1.2.3 课时2 等差数列前n项和公式的应用学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.2.3　课时2　等差数列前n项和公式的应用 【学习目标】 1.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算) 2.理解并应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 预学忆思 1.在等差数列{an}中,当a1>0,d>0或a1<0,d<0时,Sn能否取得最值? 2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37,则当n为何值时Sn取得最小值? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),则其最大值或最小值一定在n=-时取得. (　　) (2)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值. (　　) (3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N+),则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值. (　　) (4)若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,则一定有=. (　　) 2.(多选题)已知等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　). A.d>0 B.a1<0 C.当n=5时,Sn最小 D.当Sn>0时,n的最小值为8 3.若等差数列{an}的前n项和Sn=n2-3n,则Sn的最小值为　　　　.  4.已知数列{an}的通项公式为an=-n2+10n+11,则该数列前　　　　项的和最大.  【合作探究】 探究1：等差数列前n项和的最值 情境设置 例1　在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n项和Sn的最大值. 【方法总结】1.将Sn=na1+d=n2+a1-n配方,转化为求二次函数的最值问题,借助函数的单调性来解决. 2.邻项变号法 当a1>0,d<0时,满足的项数n使Sn取最大值. 当a1<0,d>0时,满足的项数n使Sn取最小值. 巩固训练 　　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,则当Sn取得最大值时n的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5 B.6 C.7 D.8 探究2：等差数列前n项和的性质 情境设置 　　已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn. 问题1:Sm,S2m-Sm,S3m-S2m具有什么特征?采用从特殊到一般的思想进行思考分析. 问题2:an与S2n-1之间有什么等量关系?利用等差中项与等差数列的求和公式进行推导. 问题3:S奇,S偶具有什么关系?对n分类讨论. 问题4:数列是什么数列? 新知生成 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d. 1.数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)也是等差数列,公差为m2d. 2.S2n-1=(2n-1)an,S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1). 3.当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,S奇∶S偶=an∶an+1;当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=a中,S奇∶S偶=n∶(n-1). 4.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. 5.若{an}是等差数列,则也是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的. 新知运用 例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=　　　　;  (2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是　　　　;  (3)已知项数为奇数的等差数列{an},奇数项之和为44,偶数项之和为33,则该数列的项数为　　　　,中间项为　　　　.  【方法总结】　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m-S3m,…是等差数列; (2)通过等差数列的前n项和与通项的关系即可求得的表达式. 巩固训练 1.已知等差数列{an}中,S3=3,S6=9,则S12=(　　). A.12　　　　B.18　　　　C.24　　　　D.30 2.已知{an}为等差数列,若a1+a2+a3=5,a7+a8+a9=10,则a19+a20+a21=　　　　.  3.若一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27,则该数列的公差为　　　.  【随堂检测】 1.若在等差数列中,a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.S4 B.S5 C.S6 D.S7 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10