1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和的性质及应用核心知识点，系统梳理Sn=Aqⁿ-A的形式特征、项数奇偶时的比值关系、Sm，S2m-Sm等成等比数列等性质，衔接等差数列前n项和性质对比，构建数列求和知识网络，为综合应用及分组求和提供学习支架。 资料以问题驱动引入，通过性质推导培养逻辑推理素养，例题分层设计（基础应用、母题探究、跟进训练）提升数学运算能力，分组求和与综合应用实例强化复杂问题解决。课中辅助教师系统授课，课后练习题与总结回顾助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习任务 核心素养 1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(重点) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点) 3．能用分组转化法求数列的和．(重点、易错点) 1．通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养． 2．借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养数学运算素养． 在等比数列{an}中，当q≠1时，Sn＝＝．可以把Sn写成Sn＝Aqn－A的形式，这是等比数列前n项和的性质之一．对比等差数列前n项和的性质，那么等比数列的前n项和还有其他哪些性质？ 知识点　等比数列前n项和的性质 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是等比数列． (2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q． ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N＋)，则＝q． ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是qm． 1．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)且前n项和Sn＝3n-1＋k，则实数k的取值是________． －　[由题知{an}是等比数列， ∴3n的系数与常数项互为相反数， 而3n的系数为，∴k＝－．] 2．一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为(　　) A．63　　　　B．108　　　　C．75　　　　D．83 A　[因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n…成等比数列，题中Sn＝48，S2n＝60，S2n－Sn＝12，根据等比中项性质有S3n－S2n＝＝3，则S3n＝S2n＋(S3n－S2n)＝63．] 类型1　等比数列前n项和性质的 应用 【例1】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． (1)发现S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决． (2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解． (1)A　(2)24　[(1)法一：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21． ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28． 法二：由条件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4．又S6＝91，S2＝7， ∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3．又＝1＋q2． ∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28． (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79．则＝q＝3，即S1＝3S2． 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24． 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24．] [母题探究] 1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． [解]　法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30． 法二：∵Sn＝2，S3n＝14，∴q≠1． ∴Sn＝，S3n＝ ＝， ∴＝1＋qn＋q2n＝7， ∵an＞0，∴qn＝2， 又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)． ∴S4n＝Sn(1＋q2n)(1＋qn)＝2×(1＋4)(1＋2)＝30． 2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S2＝7，S6＝91”改为“公比q＝2，S99＝56”，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值． [解]　法一：∵S99＝＝56，q＝2， ∴a3＋a6＋a9＋…＋a99 ＝a3(1＋q3＋q6＋…＋q96)＝a1q2·＝32． 法二：设b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a97， b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a98， b3＝a3＋a6＋a9＋…＋a99， 则b1q＝b2，b2q＝b3，且b1＋b2＋b3＝56， ∴b1(1＋q＋q2)＝56． ∴b1＝＝8， ∴b3＝b1q2＝8×22＝32． 即a3＋a6＋a9＋…＋a99＝32． 　等比数列的性质及应用技巧 (1)若数列{an}为非常数列的等比数列，且其前n项和为Sn＝A·qn＋B(A≠0，B≠0，q≠0，q≠1)，则必有A＋B＝0；反之，若某一非常数列的前n项和为Sn＝A·qn－A(A≠0，q≠0，q≠1)，则该数列必为等比数列． (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)．特别地，如果公比q≠－1或虽q＝－1但n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列． (3)当等比数列{an}的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比等于公比q，即＝q． [跟进训练] 1．(1)已知等比数列{an}的公比不为－1，设Sn是等比数列{an}的前n项和，S12＝7S4，则＝(　　) A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1 (2)已知等比数列{an}共有32项，其公比q＝3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{an}的所有项之和是(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 (1)B　(2)D　[(1)根据条件可知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．设＝m，即S8＝mS4． 又∵S12＝7S4，∴S4，(m－1)S4，(7－m)S4成等比数列，也即(m－1)2＝1×(7－m)，解得m＝3或－2， 又＝1＋q4＞0，∴m＝3，故＝3． (2)设等比数列{an}的奇数项之和为S1，偶数项之和为S2， 则S1＝a1＋a3＋a5＋…＋a31， S2＝a2＋a4＋a6＋…＋a32＝q(a1＋a3＋a5＋…＋a31)＝3S1， 又S1＋60＝S2，则S1＋60＝3S1，解得S1＝30，S2＝90， 故数列{an}的所有项之和是30＋90＝120．故选D．] 类型2　分组求和法 【例2】　已知{an}为等差数列，{bn}为递增的等比数列，a1＝b1＝1，a2＋a4＝6，a3b3＝12． (1)求{an}与{bn}的通项公式； (2)求数列{an＋bn}的前n项和Sn． (1)利用基本运算方程的思想求解出an和bn． (2)观察通项的特点是否可分成两类数列的和，尝试分别求和． