课时测评11 等比数列的前n项和公式-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评11　等比数列的前n项和公式 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.在等比数列{an}中，a1＝－1，a5＋a7＝8(a2＋a4)，则数列{an}的前六项和为(　　) A.63 B.－63 C.－31 D.31 答案：B 解析：在等比数列{an}中，a1＝－1，a5＋a7＝8(a2＋a4)， 所以－1×q4＋(－1)×q6＝8[－1×q＋(－1)×q3]， 解得q＝2， 所以数列{an}的前六项和为S6＝＝－63.故选B. 2.已知正项等比数列{an}满足a1＝，a2a4＝a3＋2，又Sn为数列{an}的前n项和，则S5＝(　　) A.或 B. C.15 D.6 答案：B 解析：正项等比数列{an}中，因为a2a4＝a3＋2，所以＝a3＋2， 解得a3＝2或a3＝－1(舍去)，又a1＝，q2＝＝4，解得q＝2， 所以S5＝＝＝，故选B. 3.已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　) A.16(1－4－n) B.16(1－2－n) C.(1－4－n) D.(1－2－n) 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q.因为a2＝2，a5＝，所以q3＝，所以q＝， 因为{an}是等比数列，所以{anan＋1}为等比数列，首项为a1a2＝8，公比为q2＝，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n). 4.等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　) A.8 B.12 C.16 D.24 答案：C 解析：设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16. 5.(多选)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，下列结论正确的是(　　) A.S2 019＜S2 020 B.a2 019a2 021－1＜0 C.T2 020是数列中的最大值 D.数列无最大值 答案：AB 解析：当q＜0时，a2 019a2 020＝q＜0，与题设不符，不成立； 因为a1＞1，a2 019a2 020＞1，＜0，则a2 019＞1，0＜a2 020＜1，故0＜q＜1， 所以，数列是正项且单调递减的等比数列，故S2 019＜S2 020，A对； a2 019a2 021－1＝－1＜0，B对； 因为a2 019＞1，0＜a2 020＜1，故T2 019是数列中的最大值，CD选项均错.故选AB. 6.等比数列{an}为单调递增数列，设其前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7，则an＝　　　　　. 答案：2n－1 解析：设等比数列{an}的公比为q，由题意可得S3＝a1＋a2＋a3＝＋2＋2q＝7，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.又等比数列{an}为单调递增数列，则q＞1，所以q＝2，因此，an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1. 7.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且a4＝，a5＝32，则公比q＝　　　　　，S6＝　　　　　. 答案：2　126 解析：因为{an}为等比数列，且a4＝，a5＝32，所以a4＝a1q3＝q2，a5＝a1q4＝32， 解得a1＝q＝2，所以S6＝＝126. 8.已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为　　　　. 答案： 解析：由题意，q≠1，由9S3＝S6，得9×＝，解得q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1，所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为＝. 9.(10分)已知等差数列{an}满足a5＝13，a1＋a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)设Sn是等比数列{bn}的前n项和，若b1＝a1，b3＝a4－1，求S6. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为等差数列{an}满足a5＝13，a1＋a3＝8. 所以解得a1＝1，d＝3， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2. (2)设等比数列{bn}的公比为q， 因为等比数列{bn}中，b1＝a1＝1，b3＝a4－1＝9， 所以q2＝＝9，解得q＝±3， 当q＝－3时，S6＝＝－182； 当q＝3时，S6＝＝364. 10.(10分)小楠是一位收藏爱好者，在第1年初购买了价值20万元的收藏品M，受收藏品市场行情的影响，第2年、第3年的每年初M的价值为上年初价值的；从第4年开始，每年初M的价值比上年初价值增加4万元. (1)求第几年初开始M的价值超过原购买的价值； (2)记Tn(n∈N＋)表示收藏品M前n年初的价值的平均值，求Tn的最小值. 解：(1)设第n(n∈N＋)年初M的价值为an万元， 依题意，当1≤n≤3时，数列{an}是首项为20，公比为的等比数列， 所以an＝20×()n－1＝5×23－n. 故a2＝10，a3＝5，所以a3＜a2＜a1. 当n≥4时，数列{an}是以a4为首项，4为公差的等差数列， 又a4＝a3＋4＝9，所以an＝9＋(n－4)×4＝4n－7. 令an＞20，得n＞.又n∈N＋，所以n≥7. 因此第7年初M的价值超过原购买的价值. (2)设Sn表示前n年初M的价值的和，则Tn＝. 由(1)，知当1≤n≤3时，Sn＝＝40－5×23－n，Tn＝.　① 当n≥4时，由于S3＝35，故Sn＝S3＋(a4＋a5＋…＋an)＝35＋＝2n2－5n＋32， Tn＝＝2n＋－5. 当1≤n≤3时，由①得T1＝20，T2＝15，T3＝，所以T1＞T2＞T3； 当n≥4时，易知Tn＝2n＋－5是递增的，故(Tn)min＝T4＝11. 由于T3＞T4，故在第4年初Tn的值最小，最小值为11. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则(　　) A.数列{an}的公比为2 B.数列{an}的公比为8 C.＝8 D.＝9 答案：AD 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故选AD. 12.已知数列{an}满足a1≠0，＝2an，Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝a2，则n＝(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：B 解析：由于an＋1＝2an，故数列{an}是公比为2的等比数列.由Sn＝a2，得＝×2a1，解得n＝7.故选B. 13.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝0，Sn＝an＋1－2，则Sn＝　　　　；若＜，则n的最小值是　　　　. 答案：2n－2　4 解析：因为Sn＋2＝an＋1＝Sn＋1－Sn，所以Sn＋1＝2Sn＋2， 所以Sn＋1＋2＝2(Sn＋2)，所以是等比数列且q＝2， 又S1＋2＝a1＋2＝2，所以Sn＋2＝2n，所以Sn＝2n－2， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，则有＝， 因为＜，所以＜，化简得22n－16·2n＋14＞0， 解得2n＞8＋5或2n＜8－5，因为n∈N＋， 所以2n＞8＋5，则nmin＝4. 14.(13分)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2，a3＋a4＝32. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则an＝a1qn－1，且an＞0. 由已知，得 化简得 又因为a1＞0，q＞0，所以a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知bn＝＝4n－1， 所以Tn＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝. 15.(5分)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－(n≥2)，且b1＝a2，则｜b1｜＋｜b2｜＋…＋｜bn｜＝(　　) A.1－4n B.4n－1 C. D. 答案：B 解析：因为q＝an－an－1＝－4，b1＝a2＝－3， 所以bn＝b1qn－1＝－3×(－4)n－1， 所以｜bn｜＝｜－3×(－4)n－1｜＝3×4n－1， 即{｜bn｜}是首项为3，公比为4的等比数列， 所以｜b1｜＋｜b2｜＋…＋｜bn｜＝＝4n－1，故选B. 16.(17分)设a1，a2，…，an成等比数列，且S＝a1＋a2＋…＋an，R＝＋＋…＋，P＝a1·a2·…·an. 求证：(1)＝a1·an； (2)P2Rn＝Sn. 证明：(1)当q≠1时，显然，此时S＝， R＝＝， P＝a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1qn－1)＝. 所以＝qn－1＝a1(a1qn－1)＝a1an. 当q＝1时，显然，此时S＝na1，R＝，P＝， 所以＝＝a1an. 故＝a1·an恒成立. (2)当q≠1时，由(1)，得＝(qn－1)n＝()2＝P2，所以P2Rn＝Sn. 当q＝1时.由(1)得＝＝P2，即P2Rn＝Sn. 综上所述，不论q是否为1，P2Rn＝Sn都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $