1.2.3 第1课时 等差数列的前n项和的公式（Word练习）-【优化指导】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于(　　) A．100 B．210 C．380 D．400 B　解析：设等差数列{an}的公差为d，∵d＝＝＝4，a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210. 2．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 A　解析：设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，所以Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天． 3．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10等于(　　) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 D　解析：由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝＝＝＝－15. 4．一百零八塔位于宁夏青铜峡市，是喇嘛式实心塔群(如图).该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔．则该塔群最下面三阶的塔数之和为(　　) A．39 B．45 C．48 D．51 D　解析：设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为{an}，依题意可知a5，a6，…，an成等差数列，且公差为2，a5＝5，则1＋3＋3＋5＋5(n－4)＋×2＝108，解得n＝12. 故最下面三价的塔数之和为a10＋a11＋a12＝3a11＝3×(5＋2×6)＝51. 5．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________． 2A　解析：因为数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A.当n＝1时也满足，所以公差d＝2A. 6．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是________万元，前10年维修费总和为________万元． 28　300　解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元). 7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________． 　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5－5S3＝5，得30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4＝5，所以a4＝. 8．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. 解：(1)方法一　设等差数列{an}的公差为d， ∵a6＝10，S5＝5，∴ 解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二　设等差数列{an}的公差为d， ∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　设等差数列{an}的公差为d， ∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 方法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝. ∴S5＝＝×＝24. 9．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．福建某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12 800元，第一年每台设备的维修保养费用为1 000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6 400元． (1)每台充电桩第几年开始获利？(参考数据：≈5.7) (2)每台充电桩前几年的年平均利润最大(前n年的年平均利润＝). 解：(1)每台充电桩第n年总利润为 6 400n－－12 800， ∵6 400n－－12 800>0， 化简得－200(n2－28n＋64)>0， 即n2－28n＋64<0. 解得14－2<n<14＋2，∴2.6<n<25.4. ∵n∈N＋，∴3≤n≤25.∴每台充电桩第3年开始获利． (2)每台充电桩前n年的年平均利润 ＝ 200≤200(28－2)＝2 400，当且仅当n＝，即n＝8时取等号，∴每台充电桩前8年的年平均利润最大． 10．{an}和{bn}是两个等差数列，其中(1≤k≤5)为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　) A．64 B．128 C．256 D．512 B　解析：由已知条件可得＝，则b5＝＝＝64，因此，b3＝＝＝128. 11．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________． 3n2－2n　解析：因为数列{2n－1}是首项为1、公差为2的等差数列，数列{3n－2}是首项为1、公差为3的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是首项为1、公差为6的等差数列． 所以{an}的前n项和为n·1＋·6＝3n2－2n. 12．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ 解：(1)设n min后两人第1次相遇，由题意，得2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.解得n＝7或n＝－20(舍去).所以第1次相遇是在开始运动后7 min. (2)设n min后第2次相遇，由题意，得2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.解得n＝15或n＝－28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15 min. 13．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式； (2)求{an}的前20项和． 解：(1)由题设可得b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5， 又a2k＋2＝a2k＋1＋1，a2k＋1＝a2k＋2，(k∈N＋) 故a2k＋2＝a2k＋3，即bn＋1＝bn＋3，即bn＋1－bn＝3， 所以{bn}为2为首项，3为公差的等差数列，故bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)设{an}的前20项和为S20，则S20＝a1＋a2＋a3＋…＋a20， 因为a1＝a2－1，a3＝a4－1，…，a19＝a20－1， 所以S20＝2(a2＋a4＋…＋a18＋a20)－10 ＝2(b1＋b2＋…＋b9＋b10)－10 ＝2×(10×2＋×3)－10＝300. 学科网（北京）股份有限公司 $$