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由a2＋a4＝6，可得2a1＋4d＝6，又a1＝1，所以d＝1． 所以an＝a1＋(n－1)d＝n． 由a3b3＝12，可得b3＝4，又b1＝1，所以q2＝＝4， 又因为数列{bn}为递增的等比数列，则q>0，故q＝2，所以bn＝b1qn-1＝2n-1． (2)由(1)可知an＋bn＝n＋2n-1， 数列{an}的前n项和为1＋2＋…＋n＝， 数列{bn}的前n项和为1＋2＋…＋2n-1＝＝2n－1， 故Sn＝＋2n－1． 　分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤 [跟进训练] 2．求数列2，4，6，…，2n＋，…的前n项和Sn． [解]　Sn＝2＋4＋6＋…＋ ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋ ＝ ＝n(n＋1)＋ ＝n2＋n－． 类型3　等差数列与等比数列的综合应用 【例3】　已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18． (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在正整数n，使得Sn≥2 024？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由． (1)根据已知条件得出关于a1，q的方程组，求解即可；(2)只需表示出前n项和，解指数不等式． [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，则a1≠0，q≠0． 由题意得 即解得 故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n-1． (2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n． 若存在n，使得Sn≥2 024，则1－(－2)n≥2 024， 即(－2)n－2 023． 当n为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立； 当n为奇数时，(－2)n＝－2n－2 023， 即2n≥2 023，则n≥11． 综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N＋，k≥5}． 　与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧： (1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题． (2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用． (3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系． [跟进训练] 3．已知Sn是无穷等比数列{an}的前n项和，且公比q≠1，1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项． (1)求S2和S3； (2)求数列{an}的前n项和； (3)求数列{Sn}的前n项和． [解]　(1)根据已知条件 整理得解得 (2)因为q≠1，所以 解得 所以Sn＝＝． (3)由(2)得S1＋S2＋…＋Sn ＝n－· ＝n＋． 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝(　　) A．3∶4　　　　　　　 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3 A　[在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A．] 2．已知等比数列{an}，an＝2×3n-1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(　　) A．3n-1 B．3(3n-1) C．(9n－1) D．(9n－1) D　[由题意得新数列的首项为6，公比为9．∴新数列的前n项和为Tn＝＝(9n－1)．故选D．] 3．(教材P35习题1.3T8(3)改编)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝(　　) A．7　　　 B．8 C．9　　　 D．10 A　[法一：因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1， 所以由等比数列的前n项和公式，得 两式相除， 得q2＝，所以或所以S6＝＝7．故选A． 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7．故选A．] 4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 8　[设该等比数列的项数为2n， ∵＝q，结合条件知，q＝2． 又中间两项为an和an＋1，则an＋an＋1＝a1qn-1＋a1qn＝2n-1＋2n＝3×2n-1＝24， ∴2n-1＝8＝23， ∴n－1＝3，解得n＝4， ∴2n＝8．] 5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20的值为________． 32　[由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8－S4，S12－S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列． 由题意可知上面数列的首项为S4＝2，公比为＝2， 故S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)等比数列的前n项和有哪些重要性质？ [提示]　①若等比数列前n项和Sn＝A·qn＋B，那么A＋B＝0(A≠0，q≠1)． ②若项数为2n，则＝q(S奇≠0)； 若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)． ③等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)． (2)你是如何理解分组求和法的？ [提示]　当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列时，就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和． (3)到现在为止，你学习了哪几种方法求数列的前n项和？ [提示]　①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法；⑤分组求和法． 课时分层作业(十)　等比数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S20＝(210＋1)S10，则数列{an}的公比为(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．1　　　　D． B　[由条件可知q≠1，且＝(210＋1)， 即1＋q10＝1＋210， ∴q＝2．故选B．] 2．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 B　[由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，即数列4，8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B．] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n-1·(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是 (　　) A．13 B．－76 C．46 D．76 B　[∵Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n-1·(4n－3)， ∴S15＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(49－53)＋57＝－4×7＋57＝29， S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(81－85)＝－4×11＝－44， S31＝(1－5)＋(9－13)＋(17－21)＋…＋(113－117)＋121＝－4×15＋121＝61， ∴S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76．故选B．] 4．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．30 B．20 C．10 D．5或40 A　[设等差数列的公差为d， 因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6， 即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)， 即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)， 解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3， 所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A．] 5．(多选题)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6，则Tn取得最大值时，n的值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 BC　[∵等比数列a1＝512，其前n项积为Tn，且T13＝T6， ∴a7·a8·a9·a10·a11·a12·a13＝＝1， ∴a10＝a1·q9＝1．故q＝． 法一：∵a10＝1，q＝，所以前n项积有T9＝T10．又因为an＜1(n＝11，12，…)，所以T9，T10为前n项积的最大值． 法二：∵a1＝512，q＝．∴an＝a1·qn-1＝512×＝210-n． 当时，Tn有最大值，解得9n10． ∴n＝9或10时，Tn有最大值．故选BC．] 二、填空题 6．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于________． 15　[由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2， ∴q＝2，∴S4＝＝15．] 7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________． 2　[由条件可知，S2n＝S偶＋S奇＝3S奇，∴S偶＝2S奇， 又∵＝q，∴q＝2．] 8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________． 2n－1　[设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则 S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d， 因为＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2， an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1．] 三、解答题 9．在等比数列{an}中，a1＋a2＝5，且a2＋a3＝20． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{3an＋}的前n项和Sn． [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 因为q＝＝4， 所以a1＋a2＝a1＋4a1＝5a1＝5，即a1＝1． 故an＝4n-1． (2)由(1)及题知，3an＋＝3·4n-1＋2n-1， 所以Sn＝3×＝4n－1＋2n－1＝4n＋2n－2． 10．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn． [解]　(1)当n＝1时，2S1＝a1，即2a1＝a1，所以a1＝0． 当n≥2时，由2Sn＝nan，得2Sn－1＝(n－1)an－1， 两式相减得2an＝nan－(n－1)an－1， 即(n－1)an－1＝(n－2)an， 当n＝2时，可得a1＝0， 故当n≥3时，＝， 则··…·＝··…·， 整理得＝n－1， 因为a2＝1，所以an＝n－1(n≥3)． 当n＝1，n＝2时，均满足上式，所以an＝n－1． (2)令bn＝＝， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝＋…＋，　① Tn＝＋…＋，　② 由①－②得Tn＝＋…＋＝＝1－， 即Tn＝2－． 11．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　) A．3n－1 B． C． D． A　[由点在直线x－9y＝0上，得＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0， ∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝＝3n－1．] 12．(多选题)若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．a5＝－16 B．S5＝－63 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn＋1}是等比数列 AC　[因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1(n∈N＋)， 所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－1， 所以数列{an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列，故C正确； 因此a5＝－1×24＝－16，故A正确； 又Sn＝2an＋1＝－2n＋1， 所以S5＝－25＋1＝－31，故B错误； 因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比数列，故D错误．故选AC．] 13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________． 　2　[当等比数列的项数为奇数项时，＝q，即＝，∴公比q＝． 又∵a1＝2，q＝，∴a2＝1，当n≥3时，an∈(0，1)．∴n＝1或n＝2时Tn最大，最大值为2．] 14．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n-1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________． 2n－1　2n+1－n－2　[因为an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝＝2n－1， 所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2．] 15．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}满足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N＋)． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q． 依题意，得解得 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n-1＝3n． 所以，{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n． (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n+1，② ②－①得2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n+1＝－＋n×3n+1＝． 所以，a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×＝(n∈N＋)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $