课时分层作业6 等差数列前n项和的性质及应用(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（湘教版）

课时分层作业(六) 1．B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．] 2．D　[由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6， 所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12．故选D．] 3．D　[由等差数列{an}的前n项和的性质可得：S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， ∴2×(15－20)＝20＋S30－15，解得S30＝－15．故选D．] 4．A　[因为等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝54，a11＋a12＋a13＝27， 所以S9＝9a5＝54，3a12＝27，所以a5＝6，a12＝9，所以S16＝＝＝＝120．故选A．] 5．B　[C＝0，公差为2A＝2，故A＝1，故选B．] 6．－2　[当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2， 经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式． 故an＝－2n＋2(n∈N*)， ∴d＝－2．] 7．2 023　[由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为d， ∵a1＝－2 021，∴＝－2 021，∵＝2d＝2， ∴d＝1，∴＝－2 021＋2 022×1＝1，则S2 023＝2 023．] 8．1　[因为an＋1＝an＋(n∈N＋)， 所以an＋1－an＝＝， a2－a1＝1－， a3－a2＝， … a2 025－a2 024＝， 各式相加，可得a2 025－a1＝1－，a2 025－＝1－， 所以a2 025＝1．] 9．解：　法一：＝＝＝＝＝＝＝． 法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列， ∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n． 又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)， Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R． ∴an＝Sn－Sn－1 ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1) ＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1) ＝t(4n－1)(n≥2)， bn＝Tn－Tn－1 ＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5) ＝t(6n－5)(n≥2)． ∴＝＝(n≥2)， ∴＝＝＝． 10．解：　(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积， 所以当n≥2时，Sn＝， 代入＝2可得，＝2， 整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)． 又＝＝2，所以b1＝， 故{bn}是以为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)可知，bn＝，则＝2， 所以Sn＝， 当n＝1时，a1＝S1＝， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ＝－，当n＝1时，不满足此式． 故an＝ 11．AB　[对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6⇒S7－S6＝0⇒a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0．故A正确． 对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误． 对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6．故D错误． 故AB正确．] 12．ABC　[因为{an}是等差数列，前n项和为Sn，由S6＝S12得S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0， 即3(a9＋a10)＝0，即a9＋a10＝0． 对于选项A：由a9＋a10＝0得2a1＋17d＝0，可得a1∶d＝－17∶2，故选项A正确；对于选项B：S18＝＝＝0，故选项B正确； 对于选项C：a6＋a14＝a9＋a11＝a9＋a10＋d＝d，若d＞0，则a6＋a14＝d＞0，故选项C正确；对于选项D：当d＜0时，a6＋a14＝d＜0，则a6＜－a14，因为d＜0，所以a6＞0，a14＜0，所以|a6|＜|a14|，故选项D不正确，故选ABC．] 13．11　7　[设等差数列{an}的项数为2n＋1， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝＝(n＋1)an＋1， S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1， 所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7， S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．] 14．　[设等差数列{an＋1－an}的公差为d，由题意得，a2－a1＝1，a3－a2＝2， ∴公差d＝2－1＝1， ∴an－an－1＝1＋(n－2)×1＝n－1(n≥2，n∈N＋)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝＝，n≥2，n∈N＋． 经检验，此式对a1也适用， ∴an＝(n∈N＋)．] 15．解：　(1)在am＋n＝am＋an＋2mn中，令m＝1，可得an＋1＝an＋a1＋2n＝an＋2n＋3，即an＋1－an＝2n＋3． 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝[2(n－1)＋3]＋[2(n－2)＋3]＋…＋(2×1＋3)＋3 ＝n(n＋2)， 所以数列{an}的通项公式为an＝n(n＋2)(n∈N＋)． (2)由(1)可得＝＝， 所以＝ ＝ ＝ ＝＜， 故c的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用 说明：单选选择题每题五分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共103分 一、选择题 1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　) A．－2　 　　B．－1　 　　C．0　 　　D．1 2．已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列前8项和为(　　) A．36 B．24 C．16 D．12 3．(教材P21练习T2改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝20，S20＝15，则S30＝(　　) A．10 B．20 C．－30 D．－15 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝54，a11＋a12＋a13＝27，则S16＝(　　) A．120 B．60 C．160 D．80 5．已知Sn＝An2＋Bn＋C，下列选项中能使{an}为以2作公差的等差数列的是(　　) A．A＝1，B＝2，C＝3 B．A＝1，B＝2，C＝0 C．A＝－1，B＝2，C＝0 D．A＝－1，B＝2，C＝1 二、填空题 6．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝________． 7．在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 023的值为________． 8．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N＋)，则a2 025的值为________． 三、解答题 9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值． 10．记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2． (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N＋且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　) A．S13＝0 B．a7＝0 C．{an}为递增数列 D．a13＝0 12．(多选题)已知等差数列的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的有(　　) A．a1∶d＝－17∶2 B．S18＝0 C．当d＞0时，a6＋a14＞0 D．当d＜0时，|a6|＞|a14| 13．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是______，项数是________． 14．若数列{an}满足a1＝0，a2＝1，a3＝3，且{an＋1－an}为等差数列，则an＝________． 15．已知数列{an}满足a1＝3，且对任意正整数m，n，均有am＋n＝am＋an＋2mn． (1)求数列{an}的通项公式； (2)如果实数c使得＜c对所有正整数k都成立，求c的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $