1.2.2 等差数列与一次函数(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

本讲义聚焦等差数列与一次函数的关系及性质这一核心知识点，承接等差数列定义与通项公式，通过将通项公式转化为一次函数（d≠0时）或常数函数（d=0时），建立数列与函数的联系，明确单调性与公差的关系，后续结合性质应用解决问题，形成从概念到应用的学习支架。 该资料特色在于融合数学史（《九章算术》分五钱问题）与实际情境（金属热膨胀测量），采用“概念辨析-例题变式-分层训练”设计，培养数学抽象（函数关系构建）和数学运算（性质应用）素养。课中教师可依托例题对比深化理解，课后学生通过分层作业查漏补缺，提升知识迁移能力。

1.2.2　等差数列与一次函数 学习任务 核心素养 1．理解等差数列与一次函数的关系．(重点) 2．能运用等差数列的性质解决有关问题．(难点) 1．通过学习等差数列与一次函数的关系，培养数学抽象素养． 2．通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养． 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位) 知识点1　等差数列与一次函数的关系 1．等差数列的图象 对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an＝a1＋(n－1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y＝a1＋(x－1)d＝dx＋(a1－d)， 当d≠0时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d＝0时，y＝a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线．等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成． 2．等差数列的单调性与其公差d的关系 当d＞0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右上升，等差数列{an}递增； 当d＜0时，直线y＝dx＋(a1－d)从左至右下降，等差数列{an}递减； 当d＝0时，y＝a1为水平方向的直线，数列为常数列． 1．由an＝a1＋(n－1)d可得d＝，d＝，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？ [提示]　等差数列的通项公式可以变形为an＝nd＋(a1－d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d＝，当两点为(n，an)，(m，am)时有d＝． 1．已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为(　　) A．4　　　　B．　　　　C．－4　　　　D．－ A　[由数列{an}是等差数列，知an是关于n的“一次函数”，其图象是一条直线上的等间隔的点(n，an)，因此过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率即过点(4，15)，(7，27)的直线斜率，所以直线的斜率k＝＝4．故选A．] 知识点2　等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N＋)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． (5){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列； d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． 2．若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝ap一定成立吗？ [提示]　不一定．如常数列{an}，1＋2＝3，而a1＋a2＝2a3． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列． (　　) (2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列． (　　) (3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2． (　　) [提示]　(1)错误，如－2，－1，0，1，2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列． (2)错误，如数列－1，2，－3，4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列． (3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意n∈N＋都有2an＋1＝an＋an＋2成立． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 类型1　等差数列的函数性质 【例1】　【链接教材P16例5】 已知(2，1)，(4，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式． (2)判断(n，17)是否是{an}图象上的点，若是，求出n的值；若不是，说明理由． (3)判断这个数列的单调性，并求其最小的正数项． [解]　(1)设等差数列{an}的通项公式为an＝dn＋b， 由(2，1)，(4，5)是等差数列图象上的两点，可得 解得∴an＝2n－3． (2)由2n－3＝17，得n＝10∈N＋， ∴(10，17)是{an}图象上的点． (3)由d＝2>0，知数列{an}为递增数列． 由2n－3>0，得n>，即n≥2． 所以数列{an}的最小正数项为a2＝1． 【教材原题·P16例5】 例5　已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点． (1)求数列{an}的通项公式； (2)画出数列{an}的图象； (3)判断数列{an}的单调性． [解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点，所以 a2＝－1，a4＝－7， 即 解得 因此，an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5． (2)由(1)可知，数列{an}的图象是均匀分布在直线y＝－3x＋5上的一系列孤立点，如图1.2-3． (3)由(1)可知公差d＝－3<0，所以等差数列{an}为递减数列． 　(1)根据等差数列图象上两点求其通项公式一般是设an＝dn＋b，将两点的坐标代入，解方程组可得d，b，可得出等差数列的通项公式． (2)判断等差数列单调性的方法 ①公差法：d＞0时递增；d＜0时递减；d＝0时不单调． ②图象法：图象上升递增；图象下降递减；图象为水平直线不单调． [跟进训练] 1．设是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列是递增数列”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[在是等差数列，若a1<a2<a3，可得d＝a2－a1＝a3－a2>0， 所以数列是递增数列，即充分性成立； 若数列是递增数列，则必有a1<a2<a3，即必要性成立， 所以“a1<a2<a3”是“数列是递增数列”的充分必要条件．] 2．已知数列是首项为a，公差为1的等差数列，数列满足bn＝．若对任意的n∈N＋，都有bn≥b6成立，则实数a的取值范围是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． B　[由已知bn＝＝＋1， ∵对任意的n∈N＋，都有bn≥b6成立，即＋1≥＋1，即， 又数列是首项为a，公差为1的等差数列， ∴an＝a＋n－1，且是递增数列， 当n→＋∞时，→0， ∴a6<0，a7>0，即解得－6<a<－5．] 类型2　等差数列的性质 【例2】　(1)已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8，则5a4＋a7＝(　　) A．32　　　　B．27　　　　C．24　　　　D．16 (2)若关于x的方程x2－2x＋m＝0和x2－2x＋n＝0(m≠n)的四个根可组成首项为的等差数列，则|m－n|的值是________． 能否通过性质“m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq”找出解题突破口．由此可以顺利解出来． (1)C　(2)　[(1)法一：设等差数列{an}公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5． ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． (2)设a，b为方程x2－2x＋m＝0的两根，则a＋b＝2，c，d为方程x2－2x＋n＝0的两根，则c＋d＝2，而四个根可组成一个首项为的等差数列，现假定a＝，则b＝2－＝． 根据等差数列的四项中，第一项与第四项的和等于第二项与第三项的和， ∴这个等差数列的顺序为，c，d，． 则c＝，d＝．∴m＝ab＝，n＝cd＝． ∴|m－n|＝＝．] [母题探究] 1．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，若a5＝8，a10＝20”，求a15． [解]　法一：因为a5，a10，a15成等差数列， 所以a5＋a15＝2a10． 所以a15＝2a10－a5＝2×20－8＝32． 法二：因为{an}为等差数列，设其公差为d， 所以a10＝a5＋5d，所以20＝8＋5d，所以d＝．所以a15＝a10＋5d＝20＋5×＝32． 2．(变条件，变结论)本例(1)中条件变为“在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450”，求a2＋a8． [解]　法一：∵在等差数列{an}中 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5， ∴(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450． 解得a5＝90．∴a2＋a8＝2a5＝180． 法二：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．根据an＝a1＋(n－1)d，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a1＋20d＝5(a1＋4d)＝450． ∴a1＋4d＝90．而a2＋a8＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝2×90＝180． 　等差数列性质的应用技巧 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这样的问题，在解题过程中通常就要注意考虑利用等差数列的下列性质： (1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq，其中am，an，ap，aq是数列中的项．该性质可推广为： 若m＋n＋z＝p＋q＋k(m，n，z，p，q，k∈N＋)，则am＋an＋az＝ap＋aq＋ak． (2)若m＋n＝2p(m，n，p∈N＋)，则am＋an＝2ap． [跟进训练] 3．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N＋．若{an}为递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，则p的值为________． 　[因为数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn，而a1＝1，所以a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1． 又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3， 即3p2－p＝0，解得p＝0或p＝． 当p＝0时，an＋1＝an，这与数列{an}是递增数列矛盾，故p＝．] 类型3　等差数列的实际应用 【例3】　为了测试某种金属的热膨胀性质，将由这种金属制成的一根细棒加热，从100 ℃开始第1次测量细棒长度，以后每升高50 ℃测量一次，把依次量得的数据所构成的数列{ln}在图象中表示出来，如图，根据图象解答下列问题． (1)第5次量得的金属棒长度是多少，此时金属棒的温度是多少； (2)求数列{ln}的通项公式和金属棒长度ln(单位：m)关于温度t(单位：℃)的函数关系式(设长度ln是关于测量序号n的一次函数)； (3)如果在30 ℃的温度条件下，把两块这种金属制成的矩形板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500 ℃，问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？ [解]　(1)由题图得l5＝2.005(m)，此时金属棒的温度t＝100＋(5－1)×50＝300(℃)． 即第5次量得的金属棒长度是2.005 m，此时金属棒的温度是300 ℃． (2)设ln＝dn＋b，由l1＝2.001，l2＝2.002， 得解得 所以{ln}的通项公式是ln＝0.001n＋2(n∈N＋)． 由题意可得t＝50(n－1)＋100＝50n＋50， 所以n＝，代入通项公式，得ln＝0.000 02t＋1.999． 由上式可知，ln也是关于t的一次函数，不过t不限于取正整数，可以取不致失去实际意义的任何实数． (3)由(2)知当t＝30 ℃时，ln＝0.000 02×30＋1.999＝1.999 6(m)； 当t＝500 ℃时，ln＝0.000 02×500＋1.999＝2.009(m)． 在30 ℃温度条件下铺设两块这种金属板时，它们之间的空隙至少为2.009－1.999 6＝0.009 4(m)． 　解决等差数列实际问题的基本步骤 (1)将已知条件翻译成数学(数列)问题； (2)构造等差数列模型(明确首项和公差)； (3)利用通项公式解决等差数列问题； (4)将所求出的结果回归为实际问题． [跟进训练] 4．我国明代数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一道“竹筒容米”问题：家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．这个问题的意思是九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为(注：升是容量单位)(　　) A．0.9升 B．1升 C．1.1升 D．2.1升 B　[不妨令九节竹的盛米容积由下向上成等差数列{an}，公差为d．依题意得 故即a2＋5d＋a2＋6d＝2a2＋11d＝2.6＋11d＝1.5，解得d＝－0.1，故a5＝a2＋3d＝1.3－0.3＝1(升)．故选B．] 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{2an}是(　　) A．公差为d的等差数列 B．公差为2d的等差数列 C．非等差数列 D．以上说法均不正确 B　[由条件可设an＝dn＋b，则2an＝2dn＋2b， ∴数列{2an}的公差为2d．] 2．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10 A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10， ∴a5＝5．] 3．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　) A．a6 B．a7 C．a8 D．a9 B　[∵3a3＝4a4，∴3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，∴a3＝－4d，∴an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，∴a7＝0，故选B．] 4．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，则a2－a8＋a14＝________． 12　[在等差数列{an}中，∵a1＋a15＝2a8，∴a1＋3a8＋a15＝5a8＝60，即a8＝12．又a2＋a14＝∴－a8＋a14＝2a8－a8＝a8＝12．] 5．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，则这四个数是________． －2，0，2，4　[设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： (1)在等差数列{an}中，注意两项之间的关系是什么？ [提示]　在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d． (2)在等差数列{an}中，常用的性质有哪些？ [提示]　 性质1 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋) 性质2 若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an 性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d 性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn)是以pd1＋qd2为公差的等差数列 性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列 性质6 若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0 性质7 有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝… 性质8 若数列{an}为等差数列，公差为d，则{λan＋m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列 课时分层作业(四)　等差数列与一次函数 一、选择题 1．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan (a2＋a12)的值为(　　) A．　　　B．±　　　C．－　　　D．－ D　[在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，即3a7＝4π， ∴a7＝，又∵a2＋a12＝2a7．∴tan (a2＋a12)＝tan (2a7)＝tan ＝tan ＝－．] 2．已知数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，即a3＋a4＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　[∵2an＝an－1＋an＋1， ∴{an}是等差数列， 由等差数列性质可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9， ∴a3＋a4＝3＋4＝7．] 3．设O为平面内异于P，A，B三点的任一点，且＝an，当P，A，B三点共线时，数列为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数数列 D．摆动数列 B　[由题：＝an，P，A，B三点共线， 根据共线定理，则an＋2－an－1＝1，即an－an－1＝－1， 所以数列是一个公差为－1的等差数列，所以是递减数列．] 4．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是(　　) A．若a2>a1，则a3>a1 B．若a2>a1，则a3>a2 C．若a3>a1，则a2>a1 D．若a2>a1，则a1＋a2>a1 D　[利用等差数列的单调性可得：若a2>a1，所以公差d>0，所以等差数列是递增数列，所以a3－a1＝2d>0，a3－a2＝d>0成立，∴A，B正确； 则a1＋a2>a1不一定成立，例如a1<0时不一定成立，∴D不一定成立； 若a3>a1，则a3－a1＝2d>0，所以a2－a1＝d>0成立， ∴C正确．] 5．已知等差数列{an}的公差d为整数，首项为13，从第五项开始为负，则d等于(　　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 A　[在等差数列中，由a1＝13，a5＜0，得，得－d＜－， ∵公差d 为整数， ∴d＝－4．] 二、填空题 6．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝________． 132　[在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25－a15＝33．∴a45＝33＋3×33＝132．] 7．已知(1，3)，(3，－1)是等差数列图象上的两点，若5是p，q的等差中项，则ap＋aq的值为________． －10　[设等差数列通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得解得x＝－2，y＝5，即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2＝－10．] 8．已知是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N＋，都有bnb5成立，则实数a的取值范围是________． 　[由题可知：bn＝1＋， 当n∈和时，该数列递减． 若1－a0，则该数列在n∈N＋上递减，不可能满足题意； 若1－a>0，要满足题意，只需1－a∈，解得a∈．] 三、解答题 9．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28．求数列{an}的通项公式． [解]　法一：设{an}的首项为a1，公差为d， 则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4， ∴a1＝4－7d． 代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±． 当d＝时，a1＝－，an＝n－； 当d＝－时，a1＝，an＝－n＋． 法二：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12，∴a8＝4． a3a8a13＝(a8－5d)a8(a8＋5d)＝28， ∴16－25d2＝7， ∴d＝±． 当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝n－； 当d＝－时，an＝－n＋． 法三：∵a3＋a8＋a13＝3a8＝12， ∴a8＝4，∴ ∴a3，a13是方程x2－8x＋7＝0的两根， ∴或 由a3＝1，a13＝7，得d＝＝， ∴an＝a3＋(n－3)d＝n－． 同理，由a3＝7，a13＝1，得an＝－n＋． 10．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解]　法一：设这三个数为a，b，c(a<b<c)，则由题意得解得 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2， ∴这三个数为4，6，8． 11．(多选题)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题，正确的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．数列{nan}是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列{an＋3nd}是递增数列 AD　[在等差数列{an}中，∵d＞0，∴数列{an}为递增数列，∴A正确；令an＝dn＋b，则nan＝dn2＋bn，当b＜0时，可能是先减后增，∴B错误；＝＝＋d．当b＞0时，数列递减，∴C错误；an＋3nd＝4dn＋b，∵d＞0，∴是递增数列，D正确．故选AD．] 12．在等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根 A　[∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a2＋a5＋a8＝3a5＝9，∴a5＝3，则方程为x2＋6x＋10＝0．∵Δ＝62－4×10＝－4＜0，∴方程无实根．] 13．在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，则2 km，4 km，8 km高度的气温分别为________，________，________． 2 ℃　－11 ℃　－37 ℃　[用{an}表示自下而上各高度的气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n． ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃．] 14．若关于x的方程x2－x＋a＝0和x2－x＋b＝0(a≠b)的四个根可组成首项为的等差数列，则a＋b的值是________． 　[由题意可设四个根分别为＋d，＋2d，＋3d，由一元二次方程根与系数的关系可得a＋b＝，且＋3d＝＋d＋＋2d＝1，解得d＝，a＋b＝．] 15．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供了两个不同的信息图如图．甲调查表明：该县养鸡场年平均出产鸡数从第1年的每个养鸡场1万只上升到第6年的每个养鸡场2万只．乙调查表明：该县养鸡场的个数由第1年的30减少到第6年的10． 甲　　　　　　　　　乙 请根据提供的信息回答问题． (1)求该县第2年养鸡场的个数及年平均出产鸡的总只数． (2)第6年这个县的养鸡业规模相比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)该县6年中哪一年的养鸡业规模最大？请说明理由． [解]　由题图甲可知，从第1年到第6年每个养鸡场年平均出产鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；由题图乙可知，从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年该县年平均出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn． (1)由a1＝1，a6＝2得 所以⇒a2＝1.2． 由b1＝30，b6＝10得 所以⇒b2＝26． 故c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2． 综上，该县第2年养鸡场有26个，全县年平均出产鸡31.2万只． (2)因为c6＝a6b6＝2×10＝20<c1＝a1b1＝30，所以第6年这个县的养鸡业规模相比第1年缩小了． (3)因为an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8(1n6且n∈N＋)， bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1n6且n∈N＋)． 所以cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝＋3.6n＋27.2(1n6且n∈N＋)． 上式可以看作cn关于n的二次函数关系式．因为二次函数f (x)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的图象的对称轴为直线x＝，所以当n＝2时，cn最大，即第2年该县的养鸡业规模最大． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $