课时分层作业27 双曲线的标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(二十七) 1．A　[当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以点P的轨迹是双曲线．故选A．] 2．D　[根据题意可知，双曲线的标准方程为＝1． 由其焦距为4，得c＝2， 则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝．] 3．A　[连接ON(图略)，则ON是△PF1F2的中位线， ∴|ON|＝|PF2|， ∵||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10， ∴|PF2|＝14或6， ∴|ON|＝|PF2|＝7或3．] 4．B　[由线段PF1的中点坐标为(0，2)知P(，4)， 设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 则有解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．故选B．] 5．C　[由 ⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16， 即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．故选C．] 6．(2，＋∞)　[由题意知解得m>2．] 7．26　[根据双曲线定义知，|AF2|－|AF1|＝8，|BF2|－|BF1|＝8．所以|AF2|＋|BF2|＝16＋|AF1|＋|BF1|＝16＋|AB|＝16＋5＝21．所以△ABF2的周长是|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．] 8．x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 由题意得B(2，0)，C(2，3)， 所以解得 所以双曲线的标准方程为x2－＝1．] 9．解：　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 10．解：　以直线AB为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系． 设炮弹爆炸点的轨迹上的点P的坐标为(x，y)， 则||PA|－|PB||＝6k<10k，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝6k，2c＝10k， 从而a＝3k，c＝5k，b2＝c2－a2＝16k2． 所以炮弹爆炸点的轨迹方程为＝1． 11．A　[设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1(0，0)和O2(4，0)，半径分别为1和2， 由两圆外切的充要条件，得 |MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2． ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)．] 12．B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5．因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．故选B．] 13．6　[设双曲线的右焦点为F2，如图，连接PF2，QF2．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝|PF2|＋2，所以|PF1|＋|PQ|＝|PF2|＋|PQ|＋2≥|QF2|＋2，而Q(0，2)，F2(2，0)，所以|QF2|＝＝4，所以要求的最小值为6．] 14．±　[在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝，R为△ABC外接圆的半径， ∴＝． 又∵|BC|－|AC|＝±8， ∴＝±＝±．] 15．解：　设顶点A的坐标为(x，y)，则 kAB＝，kAC＝． 由题意，得·＝m， 即＝1(y≠0，m≠0)． 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(二十七)　双曲线的标准方程 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共101分 一、选择题 1．已知平面内两定点F1(－2，0)，F2(2，0)，下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是(　　) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 2．已知双曲线＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A．　　　　B．5　　　　C．7　　　　D． 3．已知双曲线＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(　　) A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 4．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程是(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．＝1 D．＝1 5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 二、填空题 6．若曲线C：mx2＋(2－m)y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5．若2a＝8，那么△ABF2的周长是________． 8．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________． 三、解答题 9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 10．设声速为k米/秒，在相距10k米的A，B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差为6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程． 11．动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．双曲线的一支 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 12．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A．2 B．10 C．8 D．6 13．已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则|PF1|＋|PQ|的最小值等于________． 14．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线＝1上，则＝________． 15．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $