课时分层作业9 等比数列的前n项和公式(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(九)　等比数列的前n项和公式 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．已知等比数列{an}的公比q＝－2，前6项和S6＝21，则a6＝(　　) A．－32　　　B．－16　　　C．16　　　D．32 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝，S3＝，则{an}的公比为(　　) A．－或 B．或－ C．－3或2 D．3或－2 3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于(　　) A．或5 B．或5 C． D． 4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 5．(多选题)数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，若a2＝2，a4＝8，则S10的可能值为(　　) A．1 023 B．341 C．1 024 D．342 二、填空题 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 7．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________． 8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________． 三、解答题 9．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝20，a1，a2，a4成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn． 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3． ∴b1＝4，＝＝4， ∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列． ∴Tn＝＝＝． 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{Sn}的前n项和． 11．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0．则下列结论正确的是(　　) A．0<q<1　　　　　　 B．a7a9<1 C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7 12．设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 13．设数列{an}的前n项和为Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则a1＝________，S5＝________． 14．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问________天后两鼠相遇？如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打的洞长度之和，则Sn＝________尺． 15．已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2． (1)求数列{xn}的通项公式； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面积Tn． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(九) 1．D　[因为q＝－2，S6＝21，则有S6＝＝＝－21a1＝21，即a1＝－1，所以a6＝a1q5＝(－1)×(－2)5＝32．] 2．A　[依题意⇒⇒ 两式相除得＝，即6q2－q－1＝0，即(2q－1)(3q＋1)＝0，解得q＝－或q＝．故选A．] 3．C　[设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝．] 4．B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2， ∴S7＝＝＝381，解得a1＝3． 故选B．] 5．AB　[因为数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，所以数列{an}为等比数列，因为a2＝2，a4＝8，所以q2＝＝4，所以q＝±2， 当q＝2时a1＝1，所以S10＝＝1 023． 当q＝－2时a1＝－1， 所以S10＝＝341．故选AB．] 6．－　[由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1，所以8×＝7×，即8(1－q6)＝7(1－q3)，即8(1＋q3)＝7，所以q＝－．] 7．2n-1－　[由a4＝a1q3得q＝－2， ∴an＝(－2)n-1， ∴|an|＝2n-2．∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n-1－．] 8．6　[由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n+1－2)棵，令2n+1－2≥100，则2n+1≥102， 又26＝64，27＝128，且{2n+1}为递增数列，所以n≥6，即n的最小值为6．] 9．解：　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， ∵S4＝20，a1，a2，a4成等比数列， ∴解得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n(n∈N＋)． 10．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3． ∴b1＝4，＝＝4， ∴数列{bn}是首项为4，公比为4的等比数列． ∴Tn＝＝＝． 10．解：　(1)因为2Sn＝3an＋1－3，故2Sn－1＝3an－3， 所以2an＝3an＋1－3an(n≥2)，即5an＝3an＋1，故等比数列的公比q＝，故2a1＝3a2－3＝3a1×－3＝5a1－3，故a1＝1，故an＝． (2)由等比数列求和公式得Sn＝＝－． 设数列{Sn}的前n项和为Tn，则Tn＝n＝－n－． 11．ABC　[∵a1>1，a7a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1， ∴0<q<1，故A正确；又a7a9＝<1，故B正确； C中，T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确； D中，因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确．故选ABC．] 12．C　[法一：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C． 法二：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)·(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．] 13．1　121　[由于解得由an＋1＝Sn＋1－Sn＝2Sn＋1得Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝3，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以Sn＋＝×3n-1，即Sn＝，所以S5＝121．] 14．2　2n－＋1　[由题意先估计：两天不够，三天又多，设需要x天，则可得1＋2＋4(x－2)＋1＋(x－2)＝5．解得x＝2，即2天两只老鼠相遇．由题意可知，大老鼠前n天打洞长度为＝2n－1，小老鼠前n天打洞长度为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1．] 15．解：　(1)设数列{xn}的公比为q，由已知可得q＞0． 由题意得 消去x1得3q2－5q－2＝0． 因为q＞0，所以q＝2，x1＝1， 因此数列{xn}的通项公式为xn＝2n-1． (2)过P1，P2，…，Pn＋1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，…，Qn＋1(图略)． 由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n-1＝2n-1， 记梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面积为bn， 由题意得bn＝×2n-1＝(2n＋1)×2n-2， 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝3×2-1＋5×20＋7×21＋…＋(2n－1)×2n-3＋(2n＋1)×2n-2．① 又2Tn＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n－1)×2n-2＋(2n＋1)×2n-1．② ①－②得，－Tn＝3×2-1＋(2＋22＋…＋2n-1)－(2n＋1)×2n-1＝－(2n＋1)×2n-1． 所以Tn＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $