专题09 指数六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题09 指数六类重难点题型 目录 典例详解 类型一、根据根式意义确定取值或取值范围 类型二、运用根式性质化简或计算 类型三、带限制条件的根式化简 类型四、根式与分数指数幂的相互转化 类型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 类型六、整体代换法处理分数指数幂 压轴专练 类型一、根据根式意义确定取值或取值范围 根式意义： （1）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 （2）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 【技巧方法】 利用偶次根式被开方数大于等于0建立不等式（组）求解 例1．若代数式有意义，则（  ） A．1       B．2       C．3       D．4 【答案】C 【解析】由题意得：，解得：， 故， 故选：C 变式1-1．当有意义时，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【解析】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 变式1-2．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 要使成立， 需解得， 即实数a的取值范围是， 故答案为：. 变式1-3．，则实数a的取值范围为_________  【答案】 【解析】由题设得，，所以 所以，． 故答案为： 类型二、运用根式性质化简或计算 根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数 【技巧方法】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 例2．已知，且，化简二次根式的正确结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】有意义，，， 又，，，. 故选：A. 变式2-1．若，则的立方根为 . 【答案】2 【解析】由，得， 所以， 所以，所以的立方根为. 故答案为：. 变式2-2．若，则化简的结果是（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先化简得出.然后根据已知范围，即可得出答案. 【解析】 . 因为， 所以异号，， 所以， 所以，. 故选：B. 变式2-3．已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式化简，即可得到答案. 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 类型三、带限制条件的根式化简 条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 【技巧方法】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 例3．若代数式有意义，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故选：B. 变式3-1．若，则等式成立的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】，，．由 ，得 . 故选C. 变式3-2．若，则的化简结果是（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 所以. 故选：C. 变式3-3．已知，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由，，可得， 设，则，则， 解得，（舍去）， 故， 故答案为： 类型四、根式与分数指数幂的相互转化 根式与分数指数幂互化的规律： (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解 【技巧方法】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 例4．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：CD. 变式4-1．（多选），下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：ABD． 变式4-2．（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（  ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 【答案】BC 【解析】对于A，(x)0.5和必有一个无意义，错误; 对于B，，正确; 对于C，因为xy>0，则，正确; 对于D，，错误． 故选：BC． 变式4-3．化简 . 【答案】 【分析】根式与分数指数幂运算法则计算. 【解析】. 故答案为： 类型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 【技巧方法】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 例5．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 变式5-1．化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 变式5-2．下列各式中成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，A选项错误； 对于B选项，，B选项错误； 对于C选项，，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 变式5-3．已知，则 ． 【答案】 【解析】 ， 因为，所以原式 故答案为： 类型六、整体代换法处理分数指数幂 解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 【技巧方法】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 例6．化简求值： 若，求下列各式的值： （1） ； （2）. 【答案】（1）7；（2）-1 【解析】（1）∵，∴，即，∴， ∴. （2）当时，设，则，即，∴， 又∵，∴，∴. ∴或. 变式6-1．（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 变式6-2．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 变式6-3．已知，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为，两边平方得，所以， 因为，所以，，所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 1.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据二次根式的性质得出 ，进而求出的取值范围，然后确定的正负情况，再将移入根号内即可. 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 2.若有意义，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，且，∴a的取值范围是且． 故选：B． 3.已知，则（  ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以. 故选：B. 4.设，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数运算公式直接计算. 【解析】， 故选：C. 5.设，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得①；由得②．得，得 故选：D. 6.（多选）（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于选项AC：因为，，可知无意义，有意义； 对于选项BD：开3次方时，被开方数无限制，即 、均有意义； 故选：BCD. 7.（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【解析】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 8.（多选）已知，下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 故选：ACD 9.计算： ＋4＝________． 【答案】D 【分析】利用根式化简及去绝对值，即可得到答案. 【解析】原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29. 故答案为：29 10.若，则 【答案】 【解析】由于，故. 这就意味着，从而. 故答案为： 11.计算： . 【答案】 【解析】由题意 . 故答案为：. 12.实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【解析】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 13.计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)；(2)100；(3)；（4） 【解析】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 . 14.已知，求下列各式的值： (1)；(2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解析】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 指数六类重难点题型 目录 典例详解 类型一、根据根式意义确定取值或取值范围 类型二、运用根式性质化简或计算 类型三、带限制条件的根式化简 类型四、根式与分数指数幂的相互转化 类型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 类型六、整体代换法处理分数指数幂 压轴专练 类型一、根据根式意义确定取值或取值范围 根式意义： （1）当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 （2）当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 【技巧方法】 利用偶次根式被开方数大于等于0建立不等式（组）求解 例1．若代数式有意义，则（  ） A．1       B．2       C．3       D．4 变式1-1．当有意义时，化简的结果是（  ） A． B． C． D． 变式1-2．求使等式成立的实数a的取值范围为 ． 变式1-3．，则实数a的取值范围为_________  类型二、运用根式性质化简或计算 根式化简的思想和注意点： (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的； (2)化简根式时需注意：在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数 【技巧方法】 此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． 例2．已知，且，化简二次根式的正确结果是（  ） A． B． C． D． 变式2-1．若，则的立方根为 . 变式2-2．若，则化简的结果是（  ） A．-1 B．0 C．1 D．2 变式2-3．已知实数满足，则（  ） A． B． C． D． 类型三、带限制条件的根式化简 条件根式的化简的一般方法： (1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； (2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负。 【技巧方法】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可 例3．若代数式有意义，则（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．若，则等式成立的条件是（  ） A．， B．， C．， D．， 变式3-2．若，则的化简结果是（  ） A．1 B． C． D． 变式3-3．已知，，则的值为 ． 类型四、根式与分数指数幂的相互转化 根式与分数指数幂互化的规律： (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子； (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解 【技巧方法】 （1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂． 例4．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A． B． C． D． 变式4-1．（多选），下列运算（化简）中正确的有（  ） A． B． C． D． 变式4-2．（多选）在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（  ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 变式4-3．化简 . 类型五、利用分数指数幂运算性质化简求值 指数幂运算的解题通法： (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答； (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一 【技巧方法】 根式的化简结果应写为最简根式．（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数分母为1，且不含非正整数指数幂；（3）被开方数的每个因数的指数小于根指数． 例5．计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 变式5-1．化简求值： (1)； (2)； (3). 变式5-2．下列各式中成立的是（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，则 ． 类型六、整体代换法处理分数指数幂 解决条件求值问题的一般方法： 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a＞0，b＞0)： (1)a±2＋b＝(±)2；(2)a－b＝(＋)(－)； (3) ＋＝(＋)(a－＋b)；(4) －＝(－)(a＋＋b). 【技巧方法】 对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式． 例6．化简求值： 若，求下列各式的值： （1） ； （2）. 变式6-1．（多选）已知实数满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知实数a满足，下列选项中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，，则的值为 . 1.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A． B． C． D． 2.若有意义，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3.已知，则（  ） A． B．1 C． D． 4.设，则（  ） A． B． C． D． 5.设，那么（  ） A． B． C． D． 6.（多选）已知，，给出下列4个式子，其中有意义的是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（  ） A．（） B．（） C．（） D．（） 8.（多选）已知，下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 9.计算： ＋4＝________． 10.若，则 11.计算： . 12.实数、、满足，，则的最小值是 . 13.计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 14.已知，求下列各式的值： (1)； (2) 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $