课时分层作业8 等比数列与指数函数(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(八) 1．A　[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝．所以a5＝a1·24＝·24＝1． 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16． 又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4． 又a7＝a5×q2，则a5＝＝1．] 2．B　[在等比数列中，a3a9＝，又a3a9＝， ∴＝，∴q＝±，又∵q＞0，∴q＝．又∵a2＝1，∴a1＝＝．故选B．] 3．D　[∵{an}为等比数列，a2a7＝a1a8＝a3a6＝a4a5＝4． ∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1a2…a8)＝log244＝8．故选D．] 4．D　[因为等比数列{an}递减数列，所以q＞0，an＋1－an＝a1qn－a1qn-1＝a1qn-1(q－1)＜0， 因为a1＞0，所以qn-1(q－1)＜0，又因为n≥1， 所以qn-1＞0，q－1＜0，所以0<q<1，故选D．] 5．B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21． ∴1＋q2＋q4＝7．解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．故选B．] 6．3　[因为an＝211-3n，所以当n<4时an>1，所以当n＝3时Tn取得最大．] 7．－2　[因为Sn＝2＋an＋1，故Sn－1＝2＋an， 所以an＝an＋1－an即an＋1＝2an(n≥2)，故等比数列{an}的公比q＝2． 又S1＝a1＝2＋a2＝2＋2a1，故a1＝－2， 故答案为－2．] 8．50　[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5． 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln (a1a2…a20)＝ln [(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln (a10a11)10＝10ln (a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．] 9．解：　(1)设等比数列{an}的公比为q，由a3a5＝4(a4－1)，得＝4(a4－1)，解得a4＝2，∴q3＝＝8， ∴q＝2，∴a2＝a1q＝． (2)由2(a4＋a6)＝5a5，得2(a4＋a4q2)＝5a4q，易知a4≠0，所以2＋2q2＝5q，即(2q－1)(q－2)＝0，解得q＝2或q＝． 因为等比数列{an}为递增数列，且a1>0， 所以q>1，所以q＝2． 10．解：　(1)证明：由＝＝3，且a1＋1＝2， 则{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)可知an＋1＝2×3n-1． 则an＝2×3n-1－1，代入可得bn＝2log3－11＝2n－13， 由数列{bn}的通项公式可知b6<0，b7>0，数列{bn}是等差数列， 当n＝6时，Sn取得最小值，此时最小值为S6＝＝－36． 11．BC　[由题意可知a1a2a3…a2 024＝a2 024， 故a1a2a3…a2 023＝1， 由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1， 所以a1 012＝1，公比0＜q＜1， 所以a1 011＞1且0＜a1 013＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1 011或1 012． 故选BC．] 12．C　[设等比数列{an}的公比为q，则a1＞0，q＞0． ∵a4＝a2q2，即8＝2q2，∴q＝±2． 又q＞0，∴q＝2． ∴an＝a2·qn-2＝2×2n-2＝2n-1， ∴log2an＝log22n-1＝n－1． ∴数列{log2an}的前n项和为0＋1＋2＋…＋(n－1)＝．故选C．] 13．－　[因为sin A＝2sin C，所以根据正弦定理边角互换可知，a＝2c，因为三条边a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，b＝c， 则cos A＝＝＝－，故答案为－．] 14．2　2n＋1　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ．由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2． ∵首项为2，∴an－1＝2×2n-1＝2n． 即an＝2n＋1．] 15．解：　(1)证明：∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1． ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1． ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∵首项c1＝a1－1， 又a1＋a1＝1， ∴a1＝， ∴c1＝－， 又cn＝an－1，∴q＝． ∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列． (2)由(1)可知cn＝·＝－， ∴an＝cn＋1＝1－． ∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－＝－＝． 又b1＝a1＝， 代入上式也符合，∴bn＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(八)　等比数列与指数函数 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分 一、选择题 1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8 2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝，a2＝1，则a1＝(　　) A． B． C． D．2 3．在正项等比数列{an}中，a2a7＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知递减的等比数列{an}中，a1＞0，则该数列的公比q的取值范围是(　　) A．q＝1 B．q<0 C．q>1 D．0<q<1 5．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 二、填空题 6．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn，若an＝211-3n，则当Tn最大时，正整数n＝________． 7．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2＋an＋1，则a1＝________． 8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________． 三、解答题 9．(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，求a2的值； (2)已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且＋a6)＝5a5，求数列{an}的公比q． 10．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，n∈N＋，且a1＝1． (1)求证：数列{an＋1}是等比数列； (2)已知数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2log3 －11，求Sn的最小值． 11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为(　　) A．1 010 B．1 011 C．1 012 D．1 013 12．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝8，an>0，则数列{log2an}的前n项和为(　　) A． B． C． D． 13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝2sin C，且三条边a，b，c成等比数列，则cos A的值为________． 14．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N＋，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________． 15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n． (1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； (2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $