1.3.3 课时1 等比数列的前n项和公式学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式 【学习目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理) 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn? 2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn? 3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n项和要注意什么? 自学检 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　) (2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na. (　　) 2.在等比数列{an}中,其前n项和为Sn,若q=-,S5=11,则a1=　　　　.  3.在等比数列{an}中,已知a1=3,an=96,Sn=189,则n=　　　　.  4.已知某厂去年的产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,则从今年起5年内,该厂的总产值为　　　　.  【合作探究】 探究1：等比数列的前n项和公式 情境设置 　　问题1:等比数列的前n项和公式的推导除了教材中用的方法,还有其他的方法吗? 问题2:能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和? 新知生成 公比为q的等比数列{an}的前n项和公式 (1)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和项数唯一确定; (2)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和末项唯一确定. 新知运用 例1　求下列等比数列前8项的和. (1),,,…; (2)a1=27,a9=,q<0. 例2　在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,q为其公比. (1)若S2=30,S3=155,求Sn; (2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5; (3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q. 【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论. 巩固训练 　　在等比数列{an}中, (1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q; (2)已知S4=1,S8=17,求an. 探究2：等比数列前n项和公式的实际应用 例3　小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款项全部付清.商场提出的付款方式:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少. 【方法总结】解决数列应用题时,一是明确问题属于哪类应用问题,即明确是等差数列或等比数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是明确是求an,还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题. 巩固训练 　　某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入. 【随堂检测】 1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S3=a2+10a1,a5=9,则a1=(　　). A. B.- C. D.- 3.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率为x计算(不计利息税),则到2027年元旦可取(　　)元. A.a(1+x)5 B.a(1+x)6 C.a(1+x)4 D.a(1+x5) 4.在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn. (1)若a1=-8,a3=-2,求S4. (2)若S6=315,q=2,求a1. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式 【学习目标】 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理) 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn? 【答案】当q=1时,a1=a2=…=an, 故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1. 2.当q≠1时,如何计算等比数列的前n项和Sn? 【答案】利用公式Sn=计算. 3.当等比数列的公比为字母时,求{an}的前n