B共线时，不符合题意，应去掉．] 2．D　[设M(x，y)，则由已知得＝|x－3|，变形为y2＝－8x＋8，故选D．] 3．C　[“曲线C的方程是f (x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”和“以方程f (x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f (x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f (x，y)＝0”的必要而不充分条件，故选C．] 4．C　[动点P(x，y)到x轴和y轴的距离分别为|y|，|x|，故|x|＋|y|＝1．] 5．C　[x(x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1． x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇔⇔表示点(0，1)，(0，－1)．故选C．] 6．③　[①中y＝中y≥0，x≥0，而y2＝x时x≥0，y∈R，故不表示同一曲线；②中＝1时，y≠0，而y＝x中y＝0成立，故不表示同一曲线；④中定义域不同，故只有③正确．] 7．一条射线和一条直线　[由方程得或x－3＝0，即x＋y＋1＝0(x≥3)或x＝3．] 8．x＝4y2－1　[设点A(－2，0)与点P连线的中点坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得P(2x＋2，2y)， ∵动点P在曲线2y2－x＝0上，∴2(2y)2－(2x＋2)＝0，即x＝4y2－1．] 9．解：　(1)因为(－1)2＋4×(－1)－1＝－4，(－3)2＋4×(－3)－1≠2，所以点P在曲线上，点Q不在曲线上． (2)由题意得，＋4×－1＝m－1，即m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝－4． (3)联立消去y，得x2＋4x－1＝2x＋7，即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4， 于是y1＝11，y2＝－1，故两曲线的交点坐标为(2，11)和(－4，－1)． 10．解：　如图所示，设点A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)． 因为M为线段AB的中点，所以a＝2x，b＝2y，即A(2x，0)，B(0，2y)． 因为l1⊥l2，所以kAP·kPB＝－1． 而kAP＝＝(x≠1)，kPB＝＝，所以·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因为当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点坐标是(1，2)， 它满足方程x＋2y－5＝0． 综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0． 11．B　[设M(x，y)，由题意得＝2(x≠±1)，整理得x2＝1－y(x≠±1)，即x2＝－(y－1)(x≠±1)．] 12．3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0　[由题意知＝1，∴3x＋4y＋1＝±5． 故点M的轨迹方程为3x＋4y＋6＝0或3x＋4y－4＝0．] 13．③　[对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2，0))，所以①错误； 对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误； 对于③，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2，2)四个点，所以③正确．] 14．2　[方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或 或或 如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2． 15．解：　(1)设动点M(x，y)，由已知可得＝， 即x2＋2x＋3＋y2＝， 化简得＋y2＝1， 即所求动点M的轨迹Γ的方程为＋y2＝1． (2)设点B(x，y)，点P(x0，y0)， 由 得 由点P在轨迹Γ上，得＝1， 整理得＋4＝1， ∴线段PA的中点B的轨迹方程是＝1． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $